Pendapatan Harian
1.3 Spasi
Telah kami katakan sebelumnya bahwa fungsi yang digunakan dalam kalkulus mengambil besaran sebagai masukan dan menghasilkan besaran sebagai keluaran. Kita juga telah mengatakan bahwa kuantitasnya adalah sekitar “2 tahun cahaya” atau “150 watt”. Sekarang kami ingin menghubungkan konsep baru ke input dan output: konsep ruang .
Ruang 3 adalah kumpulan kemungkinan yang berkelanjutan . Seorang anak yang belajar tentang angka dimulai dengan “menghitung angka”:1,2,3,… . Di sekolah dasar, himpunan bilangan diperluas hingga mencakup bilangan nol dan bilangan negatif:−1,−2,−3,… , menghasilkan himpunan yang disebut “bilangan bulat”. Menghitung bilangan dan bilangan bulat merupakan himpunan diskrit . Di antara dua anggota bilangan hitung yang berurutan atau bilangan bulat, tidak ada bilangan lain dari himpunan tersebut.
Langkah selanjutnya dalam pendidikan matematika anak adalah “bilangan rasional”, yaitu bilangan yang ditulis sebagai perbandingan:12,13,23,…,227 , dan seterusnya. Bilangan rasional ditempatkan pada spasi di antara bilangan bulat. Artinya, di antara dua bilangan bulat apa pun, bahkan bilangan bulat yang berurutan, terdapat bilangan rasional. Misalnya bilangan rasional12 jatuh antara 0 dan 1.
Di antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional lainnya, memang ada bilangan rasional yang jumlahnya tak terhingga. Misalnya saja antara12 Dan23 adalah 611 (dan banyak lainnya , seperti 711 atau 1321 ). Penting untuk menganggap bilangan rasional cocok dengan spasi di antara bilangan bulat.
Jika Anda tidak menemukan kata “spasi” pada kalimat sebelumnya, Anda sudah bisa memahami apa yang dimaksud dengan “kontinu”. Misalnya, di antara dua bilangan rasional terdapat bilangan rasional lainnya. Bayangkan bilangan rasional sebagai batu loncatan yang menyediakan jalur dari bilangan mana pun ke bilangan lainnya.
Merupakan pertanyaan mendalam apakah bilangan rasional merupakan sebuah jalan setapak dan bukan batu loncatan yang terisolasi? Jalan setapak adalah suatu struktur di mana Anda dapat memindahkan berapapun jumlahnya, tidak peduli seberapa kecilnya, tanpa risiko keluar dari struktur tersebut. Sebaliknya, gerakan yang terlalu kecil di sepanjang jalur batu loncatan akan membuat Anda terperosok ke dalam air.
Himpunan yang berkesinambungan seperti jalan setapak; betapapun sedikitnya Anda berpindah dari suatu elemen himpunan, Anda akan tetap berada di himpunan tersebut. Himpunan bilangan yang berkesinambungan sering disebut garis bilangan , meskipun nama yang lebih formal adalah bilangan real . (“Nyata” adalah pilihan kata yang tidak tepat, namun kita terjebak di dalamnya.)
Metafora yang mendasarinya di sini adalah ruang. Di antara dua titik dalam ruang, terdapat titik lain dalam ruang. Kami akan bekerja dengan beberapa ruang berbeda, misalnya: garis bilangan: semua bilangan real bilangan positif: bilangan real yang lebih besar dari nol bilangan non-negatif: ini adalah perluasan terkecil dari bilangan positif yang menambahkan nol pada himpunan. interval tertutup, misalnya angka antara 5 dan 10, yang akan kita tulis seperti ini: 5≤x≤10 , Di mana x adalah nama yang kami berikan pada set tersebut. bidang Cartesian: semua pasangan bilangan real seperti (5.62,−0.13) . Metafora lain untuk ini: titik-titik pada selembar kertas atau layar komputer. ruang koordinat tiga dimensi seperti dunia tiga dimensi kita sehari-hari, umumnya ditulis sebagai himpunan tiga bilangan real seperti (−2.14,6.87,4.03) . ruang berdimensi lebih tinggi, tapi kita tidak akan membahasnya sampai bagian terakhir buku ini. Keistimewaan kalkulus adalah menggambarkan hubungan antar himpunan kontinu . Fungsi seperti sin() atau line() , yang merupakan fungsi khas yang kita pelajari dalam kalkulus, ambil angka sebagai masukan.
Setiap fungsi memiliki serangkaian input yang sah. Untuk fungsi-fungsi yang dipelajari dalam kalkulus, himpunan ini kontinu: sebuah spasi. Nama yang diberikan pada ruang fungsi yang berisi input sah adalah domain fungsi . Fungsi seperti sin() dan banyak lainnya yang memiliki seluruh himpunan bilangan real sebagai domain fungsinya. Fungsi akar kuadrat memiliki bilangan non-negatif untuk domainnya. Fungsi logaritma, ln() , memiliki domain bilangan positif.
Sama seperti “domain” yang merupakan himpunan masukan sah ke suatu fungsi, rentang fungsi adalah himpunan nilai yang dapat dihasilkan oleh fungsi tersebut sebagai keluaran. Misalnya saja kisaran sin() adalah angka di antaranya −1 Dan 1 yang biasanya kami tulis dalam format ini: −1≤x≤1 . Contoh lain: kisaran ln() adalah seluruh ruang bilangan real.