Introducción

Portugal es un país Europeo desarrollado, que al igual que muchos otros países Europeos sufrieron una crisis económica mundial en el 2009, el Banco de Portugal, redujo la tasa de interés con el fin de estimular la economía. En los últimos años, el sector primario representa menos de 2,4% del PIB portugués y emplea a 5,5% de la población, el sector secundario, que hace referencia al sector industrial emplea al 25% de la población activa y contribuye al 21,9% del PIB de Portugal y por último el sector de servicios corresponde al 65,5% del PIB y emplea a casi el 70% de la población activa. Según informes del Banco Mundial, ocupa el puesto 30° en el ranking de economías por PIB y es uno de los países con más deudas respecto al PIB del mundo.

En el presente informe se pretende analizar la serie temporal de la tasa de interés del país en cuestión, desde el 2009 hasta el 2022, esto se realizará mediante pronósticos, utilizando herramientas y modelos estadísticos como el modelo de ARIMA, en el cual se realizará una predicción de – observaciones y de este modo seleccionar el que más acertado con el cual podamos identificar el comportamiento de la tasa de interés de Portugal a futuro.

Además, se dará a conocer las posibles causas de los cambios en la serie temporal de la tasa de interés de Portugal en los años anteriormente mencionados.

Metodología

Las series de tiempo son una sucesión de datos medidos en determinados momentos sobre una variable de interés, en este caso, la tasa de interés de Portugal y se encuentran ordenados de manera cronológica. Para realizar el análisis o comportamiento de esta tasa, se hace uso del modelo ARIMA.

El modelo ARIMA proporciona métodos para crear modelos de los componentes de tendencia y estacionales de la variable de interés y permite incluir variables predictoras en el modelo y tiene como objetivo describir las autocorrelaciones en los datos.

Para poder aplicarlo es necesario que la serie sea estacionaria, es decir, que no se vea un patrón en ella y si es estacional (que si tiene un patrón en el tiempo) no se podría aplicar el modelo. Para que una serie deje de ser estacional y pase a ser estacionaria, es necesario que esta sea diferenciada las veces que sean necesarias.

Descripción de variables

A continuación se presenta la serie de tiempo desde enero del 2009 hasta el 2022

Se presenta un análisis histórico descriptivo de cada año seleccionado y las causas de su comportamiento, además de diagramas representativos.

2009

En este año se observa la caída de la tasa de interés estando aproximadamente en 3% el año anterior a este. En este año se presentó una crisis en el mercado inmobiliario estadounidense, lo que llevó a la quiebra de Lehman Brother y en consecuencia, desestabilización en los circuitos crediticios a nivel mundial. El continente más afectado por esta crisis fue Europa puesto que hubo un impacto inmediato en los circuitos monetarios del euro.

Tabla 1: Año 2009
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
1.228358	1.10145	0.3093606	0.556202	0.76345	1.10145	1.4756	2.4565	0.712

2010

En el 2010 Portugal enfrentó una crisis económica que afectó de manera significativa a la tasa de interés, debido a problemas de deuda soberana que afectó la confianza de los inversores sobre la sostenibilidad de las finanzas públicas del país. A principios de 2010, el rendimiento estaba alrededor del 4%, pero a medida que avanzó el año, superó el 7% y, en algunos momentos, alcanzó niveles aún más altos.

Tabla 2: Año 2010
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
0.81095	0.7882	0.0239281	0.1546872	0.6752	0.7882	0.92105	1.042	0.6447

2011

Debido a los problemas de deuda que seguía enfrentando Portugal, en mayo del 2011 solicitó un programa de rescate financiero a la Unión Europea y al Fondo Monetario Internacional (FMI), lo que trajo nuevas medidas de austeridad y un alza en las tasas de interés que siguieron aumentando en consonancia con las deudas del país. De igual manera los inversionistas seguían con desconfianza sobre la sostenibilidad.

Tabla 3: Año 2011
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
1.3906	1.4554	0.0389391	0.19733	1.284775	1.4554	1.5404	1.5976	1.0172

2012

A principios del año, las tasas de interés se mantenían altas ya que los inversores seguían desconfiando de la sostenibilidad de la deuda soberana por lo que continuaron implementando medidas de austeridad y reformas estructurales como parte del programa de rescate. Hubo un aumento del desempleo y recesión económica que contribuyó a las preocupaciones sobre la capacidad de Portugal para cumplir con sus obligaciones de deuda, pero a medida que avanzaba el año se observó una disminución de las tasas de interés a medida que la confianza en la capacidad de Portugal para implementar las reformas y cumplir con sus compromisos mejoraba, aunque seguían siendo relativamente altas

Tabla 4: Año 2012
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
0.5731833	0.57795	0.1251943	0.3538281	0.2367	0.57795	0.77285	1.2222	0.1855

2013

Portugal empezó a mostrar signos de recuperación económica en 2013, aunque la recuperación fue gradual. Hubo cierta estabilización en los mercados financieros europeos después de los picos de la crisis de deuda soberana en los años anteriores. Seguían teniendo sus desafíos, pero lograron disminuir las tasas de interés. Se observaron mejoras en algunos indicadores económicos, lo que contribuyó a una perspectiva más positiva y a la disminución de la aversión al riesgo por parte de los inversores.

Tabla 5: Año 2013
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
0.2206667	0.2223	0.0003593	0.018956	0.2082	0.2223	0.224	0.2735	0.2012

2014

Durante el 2014 continuaron las mejoras y las tasas de interés siguieron disminuyendo gracias a la mejora económica y fiscal sostenida con el programa de rescate financiero. También con el aumento de la confianza de los inversores en el mercado, estuvieron más dispuestos a invertir en bonos portugueses, lo que hizo más presión para que las tasas de interés disminuyeran.

Tabla 6: Año 2014
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
0.2099333	0.2232	0.0102752	0.1013667	0.093475	0.2232	0.295325	0.3297	0.0809

2015

Sus tasas de interés siguieron bajando y la percepción de una recuperación económica contribuyeron a la disminución de los rendimientos de los bonos. También hubo una disminución en la tasa de desempleo del país, mayor estabilización en las finanzas públicas que volvió a los inversores más optimistas. Con todas estas mejoras, tenían la percepción de que la economía estaba de camino a una recuperación mucho más sólida.

Tabla 7: Año 2015
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
-0.0193667	-0.0163	0.002891	0.0537684	-0.04115	-0.0163	0.010325	0.0627	-0.1263

2016

Aunque algunas agencias de calificación de crédito realizaron rebajas en la calificación de la deuda soberana de Portugal (pudo haber generado alguna presión al alza de las tasas de interés), se mantuvo la tendencia de baja de las tasas de interés. Portugal logró superar sus objetivos de déficit presupuestario, lo que permitió una mayor confianza por parte de los inversores (un déficit más bajo indica una mejor gestión fiscal y puede contribuir a la disminución de las tasas de interés al reducir el riesgo percibido por los inversionistas).

Tabla 8: Año 2016
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
-0.2636917	-0.2812	0.0029543	0.0543538	-0.30345	-0.2812	-0.244025	-0.1461	-0.3158

2017

Portugal experimentó un crecimiento económico en el 2017 lo que respaldó la percepción de que la economía estaba en recuperación. El aumento de la actividad económica y la disminución del desempleo contribuyeron a la mejora de las perspectivas económicas. Siguió superando el objetivo de déficit presupuestario y la mejor gestión fiscal permitió el aumento de confianza de los inversores y el respaldo una mejor percepción de estabilidad financiera. Por lo que Portugal siguió la tendencia de la baja de sus tasas de interés.

Tabla 9: Año 2017
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
-0.32905	-0.32935	1.8e-06	0.0013236	-0.329625	-0.32935	-0.3289	-0.3255	-0.3304

2018

Portugal cerró el año con un déficit del 0,6%, teniendo en cuenta que en lo presupuestado para este año tenía una cifra inferior. Además, el PIB creció un 2,8% respecto al 2017. Portugal estuvo en el ranking 49 de la economía. Por otro lado, la caída del déficit público esconde un déficit estructural sin grandes cambios y que puede sufrir incluso con los aumentos de sueldos en el sector público y prestaciones sociales. La tasa de interés en diciembre ha sido del 0,7%.

Tabla 10: Año 2018
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
-0.3220917	-0.32135	3.13e-05	0.0055962	-0.32805	-0.32135	-0.318525	-0.3119	-0.3285

2019

El Producto Interno Bruto creció un 2,7% respecto al año anterior, es decir, una tasa con una décima menor que la de 2018. Portugal sigue estando en el ranking 49 de la economía. En el 2019, el PIB superó la mayoría de las previsiones y los indicadores de consumo. Además, las cuentas públicas terminaron el año con superávit; el saldo corriente estuvo cerca del equilibrio y el desempleo tuvo una tasa por debajo del 7%. La aceleración de la inversión ha impulsado el crecimiento de las importaciones mayor al de las exportaciones, por este motivo, la aportación del sector exterior al crecimiento económico ha sido negativa.

Tabla 11: Año 2019
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
-0.3563333	-0.3469	0.0022584	0.0475224	-0.4029	-0.3469	-0.310175	-0.308	-0.4176

2020

Teniendo en cuenta la pandemia de COVID-19 y las medidas de contención implementadas, para este año ocurre una contracción de la economía portuguesa como resultado del impacto económico. El PIB cayó un 8,3% respecto al año anterior, siendo esta tasa 110 décimas inferior a la de 2019. Por otro lado, la pandemia no detuvo los incrementos en el precio de la vivienda en Portugal.

Tabla 12: Año 2020
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
-0.42515	-0.43035	0.0084873	0.0921264	-0.495825	-0.43035	-0.387325	-0.254	-0.5381

2021

El PIB de Portugal en el año 2021 creció un 5,7% respecto al año anterior; esto puede deberse a que fue el año de recuperación, y puede ser por el avance rápido del proceso de vacunación. Aunque este crecimiento sigue siendo ineficiente para compensar la caída histórica registrada en el año 2020.

Tabla 13: Año 2021
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
-0.5487667	-0.5449	0.0001691	0.013003	-0.54815	-0.5449	-0.54085	-0.5382	-0.582

2022

Portugal se encuentra en el puesto 46 de los países del ranking del PIB per cápita, este es un buen indicador del nivel de vida. El crecimiento del Producto Interno Bruto resultó bastante elevado, con una cifra de 6,7%. Portugal en este año fue uno de los países que recibió una mejora de sus previsiones económicas tras el estallido de la guerra de Ucrania, convirtiéndose en la economía que más creció en toda la Unión Europea de 2022.

Tabla 14: Año 2022
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
0.3415667	-0.1013	0.9686335	0.9841918	-0.459775	-0.1013	1.1151	2.0635	-0.5601

General

Se obtuvo el promedio y mediana total, de los años analizados.

Tabla 16: General
Promedio	Mediana	Varianza	Desviacion	Cuartil1	Cuartil2	Cuartil3	Maximo	Minimo
0.3523567	0.0424	0.9556612	0.9775793	-0.3285	0.0424	0.7426	3.88	-0.582

Además, se realizo un diagrama de cajas y alambres de cada uno de los años, para realizar su respectiva comparación.

Este gráfico de diagrama de cajas, muestra la tasa de interés a lo largo de los años desde 2009 hasta 2022. De este diagrama se puede analizar que en el año 2011 se tiene la media más alta, lo que significa que hubo una tasa de interés superior a los demás años; también se puede observar que el año en el que se tiene la media más baja es en el año 2021, es decir, que hubo una tasa de interés inferior a los demás años.

En este gráfico casi no se encuentran puntos atípicos solo en los años 2013, 2015, 2016, 2017 y 2021, esto quiere decir que no hay muchos datos que estén fuera de lo común de este grupo de datos y se puede observar que la tasa de interés de Portugal tuvo una tendencia a la baja durante mucho tiempo. Apenas en el 2022 es que se vuelve a ver un alza en la tasa.

Proceso

Ventana larga

En principio se tomó la base original que va desde diciembre del 2008 hasta septiembre del 2023, la serie de tiempo se representa en la siguiente gráfica:

De la base de datos original se sacaron dos ventanas, una de entrenamiento y la otra de prueba, esta ventana es amplia pues abarca desde enero del 2009 hasta diciembre del 2022, representado en la siguiente gráfica:

Esta ventana presenta una serie no estacionaria, como se observa en la gráfica, pues tiene un comportamiento decadente, además lo corroboramos con el p-value el cual es de 0.99, como este valor es mayor a 0.05, significa que la serie no es estacionaria.

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  ventana
## Dickey-Fuller = -0.05065, Lag order = 5, p-value = 0.99
## alternative hypothesis: stationary

Por lo anterior, la serie se diferenció dos veces con el fin de que se volviera estacionaria y así poder aplicar la ARIMA. La serie se diferencia para que pase de tener estacionalidad a estacionariedad, esto se hace con el fin de que la serie no tenga patrones y para que sea estable a lo largo del tiempo, es decir, cuando la media y varianza son constantes en el tiempo. De la siguiente gráfica, podemos ver que el comportamiento de la serie cambia, igual que el ACF y el p-value el cual es de 0.01 menor a 0.05 comprobando de este modo que ya la serie es estacionaria.

De manera visual, con las gráficas también se puede observar que la serie es estacionaria y cómo cambia esta al estar estar diferenciada.

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  miserie
## Dickey-Fuller = -5.3646, Lag order = 5, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

Escogencia de modelos

Para la serie global, de los años 2009 hasta 2022, la siguiente tabla muestra los modelos realizados de estos respectivos años con el correspondiente valor de AICc. Se debe tener en cuenta que el mejor modelo es el que tenga menor valor en AICc, BIC y Mape; en nuestro caso, nos fijamos en que, el modelo que tiene menor valor en el AICc es el modelo 9, con un valor de -476.47. Por otro lado, el porcentaje de error de este pronóstico es de 38.38%, siendo este un número un poco alto.

Comparación de modelos
	Order	AICc
Modelo 1	(2,2,1)	-471.71
Modelo 2	(2,2,2)	-475.42
Modelo 3	(1,2,2)	-471.94
Modelo 4	(0,1,1)	-333.57
Modelo 5	(1,1,0)	-474.57
Modelo 6	(1,0,1)	-325.97
Modelo 7	(0,2,1)	-474.44
Modelo 8	(1,2,0)	-474.44
Modelo 9	(0,2,0)	-476.47
Modelo 10	(2,2,0)	-473.8

Del modelo escogido el cual fue el 9, se obtuvo la gráfica de checkresiduals y Ljung-Box test, que dieron como resultados:

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,2,0)
## Q* = 13.918, df = 24, p-value = 0.9485
## 
## Model df: 0.   Total lags used: 24

De acuerdo a la prueba de Ljung-Box, el estadístico de prueba es Q= 13.918 y el p-value toma un valor de 0.9485 que es un valor muchísimo mayor a 0.05, por lo que no se rechaza la hipótesis nula de la prueba y se concluye que los valores de los datos son independientes.

## [1] 0.3838133

El porcentaje de error obtenido del pronóstico que se le realizó al modelo 9 que fue el elegido, fue de 38.38%, es un poco alto pues significa que el porcentaje de acierto que puede tener este pronóstico es de 62.61% un valor no tan significativo.

Pronósticos

En esta gráfica se observa el comportamiento de la serie en los años de 2009 hasta 2023, mostrando también la predicción del comportamiento de la serie para el año 2024. Se puede analizar que el país de Portugal para inicios de 2024 tendrá un incremento en la tasa de interés.

Ventana corta

Para la muestra pequeña, se tomaron los datos desde enero del 2019 hasta enero del 2023 y se ve representado en la siguiente gráfica:

Después de haber establecido el intervalo de tiempo a trabajar, se crearon otras dos ventanas, una de entrenamiento que empieza en enero del 2019 a diciembre del 2022 y otra ventana de prueba que sería enero del 2023, estando representada la ventana de prueba en la siguiente gráfica:

Esta ventana presenta una serie que no es estacionaria, ya que presenta un comportamiento ascendente. Además se corrobora con el valor del p-value ya que toma un valor de 0.99 que es muchísimo mayor a 0.05, por lo que la serie no es estacionaria.

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  ventana3
## Dickey-Fuller = -0.10934, Lag order = 3, p-value = 0.99
## alternative hypothesis: stationary

Debido a lo anterior, la serie se diferenció dos veces para poder convertirla a una serie estacionaria y que se pudiera aplicar el modelo ARIMA. De la siguiente gráfica, podemos ver que el comportamiento de la serie cambia, igual que el ACF y el p-value el cual es de 0.01 menor a 0.05 comprobando de este modo que ya la serie es estacionaria.

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  miserie2
## Dickey-Fuller = -3.9478, Lag order = 3, p-value = 0.01821
## alternative hypothesis: stationary

Escogencia de modelos

Para la muestra más pequeña se hizo un recorte de datos, incluyendo los años desde 2019 hasta diciembre de 2023, la siguiente tabla muestra los modelos realizados con su valor respectivo de AICc. Esto se hace con el objetivo de tener un menor porcentaje de error, es decir, para que la predicción sea más precisa. Para este caso, el modelo que mejor representa esta serie es el modelo 8, con un valor de AICc de -146.39. El porcentaje de error es de 31.94%, y se puede observar que este valor es mucho mejor al de la serie global, con una diferencia de 6.44%.

Comparación de modelos
	Order	AICc
Modelo 1	(2,2,1)	-142.11
Modelo 2	(2,2,2)	-139.46
Modelo 3	(1,2,2)	-140.53
Modelo 4	(0,1,1)	-142.14
Modelo 5	(1,1,0)	-144.1
Modelo 6	(1,0,1)	-144.17
Modelo 7	(0,2,1)	-90
Modelo 8	(1,2,0)	-146.39
Modelo 9	(0,2,0)	-140.46
Modelo 10	(2,2,0)	-137.36

Del modelo escogido el cual fue el 8, se obtuvo el checkresiduals y Ljung-Box test, que dio como resultado:

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(1,2,0)
## Q* = 4.3615, df = 11, p-value = 0.9581
## 
## Model df: 1.   Total lags used: 12

De acuerdo a la prueba de Ljung-Box, el estadístico de prueba es Q= 4.13615 y el p-value toma un valor de 0.9581 que es un valor muchísimo mayor a 0.05, por lo que no se rechaza la hipótesis nula de la prueba y se concluye que los valores de los datos son independientes.

Pronósticos

##           Jan      Feb      Mar      Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov      Dec
## 2023                                                                 3.975244
## 2024 3.980183 3.985140 3.990096 3.995051

## [1] 0.3242528

El porcentaje de error obtenido del pronóstico que se le realizó al modelo 8 que fue el elegido, fue de 32.42%, es menor en comparación de la primera serie, y significa que el porcentaje de acierto que puede tener este pronóstico es de 67,58% un valor más significativo que el anterior.

En el pronóstico de los datos recortados, se puede observar que la tasa de interés en Portugal para inicios del año 2024 no cambiará mucho y estará alrededor del valor de la tasa de interés a finales del año 2023.

Conclusiones

De la serie general que contiene los años de 2009 hasta 2022 y de la serie con los datos recortados de los años 2019 a 2023; se puede analizar que la serie con los datos recortados es la que mejor porcentaje de asertividad tiene, con un valor aproximado de 67,58%. A pesar de no ser un porcentaje muy alto, es mejor comparado a la primera serie.
Respecto a la estacionariedad de la serie, se debe tener en cuenta que una serie estacional se debe de diferenciar las veces que sean necesarias para convertirla en una serie estacionaria y poder aplicar el modelo ARIMA. Por otro lado, no nos podemos fijar solamente de manera visual en la serie ya que puede ser un poco confuso, se debe de tener en cuenta el p-value para poder clasificar la serie de manera correcta.
De acuerdo a los pronósticos arrojados por la ventana pequeña y la ventana grande, hay una gran diferencia entre ambos. Pues en la ventana grande se pronostica un crecimiento significativo en la tasa a inicios del 2024, mientras que en la ventana pequeña se pronostica una estabilidad en la tasa de interés a inicios del 2024. Pero de acuerdo al Banco de Portugal, el consumo privado “tendrá aumentos inferiores al crecimiento económico”, limitado por la subida de los tipos de interés. De esta manera, podría ser más creíble el modelo con la ventana más grande que tenía un error porcentual mayor al de la ventana más pequeña, pero hay que tener en cuenta que los modelos no son conscientes de los factores externos económicos y sociales que afectan a las tasas de interés, por lo que realmente ningún modelo nos va a arrojar con certeza un buen pronóstico.
De acuerdo al orden que nos arrojó la función auto.arima en la ventana grande, debíamos utilizar los ARIMAS (0,2,1) con un AICc de -474.44 o usar (2,0,1) con un AICc de -468.91. Pero elegimos el ARIMA (0,2,0) con un AICc de -476.47, ya que nuestro criterio era elegir el que menor AICc tuviera. Con esto, podemos decir que es mejor hacer varios modelos incluyendo los que arroja el auto.arima, para así comparar cual nos puede dar un mejor resultado ya que el auto.arima no es 100% confiable.
Para la ventana pequeña, la función auto.arima dijo que debíamos utilizar el ARIMA (0,2,0) con -140.46. Pero se eligió el ARIMA (1,2,0) con un AICc de -146.39, como se había mencionado anteriormente se eligió el que tuviera menor AICc. Por lo que, confirmamos por segunda vez que es mejor realizar varios modelos y comprarlos antes de realizar los pronósticos.