Integrasi: Contoh Kasus Integrasi

Mari kita ambil contoh kasus untuk mengilustrasikan penggunaan integrasi dalam konteks nyata. Pertimbangkan fungsi laju perubahan suatu partikel yang diukur oleh fungsi kecepatan \(v(t)\), di mana \(t\) adalah waktu. Untuk mengetahui perpindahan total partikel selama interval waktu tertentu, kita dapat menggunakan konsep integral.

Contoh Kasus:

Suatu partikel bergerak sepanjang sumbu \(x\) dan kecepatannya pada waktu \(t\) diberikan oleh fungsi \(v(t) = 3t^2\), di mana \(t\) diukur dalam detik dan \(v(t)\) diukur dalam meter per detik.

1. Mencari Perpindahan Total: Hitunglah perpindahan total partikel pada interval waktu \([1, 2]\).

   Solusi: \[ \text{Perpindahan Total} = \int_{1}^{2} v(t) \, dt \] \[ = \int_{1}^{2} 3t^2 \, dt \] \[ = \left[ t^3 \right]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 7 \, \text{meter} \]

   Jadi, perpindahan total partikel selama interval waktu \([1, 2]\) adalah 7 meter.

2. Plotting Grafik: Mari kita plot grafik fungsi kecepatan \(v(t)\) dan area di bawah kurva pada interval \([1, 2]\) untuk memvisualisasikan perpindahan total.

# Install dan load library ggplot2
   install.packages("ggplot2")

## Warning: package 'ggplot2' is in use and will not be installed

   library(ggplot2)

   # Fungsi kecepatan
   v <- function(t) 3 * t^2

   # Integral untuk perpindahan total
   displacement <- integrate(v, 1, 2)$value

   # Plot fungsi kecepatan
   p <- ggplot(data.frame(t = c(0, 3)), aes(t = t)) +
     stat_function(fun = v, geom = "area", fill = "skyblue", xlim = c(0, 3)) +
     xlim(0, 3) +
     ylim(0, 20) +
     labs(title = "Grafik Fungsi Kecepatan v(t) dan Perpindahan Total di [1, 2]",
          x = "Waktu (t)",
          y = "Kecepatan (v)")

   # Tampilkan plot
   print(p)

## Warning: The following aesthetics were dropped during statistical transformation: t
## ℹ This can happen when ggplot fails to infer the correct grouping structure in
##   the data.
## ℹ Did you forget to specify a `group` aesthetic or to convert a numerical
##   variable into a factor?

   # Tampilkan nilai perpindahan total
   cat("Perpindahan Total:", displacement, "meter\n")

## Perpindahan Total: 7 meter

Kode ini akan menghasilkan grafik fungsi kecepatan \(v(t) = 3t^2\) dan menandai area di bawah kurva pada interval \([1, 2]\) dengan warna biru langit. Perpindahan total juga akan dicetak sebagai output.

Dalam kasus ini, integrasi membantu kita menghitung perpindahan total partikel dengan mengukur area di bawah kurva fungsi kecepatan pada interval waktu yang diberikan.