Integrasi dalam Kalkulus:

Integrasi adalah konsep kalkulus yang berkaitan dengan menghitung luas di bawah kurva fungsi. Secara formal, integrasi digunakan untuk menemukan nilai dari integral tertentu dari suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Terdapat dua jenis utama dari integrasi: integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral).

  1. Integral Tak Tentu (Indefinite Integral):

    Integral tak tentu dari suatu fungsi \(f(x)\) dinotasikan sebagai \(\int f(x) \, dx\). Hasil dari integral tak tentu adalah fungsi lain, disebut fungsi primitif atau antiturunan dari \(f(x)\). Simbol \(\int\) menunjukkan proses integrasi, \(f(x)\) adalah fungsi yang diintegralkan, dan \(dx\) menunjukkan variabel integrasi.

    Contoh: \[ \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + C \] di mana \(C\) adalah konstanta integrasi.

  2. Integral Tentu (Definite Integral):

    Integral tentu dari suatu fungsi \(f(x)\) pada interval \([a, b]\) dinotasikan sebagai \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\). Hasilnya adalah nilai numerik dan mewakili luas daerah di bawah kurva \(f(x)\) antara \(x = a\) dan \(x = b\).

    Contoh: \[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{8}{3} \]

Contoh Perhitungan Integral:

Mari kita ambil contoh integral tak tentu dan integral tentu:

  1. Integral Tak Tentu: \[ \int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4 + C \]

  2. Integral Tentu: \[ \int_{1}^{2} x^3 \, dx = \frac{15}{4} \]

Plot menggunakan RStudio:

Berikut adalah contoh cara melakukan plot fungsi \(f(x) = x^2\) dan menandai area di bawah kurva pada interval \([1, 2]\) menggunakan RStudio:

# Install dan load library ggplot2
install.packages("ggplot2")
## Warning: package 'ggplot2' is in use and will not be installed
library(ggplot2)

# Fungsi untuk f(x) = x^2
f <- function(x) x^2

# Plot fungsi
p <- ggplot(data.frame(x = c(0, 3)), aes(x = x)) +
  stat_function(fun = f, geom = "area", fill = "skyblue", xlim = c(0, 3)) +
  xlim(0, 3) +
  ylim(0, 10) +
  labs(title = "Plot Fungsi f(x) = x^2 dan Integral Tentu di [1, 2]",
       x = "x",
       y = "f(x)")

# Tampilkan plot
print(p)

Kode ini akan menghasilkan plot fungsi \(f(x) = x^2\) dan menandai area di bawah kurva pada interval \([1, 2]\) dengan warna biru langit.