Mari kita buat contoh kasus untuk mengilustrasikan diferensiasi. Anggap kita memiliki fungsi keuntungan suatu perusahaan yang tergantung pada jumlah unit produk yang dijual. Fungsi keuntungan ini dapat diwakili oleh \(P(x)\), di mana \(x\) adalah jumlah unit yang dijual dan \(P(x)\) adalah keuntungan yang dihasilkan.

Contoh Kasus:

  1. Fungsi Keuntungan: Anggap kita memiliki fungsi keuntungan suatu perusahaan yang diberikan oleh \(P(x) = -2x^2 + 100x - 800\), di mana \(x\) adalah jumlah unit yang dijual.

  2. Menghitung Turunan Pertama: Pertama, kita akan menghitung turunan pertama dari fungsi keuntungan ini untuk mengetahui tingkat perubahan keuntungan terhadap jumlah unit yang dijual.

    \[ P'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 100x - 800) \]

    Menggunakan aturan turunan, kita dapat menghitung:

    \[ P'(x) = -4x + 100 \]

  3. Interpretasi: Turunan pertama \(P'(x)\) memberikan laju perubahan keuntungan terhadap jumlah unit yang dijual. Dalam konteks ini, \(P'(x) = -4x + 100\) menyatakan bahwa setiap unit tambahan yang dijual akan mengurangi keuntungan sebesar \(4\) dan pada awalnya, keuntungan akan meningkat sebesar \(100\) untuk setiap unit yang dijual.

# Install library ggplot2 jika belum terpasang
# install.packages("ggplot2")

# Load library ggplot2
library(ggplot2)

# Fungsi keuntungan
P <- function(x) { -2*x^2 + 100*x - 800 }

# Turunan pertama fungsi keuntungan
P_prime <- function(x) { -4*x + 100 }

# Generate data untuk plot
x_values <- seq(0, 30, by = 1)
P_values <- P(x_values)
P_prime_values <- P_prime(x_values)

# Plot fungsi keuntungan dan turunannya
df <- data.frame(x = x_values, P = P_values, P_prime = P_prime_values)

ggplot(df, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = P), color = "blue", size = 1, linetype = "solid", label = "P(x)") +
  geom_line(aes(y = P_prime), color = "red", size = 1, linetype = "dashed", label = "P'(x)") +
  labs(title = "Plot Fungsi Keuntungan dan Turunan Pertamanya",
       x = "Jumlah Unit (x)",
       y = "Keuntungan (P)") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "top")
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
## Warning in geom_line(aes(y = P), color = "blue", size = 1, linetype = "solid",
## : Ignoring unknown parameters: `label`
## Warning in geom_line(aes(y = P_prime), color = "red", size = 1, linetype =
## "dashed", : Ignoring unknown parameters: `label`

Dalam plot ini, garis biru menggambarkan fungsi keuntungan \(P(x)\), dan garis merah putus-putus menggambarkan turunan pertama \(P'(x)\). Interpretasi dari turunan pertama memberikan pemahaman tentang bagaimana keuntungan berubah seiring dengan jumlah unit yang dijual.