Penjelasan Diferensiasi dalam Kalkulus:

Diferensiasi adalah konsep dalam kalkulus yang berkaitan dengan perubahan laju atau tingkat perubahan suatu fungsi terhadap perubahan variabel independen. Jika \(y\) adalah suatu fungsi dari \(x\) (y = f(x)), maka turunan pertama dari \(f\) terhadap \(x\), yang disimbolkan sebagai \(f'(x)\) atau \(\frac{dy}{dx}\), memberikan laju perubahan \(y\) terhadap \(x\).

Dalam konteks lebih formal, jika \(f(x)\) adalah suatu fungsi, maka turunan pertamanya \(f'(x)\) didefinisikan sebagai:

\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Turunan kedua (\(f''(x)\) atau \(\frac{d^2y}{dx^2}\)) adalah turunan dari turunan pertama dan memberikan informasi tentang percepatan atau perlambatan dari perubahan fungsi.

Contoh Perhitungan Diferensiasi:

Misalkan kita punya fungsi \(f(x) = x^2 + 3x + 2\), kita dapat menghitung turunan pertamanya:

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 2)\]

Menggunakan aturan turunan, kita dapat menghitung turunan sebagai:

\[f'(x) = 2x + 3\]

# Install library ggplot2 jika belum terpasang
# install.packages("ggplot2")

# Load library ggplot2
library(ggplot2)

# Fungsi yang akan diplot
f <- function(x) { x^2 + 3*x + 2 }

# Turunan pertama fungsi
f_prime <- function(x) { 2*x + 3 }

# Generate data untuk plot
x_values <- seq(-5, 5, by = 0.1)
y_values <- f(x_values)
y_prime_values <- f_prime(x_values)

# Plot fungsi dan turunannya
df <- data.frame(x = x_values, y = y_values, y_prime = y_prime_values)

ggplot(df, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = y), color = "blue", size = 1, linetype = "solid", label = "f(x)") +
  geom_line(aes(y = y_prime), color = "red", size = 1, linetype = "dashed", label = "f'(x)") +
  labs(title = "Plot Fungsi dan Turunan Pertamanya",
       x = "x",
       y = "y") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "top")
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
## Warning in geom_line(aes(y = y), color = "blue", size = 1, linetype = "solid",
## : Ignoring unknown parameters: `label`
## Warning in geom_line(aes(y = y_prime), color = "red", size = 1, linetype =
## "dashed", : Ignoring unknown parameters: `label`

Dalam kode R di atas, kita menggunakan library ggplot2 untuk membuat plot fungsi \(f(x)\) (garis biru) dan turunannya \(f'(x)\) (garis merah putus-putus). Data dibuat dengan menggunakan fungsi yang telah ditentukan (\(f\) dan \(f'\)).