Iterasi dalam kalkulus merujuk pada proses pengulangan untuk mendekati solusi suatu masalah matematis, terutama dalam konteks perhitungan nilai suatu fungsi. Metode iteratif sering digunakan untuk menemukan akar atau solusi suatu persamaan atau fungsi. Iterasi ini melibatkan proses berulang di mana nilai yang dihasilkan dari setiap iterasi mendekati solusi yang diinginkan.

Contoh Perhitungan Iterasi pada Fungsi:

Misalkan kita memiliki fungsi \(f(x) = x^2 - 4\) dan kita ingin mencari akar persamaan \(f(x) = 0\). Kita dapat menggunakan metode iteratif untuk mendekati akar persamaan ini. Salah satu metode yang sederhana adalah metode Newton-Raphson.

Langkah-langkah metode Newton-Raphson:
  1. Pilih nilai awal \(x_0\) sebagai tebakan awal.
  2. Hitung turunan pertama \(f'(x)\).
  3. Gunakan rumus iterasi Newton-Raphson: \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\).
  4. Terapkan rumus tersebut secara berulang hingga mendapatkan nilai yang mendekati akar persamaan.
# Fungsi yang akan diiterasi
f <- function(x) {
  return(x^2 - 4)
}

# Turunan pertama dari fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(2*x)
}

# Metode iterasi Newton-Raphson
newton_raphson <- function(x0, tol, max_iter) {
  x <- x0
  for (i in 1:max_iter) {
    x_new <- x - f(x) / f_prime(x)
    if (abs(x_new - x) < tol) {
      break
    }
    x <- x_new
  }
  return(x)
}

# Nilai awal, toleransi, dan maksimum iterasi
x0 <- 2
tolerance <- 1e-6
max_iterations <- 100

# Memanggil fungsi iterasi Newton-Raphson
result <- newton_raphson(x0, tolerance, max_iterations)

# Menampilkan hasil
print(paste("Nilai akar yang dihitung: ", result))
## [1] "Nilai akar yang dihitung:  2"
# Plot fungsi dan akar yang ditemukan
library(ggplot2)

x_values <- seq(-3, 3, 0.01)
y_values <- f(x_values)

plot_data <- data.frame(x = x_values, y = y_values)

ggplot(plot_data, aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed", color = "red") +
  geom_vline(xintercept = result, linetype="dashed", color = "blue") +
  geom_point(aes(x = result, y = 0), color = "blue", size = 3) +
  labs(title = "Iterasi Newton-Raphson",
       x = "Nilai x",
       y = "Nilai f(x)")

Dalam contoh ini, kita mencari akar persamaan \(f(x) = x^2 - 4\) menggunakan metode Newton-Raphson dengan nilai awal \(x_0 = 2\), toleransi \(1 \times 10^{-6}\), dan maksimum iterasi sebanyak 100 kali.