Nama dan NIM :Muhammad Iqbal Asrori (230605110144)
Dosen Pengampu :Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
Universitas :Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Fakultas :Sains dan Teknologi
Program Studi :Teknik Informatika

Metode pencarian akar grafis (Graphical zero-finding) adalah teknik untuk menemukan akar atau solusi dari sebuah persamaan dengan cara menggambarkan grafik fungsi tersebut dan menemukan titik di mana grafik tersebut memotong sumbu x (akar). Metode ini berguna terutama saat mencari akar fungsi sederhana yang sulit diselesaikan secara analitis.

Mosaic calculus adalah metode kalkulus yang menggunakan konsep fraktal dan teori dimensi untuk memahami fenomena dalam sistem kompleks. Namun, secara umum, cara pemahaman ini dapat diaplikasikan dalam pencarian akar grafis tidaklah berbeda secara mendasar dari cara tradisional.

Berikut langkah-langkah dalam Graphical zero-finding menggunakan konsep dari mosaic calculus:

Langkah 1: Persamaan Fungsi Misalkan kita memiliki persamaan fungsi yang ingin dicari akarnya, misalnya f(x)=0.

Langkah 2: Plot Grafik Fungsi Gambarkan grafik fungsi tersebut dalam suatu koordinat kartesian

(x,f(x)). Gunakan perangkat lunak grafik atau kertas grafik untuk menggambarkan kurva fungsi.

Langkah 3: Identifikasi Titik Potensial Temukan daerah-daerah di mana grafik memotong sumbu-x (ketika

f(x)=0). Ini akan menjadi perkiraan awal atau titik potensial dari akar-akar persamaan.

Langkah 4: Perbaikan Akar Perbaiki titik potensial dengan menggunakan metode iteratif atau pendekatan numerik lainnya (seperti metode bisection, metode Newton-Raphson, atau metode regula falsi). Ini dilakukan dengan menggunakan nilai-nilai yang diperoleh dari grafik untuk memperkirakan dengan lebih tepat nilai akar dari fungsi tersebut.

Langkah 5: Evaluasi dan Verifikasi Evaluasi dan verifikasi solusi yang diperoleh dengan menggantikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan asli untuk memastikan bahwa nilai-nilai ini memenuhi persamaan dengan baik.

Penting untuk dicatat bahwa meskipun metode grafis ini dapat memberikan perkiraan awal yang baik untuk akar-akar fungsi, untuk ketepatan yang lebih tinggi, metode numerik atau analitis yang lebih canggih seringkali diperlukan.

Penerapan dari metode ini tidak selalu memberikan solusi yang akurat atau efisien terutama saat menangani fungsi yang kompleks atau non-linear. Oleh karena itu, kombinasi dengan teknik-teknik numerik lebih lanjut seringkali diperlukan untuk mendapatkan solusi yang lebih tepat dan efisien.

# Fungsi untuk mencari akar (zero) menggunakan metode Newton-Raphson
newton_raphson <- function(f, f_prime, x_0, tol, max_iter) {
  x <- x_0
  for (i in 1:max_iter) {
    x_new <- x - f(x) / f_prime(x)
    if (abs(x_new - x) < tol) {
      cat("Iterasi ke-", i, ": Akar ditemukan di x =", x_new, "\n")
      return(x_new)
    }
    x <- x_new
  }
  cat("Iterasi maksimum telah tercapai. Akar ditemukan di x =", x, "\n")
  return(x)
}

# Fungsi dan turunannya (f dan f')
f <- function(x) {
  return(x^3 - 2 * x - 5)
}

f_prime <- function(x) {
  return(3 * x^2 - 2)
}

# Pemanggilan fungsi Newton-Raphson
root <- newton_raphson(f, f_prime, x_0 = 3, tol = 1e-6, max_iter = 100)
## Iterasi ke- 5 : Akar ditemukan di x = 2.094551
# Visualisasi grafis
library(ggplot2)

x_vals <- seq(-5, 5, by = 0.1)
y_vals <- f(x_vals)

df <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)

ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "blue") +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "red") +
  geom_vline(xintercept = root, linetype = "dashed", color = "green") +
  geom_point(aes(x = root, y = 0), color = "green", size = 3) +
  labs(
    title = "Metode Newton-Raphson untuk Pencarian Akar",
    x = "Nilai x",
    y = "Nilai f(x)"
  ) +
  theme_minimal()