Integrasi 3

Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Integral dari Bawah ke Atas

Batas-batas integrasi muncul dalam susunan yang berbeda-beda. Tak satu pun dari hal ini yang sulit diturunkan dari bentuk dasarnya:

• Hubungan antara integral dan fungsi antiturunannya yang bersesuaian: $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$ Hubungan ini memiliki nama yang terdengar mewah: teorema dasar kalkulus kedua .

• Akumulasi dari nilai awal $$\mathbf{F}(b)=\mathbf{F}(a)+{\int }_a^{b}f(x)dx=\mathbf{F}(a)+F(b)-F(a)$$ Untuk banyak situasi pemodelan,$a$ Dan $b$ adalah jumlah tetap, jadi $F(a)$ Dan $F(b)$ juga kuantitas; output dari fungsi anti-turunan pada input $a$ Dan $b$ . Namun batas bawah atau batas atas dapat berupa nama masukan, seperti pada $${\int }_0^{t}f(x)dx=F(t)-F(0)$$

Perhatikan itu $F(t)$ bukanlah besaran melainkan fungsi dari $t$ .

Kadang-kadang, Anda akan melihat formulir seperti ${\int }_t^{0}f(x)dx$ . Anda dapat memikirkan hal ini dengan salah satu dari dua cara berikut:

1. Akumulasi dari suatu waktu $t$ kurang dari 0 hingga 0.

2. Akumulasi terbalik dari 0 hingga waktu $t$ .

Akumulasi terbalik bisa menjadi konsep yang rumit karena melanggar intuisi sehari-hari. Misalkan Anda sedang memanen sederet stroberi matang. Anda mulai dari awal baris—posisi nol. Kemudian Anda turun ke barisan, memetik stroberi dan menaruhnya di keranjang Anda. Ketika Anda telah mencapai posisi $B$ keranjang Anda menampung akumulasi ${\int }_0^{B}s(x)dx$ , Di mana $s(x)$ adalah kepadatan linier stroberi—satuan: buah per meter baris.

Tapi misalkan Anda pergi ke arah lain, dimulai dengan keranjang kosong di posisinya $B$ dan kembali ke posisi 0. Akal sehat mengatakan keranjang Anda akan terisi dengan jumlah yang sama seperti ke arah depan, dan memang demikianlah masalahnya. Namun integral bekerja secara berbeda. Integralnya ${\int }_B^{0}s(x)dx$ akan menjadi negatif dari ${\int }_0^{B}s(x)dx$ . Hal ini dapat dilihat dari hubungan integral dan antiturunan:

$${\int }_B^{0}s(x)dx=S(0)-S(B)=-\left[S(B)-S(0)\right]=-{\int }_0^{B}s(x)dx$$

Ini bukan berarti ada yang namanya stroberi negatif. Sebaliknya, ini berarti bahwa memanen stroberi mirip dengan integral dalam beberapa hal (akumulasi) tetapi tidak dalam hal lain. Dalam pertanian, panen dari 0 hingga $B$ hampir sama dengan memanen dari $B$ ke 0, tetapi integral tidak bekerja dengan cara ini.

Sifat integral lainnya adalah interval antar batas integrasi dapat dipecah menjadi beberapa bagian. Contohnya:

$${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$$

Anda dapat mengonfirmasi hal ini dengan mencatatnya

$${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx=\left[F(b)-F(a)\right]+\left[F(c)-F(b)\right]=F(c)-F(a)={\int }_a^{c}f(x)dx.$$

Terakhir, pertimbangkan fungsi ini $t$ :

$${\partial }_t{\int }_a^{t}f(x)dx.$$

Pertama, bagaimana kita mengetahui fungsi dari $t$ ? ${\int }_a^{t}f(x)dx$ merupakan integral tertentu dan mempunyai nilai

$${\int }_a^{t}f(x)dx=F(t)-F(a).$$

Setelah konvensi kami,$a$ adalah parameter dan mewakili nilai numerik tertentu, jadi $F(a)$ adalah keluaran dari $F()$ untuk masukan tertentu. Namun menurut konvensi $t$ adalah nama masukan. Jadi $F(t)$ adalah fungsi yang keluarannya bergantung pada $t$ . Membedakan fungsinya $F(t)$ , seperti fungsi lainnya, menghasilkan fungsi baru.

Kedua, ada jalan pintas untuk menghitung ${\partial }_t{\int }_a^{t}f(x)dx$ :

$${\partial }_t{\int }_a^{t}f(x)dx={\partial }_t\left[F(t)-F(a)\right].$$

Sejak $F(a)$ adalah kuantitas dan bukan fungsi, ${\partial }_{t}F(a)=0$ . Itu menyederhanakan banyak hal. Lebih baik lagi, kita tahu bahwa itu merupakan turunan dari $F(t)$ adalah secara sederhana $f(t)$ : itu hanyalah sifat hubungan turunan/anti turunan antar $f(t)$ Dan $F(t)$ . Secara keseluruhan, kami memiliki:

$${\partial }_t{\int }_a^{t}f(x)dx=f(t).$$

Identitas yang tampak rumit ini memiliki nama yang bagus: teorema dasar kalkulus pertama .