Integrasi 1

Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Integrasi

Antiderivatif berguna ketika Anda mengetahui bagaimana suatu kuantitas berubah tetapi belum mengetahui kuantitas itu sendiri.

Tentu saja penting untuk mengetahui mana yang merupakan “kuantitas itu sendiri” dan mana yang merupakan “tingkat kenaikan kuantitas tersebut”. Ini selalu bergantung pada konteks dan sudut pandang Anda. Oleh karena itu, akan lebih mudah untuk memberikan beberapa contoh tetap untuk memudahkan melacak kuantitas mana.

---

Konteks__________Kuantitas__________________________Tingkat peningkatan kuantitas

Uang_____________Uang di tangan $\mathbf{S}(t)$_________________Arus kas $s(t)$

Bahan bakar_______Jumlah dalam tangki bahan bakar $\mathbf{F}(t)$__Tingkat konsumsi bahan bakar, misalnya kg/jam $f(t)$

Gerakan__________momentum $\mathbf{M}(t)$____________________Memaksa $m(t)$

notasi____________$\mathbf{H}(t)$______________________________${\partial }_t\mathbf{H}(t)$

notasi____________$G(t)=\int g(t)dt$___________________$g(t)$

Kami juga akan mengadopsi konvensi untuk mempermudah mengenali kuantitas mana yang merupakan “kuantitas itu sendiri” dan mana yang merupakan “laju kenaikan kuantitas tersebut”. Kita akan menggunakan HURUF BESAR untuk memberi nama fungsi kuantitas itu sendiri, dan huruf kecil untuk laju kenaikan kuantitas tersebut. Misalnya, jika berbicara tentang gerak, besaran yang penting adalah momentum dan perubahannya seiring waktu. Momentumnya sendiri akan terjadi $\mathbf{M}(t)$ sedangkan laju kenaikan momentumnya adalah $m(t)$ . 1 Jumlah uang yang dimiliki suatu bisnis pada suatu waktu $t$ adalah $\mathbf{S}(t)$ diukur, katakanlah, dalam dolar. Tingkat kenaikan uang itu adalah $s(t)$ , katakanlah, dolar per hari.

Perhatikan bahwa kita menggunakan frasa “tingkat kenaikan” dan bukan “tingkat perubahan”. itu karena kita ingin menjaga arti tanda dari fungsi huruf kecil tetap lurus . Jika $m(t)$ positif, momentumnya meningkat. Jika $m(t)$ negatif, maka itu adalah “tingkat kenaikan negatif”, yang tentunya hanya merupakan “penurunan”.

Bagi sebuah bisnis, uang masuk berarti itu $s(t)$ positif. Pengeluaran uang sesuai dengan $s(t)$ menjadi negatif. Dalam contoh bahan bakar. $\mathbf{F}(t)$ adalah jumlah bahan bakar di dalam tangki.$f(t)$ adalah laju kenaikan jumlah bahan bakar di dalam tangki. Tentu saja, mesin membakar bahan bakar dengan mengeluarkannya dari tangki. Jadi kita tuliskan laju pembakaran bahan bakar sebagai $-f(t)$ : menghilangkan bahan bakar adalah peningkatan negatif dalam jumlah bahan bakar, pengeluaran bahan bakar.

Tujuan dari bab ini adalah untuk mengenalkan Anda pada jenis-jenis perhitungan, dan notasinya, yang memungkinkan Anda mengetahui seberapa banyak besaran HURUF BESAR telah berubah selama selang waktu $t$ berdasarkan apa yang telah Anda ketahui tentang nilai fungsi huruf kecil dari waktu ke waktu .

Langkah pertama dalam penghitungan tersebut adalah mencari atau membuat fungsi huruf kecil $f(t)$ atau $c(t)$ atau $m(t)$ atau apa pun itu. Ini adalah fase pemodelan. Dalam bab ini, kami akan mengabaikan pemodelan situasi secara mendetail dan hanya menyajikan fungsi huruf kecil kepada Anda .

Langkah kedua dalam penghitungan tersebut adalah menghitung antiturunan dari fungsi huruf kecil , sehingga menghasilkan fungsi HURUF BESAR. Anda telah melihat notasi untuk ini, misalnya

$$F(t)=\int f(t)dt\text{or}G(t)=\int g(t)dt\text{and so on.}$$

Dalam bab ini, kita tidak akan menghabiskan waktu untuk langkah ini; kami berasumsi bahwa Anda sudah memiliki sarana untuk menghitung anti-turunan. (Tentu saja, Anda sudah mempunyai antiD() alat yang dapat melakukan pekerjaan tersebut untuk Anda.) Bab selanjutnya akan membahas masalah-masalah di sekitar dan teknik melakukan perhitungan dengan cara lain.

Langkah selanjutnya dalam penghitungan tersebut adalah menggunakan fungsi HURUF KAPITAL untuk menghitung hal-hal seperti jumlah kuantitas tersebut, atau perubahan kuantitas tersebut seiring akumulasinya selama interval waktu tertentu.$t$ .

Mengapa huruf kapital?

Terkadang kita menulis fungsi huruf kapital dengan huruf tebal , misalnya $\mathbf{F}(t)$ dan di lain waktu tidak, misalnya $F(t)$ . Apa yang sedang terjadi?

Ini adalah konvensi yang kami adopsi untuk bab ini, saat kami paling membutuhkannya untuk memperkenalkan konsep.

Huruf tebal digunakan dalam bab ini untuk mewakili kuantitas minat di dunia nyata. Jadi $\mathbf{F}(t)$ adalah jumlah sebenarnya bahan bakar di dalam tangki, $\mathbf{M}(t)$ adalah momentum sebenarnya mobil tersebut, dan $\mathbf{S}(t)$ adalah jumlah uang sebenarnya yang ada. Fungsi wajah biasa, $F(t)$ Dan $M(t)$ Dan $S(t)$ adalah fungsi yang kita dapatkan dengan menerapkan anti-diferensiasi $f(t)$ atau $m(t)$ atau $s(t)$ .

Minat kami yang luas adalah membangun fungsi yang dicetak tebal dengan mengetahui turunan dari fungsi tersebut, yang kami tulis dalam huruf kecil . Jadi,$f(t)\equiv {\partial }_t\mathbf{F}(t)$ . Demikian pula,$m(t)\equiv {\partial }_t\mathbf{M}(t)$ Dan $s(t)\equiv {\partial }_t\mathbf{S}(t)$ . Kami berada dalam situasi di mana kami tahu $f(t)$ tapi tidak $\mathbf{F}(t)$ , atau kita tahu $m(t)$ tapi tidak $\mathbf{M}(t)$ , dan seterusnya.

Bagaimana situasi seperti ini bisa muncul di dunia nyata? Misalkan pengukur bahan bakar mobil rusak sehingga kita tidak mengetahuinya secara langsung $\mathbf{F}$ (liter). Namun ada pembacaan dashboard mengenai tingkat konsumsi bahan bakar sesaat (katakanlah, liter per 100 km). Jadi, kita tahu $f(t)$ tapi tidak $\mathbf{F}(t)$ . Atau misalkan Anda bertanggung jawab menjalankan bisnis sehari-hari, mengumpulkan pendapatan setiap hari, dan membayar pengeluaran sehari-hari. Jadi, setiap hari Anda tahu $s(t)$ —arus kas. Namun atasan Andalah yang memiliki akses ke rekening bank tersebut; Anda cukup menyetor uang saat Anda menerimanya dan mengotorisasi transfer dana elektronik ke pemasok. Bos Anda tahu $\mathbf{S}(t)$ tapi kamu hanya tahu $s(t)$ .

Anti-diferensiasi adalah bagian dari cara untuk merekonstruksi level bahan bakar $\mathbf{F}(t)$ dari yang diketahui $f(t)$ , atau untuk mengetahui saldo bank $\mathbf{S}(t)$ dari catatan Anda $s(t)$ .

Namun anti-diferensiasi, meskipun merupakan bagian dari solusi, hanyalah sebagian saja. Anda dapat menerapkan anti-diferensiasi $f(t)$ , tapi yang Anda dapatkan kembali adalah $F(t)$ , bukan $\mathbf{F}(t)$ .

Apa perbedaan antara keduanya? Ini melibatkan nilai konstan $C$ yang, sayangnya, Anda tidak akan pernah bisa memahaminya $f(t)$ . Semua itu bisa Anda klaim, mengingat $F(t)$ dihasilkan oleh anti-diferensiasi, begitulah

$$\mathbf{F}(t)=F(t)+C.$$