Notasi Differensiasi

Ada banyak notasi yang digunakan secara luas untuk diferensiasi . Dalam buku ini, kami akan menunjukkan diferensiasi dengan cara yang mirip dengan notasi komputer.

Kami akan menulis turunan dari $f (x)$ sebagai $\partial_{x} f (x)$ . Jika kita punya fungsi $g (t)$ , dengan $t$ menjadi nama masukan, turunannya adalah $\partial_{t} g (t)$ . Karena tidak ada yang istimewa tentang nama input dalam fungsi dengan satu input, kita bisa saja menuliskan fungsi satu input yang merupakan turunan dari $g ()$ sehubungan dengan masukannya sebagai $\partial_{x} g (x)$ atau $\partial_{z} g (z)$ atau bahkan $\partial_{z e b r a} g (z e b r a)$ . Untuk fungsi dengan hanya satu masukan, notasi yang skeptis mungkin berpendapat bahwa tidak diperlukan subskrip $\partial$ , karena nama masukan akan selalu cocok dengan fungsi yang dibedakan.

Pada awal sejarah kalkulus, ahli matematika Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) mengusulkan notasi yang lebih ringkas untuk turunan suatu fungsi dengan masukan tunggal. Daripada $\partial_{x} f (x)$ , tulis Lagrange $f^{'}$ . Kami mengucapkan ini “f-prime.” Notasi ini masih banyak digunakan dalam buku teks kalkulus karena bentuknya yang ringkas. Namun notasi ini bukanlah notasi yang layak untuk fungsi yang digunakan dalam pemodelan karena fungsi tersebut sering kali memiliki lebih dari satu masukan.

Sebelum Lagrange, Newton menggunakan notasi yang sangat ringkas. Sejarawan perlu berhati-hati, karena Newton tidak menggunakan istilah “turunan” atau istilah “fungsi”. Sebaliknya, Newton menulis tentang “kuantitas mengalir”, yaitu kuantitas yang berubah terhadap waktu. Bagi Newton, nama khas untuk besaran mengalir tersebut adalah $x$ Dan $y$ . Dia tidak menggunakan tanda kurung yang sekarang kita kaitkan dengan fungsi, hanya nama aslinya. Newton menggunakan kata “fasih” untuk menyebutkan besaran-besaran yang mengalir tersebut. Kefasihan Newton kurang lebih adalah apa yang sekarang kita sebut sebagai “fungsi waktu”. Apa yang sekarang kita sebut “turunan”, disebut Newton sebagai “fluksion”. Jika $x$ adalah seorang yang fasih, lalu Newton menulis $\dot{x}$ untuk membela fluksi. Ini diucapkan “x-titik.” Seperti notasi prima kompak Lagrange, notasi titik Newton masih digunakan, khususnya dalam fisika.

Matematikawan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sezaman dengan Newton. Leibniz mengembangkan notasi kalkulusnya sendiri, yang lebih mudah dipahami daripada notasi Newton. Dalam notasi Leibniz, turunan (sehubungan dengan $x$ ) dari $f (x)$ Sudah ditulis

$\frac{d f}{d x} .$

Kecil $d$ singkatan dari “sedikit” atau “sedikit perubahan”, jadi $\frac{d f}{d x}$ memperjelas bahwa turunannya adalah perbandingan dua bit kecil. Dalam penyebutnya, $d x$ mengacu pada perubahan yang sangat kecil dalam nilai input $x$ . Di pembilangnya, itu $d f$ menyebutkan perubahan yang sesuai pada output $f ()$ ketika masukan diubah.

Notasi Leibniz sejauh ini merupakan notasi yang paling banyak digunakan dalam pengantar kalkulus. Notasi ini memiliki banyak keunggulan dibandingkan notasi Newton atau Lagrange. Misalnya, ini memberikan kesempatan untuk memberi nama masukan yang berkaitan. Ini juga memberikan notasi yang bagus untuk operasi yang disebut “anti- diferensiasi” yang akan kita temui di Bagian ?detik-akumulasi-bagian . Dan banyak mahasiswa fisika atau teknik telah diajari cara mengobati $d x$ seolah-olah itu adalah angka ketika melakukan manipulasi aljabar.

Masalah notasi Leibniz, dari sudut pandang buku ini, adalah notasi tersebut tidak dapat diterjemahkan dengan baik ke dalam notasi komputer. Pernyataan seperti:

df/dx <- x^2 + 3*x

adalah non-starter karena karakter tersebut /tidak diperbolehkan dalam nama di sebagian besar bahasa komputer, termasuk R.

Untuk fungsi dengan banyak masukan, misalnya, $h (x, y, z)$ , diferensiasi dapat dilakukan terhadap masukan apa pun. Notasi Leibniz mungkin dapat digunakan untuk menunjukkan masukan mana yang berkaitan; tiga turunan dari $h ()$ akan ditulis $d h / d x$ Dan $d h / d y$ Dan $d h / d z$ . Namun notasi matematika tidak mengarah ke arah ini. Sebaliknya, untuk fungsi dengan banyak masukan, tiga turunannya biasanya ditulis $\partial h / \partial x$ Dan $\partial h / p a r t i a l y$ , Dan $\partial h / \partial z$ . Dalam ekspresi, $\partial h / \partial y$ , simbol $\partial$ diucapkan “parsial,” Tiga turunan yang berbeda $\partial h / \partial x$ , $\partial y / \partial y$ , Dan $\partial h / \partial z$ disebut “turunan parsial”.

Buku ini menggunakan $\partial_{x} h$ , $\partial_{y} h$ , Dan $\partial_{z} h$ untuk menunjukkan turunan parsial. Ini cukup mengidentifikasi input sehubungan dengan dan memiliki analogi yang mirip dalam notasi komputer. Misalnya, jika f(x,y,z)sudah didefinisikan, pernyataan berikut ini sepenuhnya valid:

dz_f <- D(f(x,y,z) ~ z)
dy_f <- D(f(x,y,z) ~ y)

Sudah lebih dari 300 tahun sejak kematian Leibniz. Pada titik ini kalkulus sudah jadi kita akan menetapkan bahwa kita tidak memerlukan notasi $d f / d x$ untuk mengingatkan kita bahwa turunan adalah “sedikit $f$ dibagi sedikit $x$ .”

Ada beberapa notasi tradisional untuk membedakan nama fungsi masukan tunggal $f ()$ . Berikut daftar beberapa di antaranya, beserta nama yang terkait dengan masing-masingnya:

Leibnitz: $\frac{d f}{d x}$
Sebagian: $\frac{\partial f}{\partial x}$
Newton (atau “titik”): $\dot{f}$
Lagrange (atau “prima”): $f^{'}$
Satu baris (digunakan dalam buku ini): $\partial_{x} f$

Untuk membaca kalkulus dengan lancar, Anda harus mengenali setiap notasi ini. Untuk fungsi dengan satu masukan, semuanya memiliki arti yang sama. Namun ketika fungsi memiliki banyak input, pilihannya ada di antara gaya tersebut $\partial f / \partial x$ Dan $\partial_{x} f$ . Kami menggunakan yang terakhir karena dapat dengan mudah dimasukkan ke dalam perintah komputer.

Diferensiasi 2

230605110061_Bintang Syachriza Akbar_kelas C

2023-12-05

Notasi Differensiasi