Diferensiasi 1

Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Diferensiasi

Fungsi matematika adalah hubungan antara masukan dan keluaran. Cara yang penting dan berguna untuk bekerja dengan fungsi adalah dengan memeriksa perubahan keluaran ketika masukan diubah sedikit. Proses penghitungan perubahan keluaran per perubahan masukan—laju perubahan —disebut diferensiasi . Seringkali, laju perubahan itu sendiri merupakan sebuah fungsi. Fungsi laju perubahan tersebut diberi label khusus: fungsi turunan .

Blok ini memperkenalkan konsep fungsi laju perubahan, cara menghitungnya, dan bagaimana turunan suatu fungsi dapat disimpulkan dari grafik fungsi tersebut. Kita akan mengeksplorasi hubungan antara nilai fungsi laju perubahan dan lokasi masukan yang mengoptimalkan keluaran fungsi aslinya. Kita akan mempertimbangkan gagasan laju perubahan untuk fungsi yang memiliki banyak masukan.

Terkadang, pengetahuan Anda tentang sistem dunia nyata berupa mengetahui perilaku fungsi laju perubahan. Ini bisa menjadi panduan penting untuk membangun model matematika.

Pada titik ini Anda sudah familiar dengan definisi laju perubahan rata-rata $f(t)$ selama interval dari $t$ ke $t+h$ :

$${\mathcal{D}}_{t}f(t)\equiv \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$

Untuk menunjukkan bahwa kita menginginkan laju perubahan yang cepat berlalu dr ingatan $h$ , kami menambahkan pernyataan untuk menyatakan hal tersebut:

$${\partial }_{t}f(t)\equiv \underset{h\to 0}{lim}{\mathcal{D}}_{t}f(t)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}.$$

Ungkapan matematika yang tepat dari $\underset{h\to 0}{lim}$ adalah, “batas sebagai $h$ menjadi nol.” Mengenai metafora cat, bacalah $\underset{h\to 0}{lim}$ seperti “setelah diaplikasikan ke dinding, biarkan cat mengering”.

Untuk menghemat ruang, tulislah $\underset{h\to 0}{lim}{\mathcal{D}}_{t}f(t)$ cara yang lebih kompak: ${\partial }_{t}f(t)$ . Kami menggunakan simbol kecil $\partial$ sebagai kenang-kenangan akan peran yang kecil itu $h$ dimainkan dalam pembangunan ${\partial }_{t}f(t)$ .

Fungsinya ${\partial }_{t}f(t)$ disebut turunan dari fungsi tersebut $f(t)$ . Proses membangun turunan suatu fungsi disebut diferensiasi . Akar dari kedua kata ini tidaklah sama. “ Diferensiasi ” berasal dari “selisih”, yang berarti pengurangan seperti dalam “selisih antara 4 dan 3 adalah 1”. Sebaliknya, “derivatif” berasal dari “derive”, yang definisi kamusnya adalah “memperoleh sesuatu dari sumber tertentu”, seperti dalam memperoleh mentega dari krim. “Turunkan” adalah istilah umum. Namun “turunan” dan “ diferensiasi ” selalu mengacu pada bentuk spesifik yang terkait dengan laju perubahan.