Struktur Masalah

Dalam masalah optimasi, ada satu atau lebih besaran masukan yang nilainya harus Anda pilih. Jumlah garam; tahun-tahun penantian mulai dari menanam hingga memanen pohon; sudut jalan terhadap lereng. Kami akan menyebutnya kuantitas keputusan .

Demikian pula, ada satu atau lebih kuantitas keluaran yang Anda hargai dan ingin Anda hasilkan sebaik mungkin. Rasa rebusannya; jumlah kayu yang dapat digunakan yang ditebang; waktu yang diperlukan untuk berjalan ke atas bukit. Besaran keluaran disebut tujuan .

Bab ini membahas masalah optimasi yang hanya melibatkan satu tujuan. Permasalahan dengan berbagai tujuan merupakan salah satu permasalahan yang paling menarik dan penting dalam pengambilan keputusan di dunia nyata. Teknik pengoptimalan tujuan tunggal adalah komponen pengambilan keputusan yang lebih kompleks, namun merupakan awal yang baik.

Model yang menghubungkan masukan dengan keluaran tujuan adalah fungsi tujuan . Menyelesaikan masalah optimasi—setelah fase pemodelan selesai—sama dengan menemukan nilai kuantitas keputusan (input ke fungsi tujuan) yang menghasilkan output terbaik dari fungsi tujuan.

Terkadang tujuannya adalah sesuatu yang ingin diminimalkan , dibuat sekecil mungkin. Misalnya, dalam masalah jalur pendakian, kami berupaya meminimalkan waktu yang diperlukan untuk berjalan di jalur tersebut. Kadang-kadang Anda ingin memaksimalkan tujuannya, seperti dalam masalah pemanenan kayu dimana tujuannya adalah untuk memanen kayu sebanyak-banyaknya per tahun.

Ingat bahwa ada dua komponen dalam tugas maksimisasi dan minimalisasi. Argmax adalah input fungsi tujuan yang menghasilkan output terbesar . Maksimumnya adalah nilai keluaran itu. Argmin dan minimum adalah kata-kata yang digunakan dalam situasi di mana Anda mencari nilai terkecil dari fungsi tujuan.

Setelah Anda menemukan argmax, Anda dapat memasukkan nilai tersebut ke dalam fungsi tujuan untuk menemukan nilai keluaran. Nilai itu adalah maksimum .

TAKE NOTE !

Orang sering berbicara tentang “menemukan hasil maksimal”. Ini menyesatkan. Sebaliknya, idenya adalah mencari masukan ke fungsi tujuan—yaitu, argmax —yang menghasilkan keluaran maksimum.

Secara matematis, maksimisasi dan minimalisasi adalah hal yang sama. Setiap permasalahan minimalisasi dapat diubah menjadi permasalahan maksimalisasi dengan memberi tanda negatif di depan fungsi tujuan. Untuk mempermudah pembahasan, dalam membicarakan pencarian solusi suatu masalah optimasi kita akan membayangkan bahwa tujuannya adalah untuk memaksimalkan. Namun perlu diingat bahwa dalam banyak keadaan di dunia nyata, “terbaik” dapat berarti minimalisasi.

Untuk mengilustrasikan pengaturan masalah pengoptimalan, bayangkan diri Anda berada dalam situasi sebuah kontes untuk melihat siapa yang dapat menembakkan bola tenis paling jauh ke dalam lapangan dengan ketapel. Selama kontes, Anda akan mengatur sudut vertikal peluncuran, menempatkan bola ke dalam dudukan katapel, menariknya sejauh mungkin, dan melepaskannya. Untuk memenangkan kontes, Anda perlu mengoptimalkan cara Anda meluncurkan bola.

Tujuannya adalah untuk memaksimalkan jarak yang ditempuh bola. Fungsi tujuan memodelkan jarak yang ditempuh sebagai fungsi dari besaran yang dapat Anda kendalikan, misalnya sudut vertikal peluncuran atau jumlah penarikan ketapel. Untuk mempermudah, kita bayangkan ketapel ditarik ke belakang dengan jumlah standar, menghasilkan kecepatan bola saat dilepaskan sebesar $v_{0}$ . Anda akan menang atau kalah berdasarkan sudut peluncuran yang Anda pilih.

Sebelum Anda terjun ke lapangan untuk bereksperimen, mari bersiap dengan membuat fungsi tujuan. Dengan menggunakan beberapa prinsip fisika dan matematika (yang mungkin belum Anda pahami), kami akan memodelkan seberapa jauh bola akan bergerak (secara horizontal) sebagai fungsi dari sudut peluncuran. $θ$ dan kecepatan awal $v_{0}$ .

Matematika untuk permasalahan seperti itu melibatkan bidang yang disebut persamaan diferensial , suatu bagian penting dari kalkulus yang akan kita bahas nanti dalam kursus ini. Karena Anda belum memiliki alatnya, kami hanya akan memberikan model sederhana berapa lama bola berada di udara.

$duration (v_{0}, θ) = 2 v_{0} \sin (θ) / g$

$g$ adalah percepatan gravitasi, yaitu tentang $9.8 m s^{- 2}$ , dengan asumsi kontes diadakan di Bumi.

Jarak horizontal yang ditempuh bola tenis adalah

$hdist (v_{0}, θ) = \cos (θ) v_{0} duration (v_{0}, θ) = 2 v_{0}^{2} \cos (θ) \sin (θ) / g$

Fungsi tujuan kami adalah hdist(), dan kami mencari argmax. Masukan $v_{0}$ (kita asumsikan) tetap, jadi satu-satunya besaran keputusan adalah sudut $θ$ .

Pilihan terbaik dari $θ$ akan membuat kuantitas $\cos (θ) \sin (θ)$ sebesar mungkin. Jadi dalam mencari argmax kita tidak perlu khawatir $v_{0}$ atau $g$ .

Menemukan argmax dapat dilakukan hanya dengan memplot fungsinya $\cos (θ) \sin (θ)$ . Kami akan mengimplementasikan fungsinya sehingga inputnya dalam satuan derajat .

Gambar 1: Dalam model sederhana sebuah bola tenis diluncurkan pada suatu sudut $θ$ dari horizontal jarak yang ditempuh adalah $2 v_{0}^{2} / g$ waktu $\cos (θ) \sin (θ)$ .

Anda dapat melihat bahwa nilai maksimumnya adalah sekitar 0,5 dan ini terjadi pada argmax $θ$ itu sedikit kurang dari 50 .

Memperbesar $θ$ axis memungkinkan Anda menemukan argmax dengan lebih presisi:

Gambar 2: Memperbesar argmax fungsi tujuan. Penting untuk melihat skala sumbu vertikal. Nilai apa pun antara sekitar 40 dan 50 memberikan perkiraan mendekati maksimum.

Dari grafik, terutama versi yang diperbesar, Anda dapat membacakan argmax sebagai $θ = 45^{\circ}$ .

Menemukan argmax memecahkan masalah. Anda mungkin juga ingin menyajikan solusi Anda dengan melaporkan nilai hdist() ketika argmax diberikan sebagai masukan. Anda dapat membaca grafik yang maksimal $\cos (θ) \sin (θ)$ adalah 0,5 jam $θ = 45^{\circ}$ , jadi secara keseluruhan jaraknya adalah $v_{0}^{2} / g$

Optimasi 1

230605110061_Bintang Syachriza Akbar_kelas C

2023-11-28

Optimasi

Struktur Masalah