Artikel ini akan membahas Aplikasi Diferensiasi. Sebelum membahas pengaplikasian diferensiasi, kita sudah tahu bahwa diferensiasi adalah ide yang memungkinkan kita untuk memahami bagaimana suatu fungsi berubah ketika variabel independennya berubah. Oleh karena itu, penggunaan diferensiasi adalah cara kita menggunakan ide ini dalam situasi dunia nyata. Pemahaman dan aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari adalah fokus Mosaic Calculus. Ada beberapa cara untuk menggunakan diferensiasi:

  1. Mencari Titik Maksimum dan Minimum: Menemukan titik maksimum (puncak) dan minimum (lembah) dalam suatu fungsi adalah salah satu aplikasi utama diferensiasi. Ini dapat digunakan dalam banyak bidang, seperti ekonomi untuk menemukan laba maksimal atau fisika untuk memahami gerakan benda.

  2. Analisis Perubahan Tingkat: Diferensiasi membantu kita memahami perubahan tingkat atau tingkat pertumbuhan dalam suatu proses. Ini bermanfaat dalam ilmu biologi untuk memahami laju pertumbuhan populasi atau dalam analisis saham untuk melihat bagaimana harga saham berubah dari waktu ke waktu.

  3. Optimisasi: Diferensiasi digunakan untuk menemukan nilai yang optimal untuk berbagai masalah. Ini bisa menjadi nilai yang meminimalkan biaya produksi atau memaksimalkan keuntungan perusahaan.

  4. Analisis Grafik: Diferensiasi membantu kita memahami bagaimana kurva pada grafik dapat menunjukkan perubahan fungsi. Garis singgung ini menunjukkan gradien atau tingkat perubahan tertentu.

Kita akan memilih salah satu contoh pengaplikasian untuk digunakan menggunakan RStudio. Untuk melihat bagaimana turunan dapat digunakan untuk menemukan titik ekstremum pada fungsi, kita akan menerapkan konsep aplikasi turunan. Selain itu, untuk visualisasi, kita akan menggunakan paket ggplot2.

Berikut ini adalah penjelasan dari setiap langkah kode diatas:

Langkah pertama: Pada langkah ini, kita mendefinisikan sebuah fungsi. Fungsi ini adalah x^3 - 3x^2 + 2x + 1.

library(ggplot2)

# Langkah pertama - mendefinisikan fungsi
f <- function(x) {
  return(x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1)
}

Langkah kedua melibatkan pembuatan kumpulan titik (x, y) yang berfungsi sebagai representasi grafik fungsi yang telah didefinisikan pada langkah pertama. Nilai x memiliki interval 0,1 dan berkisar dari -2 hingga 4. Mereka menyimpan hasilnya dalam objek data.

# Langkah kedua - Buat plot fungsi
x <- seq(-2, 4, by = 0.1)
y <- f(x)
data <- data.frame(x, y)

Langkah ketiga: Pada langkah ini, kita menghitung turunan dari fungsi yang telah didefinisikan sebelumnya. Turunan adalah 3x^2 - 6x + 2.

# Langkah ketiga - Hitung turunan fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(3*x^2 - 6*x + 2)
}

Langkah keempat: Kita mencari titik ekstremum (maksimum) dari fungsi dengan bantuan turunan. Fungsi optimize digunakan untuk mencari nilai maksimum dari turunan dalam interval [-2, 4]. Hasilnya disimpan dalam extremum_x dan extremum_y.

# Langkah keempat - Cari titik ekstremum (maksimum)
extremum_x <- optimize(f_prime, interval = c(-2, 4), maximum = TRUE)$maximum
extremum_y <- f(extremum_x)

Langkah kelima: Pada langkah terakhir, kita membuat grafik dari fungsi yang telah didefinisikan dan menambahkan titik ekstremum pada grafik tersebut. Grafik ini memvisualisasikan fungsi beserta titik maksimumnya.

# Langkah kelima - Plot grafik fungsi dengan titik ekstremum
p <- ggplot(data, aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_point(data = data.frame(x = extremum_x, y = extremum_y), aes(x, y), color = "deeppink", size = 3) +
  geom_text(data = data.frame(x = extremum_x, y = extremum_y), aes(x, y, label = paste("(", round(extremum_x, 2), ",", round(extremum_y, 2), ")")), vjust = -0.5, hjust = 1) +
  labs(title = "Grafik Fungsi dengan Titik Ekstremum")
print(p)