Vektor Eigen Dan Nilai Eigen Dalam Kalkulus

Dosen : Prof. Dr. Suhartono, S.Si., M.Kom_196805192003121001

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains Dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Kelas : C

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Vektor Eigen Dan Nilai Eigen

Pada bagian sebelumnya, kita melihat bahwa penyelesaian persamaan diferensial linier apa pun yang dimulai pada kondisi awal apa pun dapat ditulis sebagai kombinasi linier $m_1\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}+m_2\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ , Di mana $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ adalah solusi yang dimulai dari kondisi awal $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ adalah solusinya dimulai dari $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ . Tidak masalah bagaimana caranya $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ dipilih, asalkan tidak kolinear, yaitu sepanjang menjangkau ruang negara.

Di bagian ini, kami akan menunjukkan bahwa ada cara tertentu dalam memilih $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ yang membuat solusi $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ memiliki format yang sangat sederhana dan murni eksponensial. Vektor yang akan dipilih adalah vektor eigen matriks $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$. Vektor eigen menandai arah aliran yang langsung menuju titik tetap atau menjauhinya. Di sini, aliran pada subruang dari $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{1}}}$ menjauhi titik tetap, sedangkan aliran sepanjang subruang $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{2}}}$ berada di dalam menuju titik tetap.

Konsekuensi dari penyelarasan aliran dengan vektor eigen ini adalah lintasan dari kondisi awal apa pun $m_1\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{1}}}$ akan memiliki formulir $m_1\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{1}}}$ dan demikian pula untuk kondisi awal $m_2(t)\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{2}}}$.

Seperti yang kita lakukan di bagian sebelumnya, mari menghitung lintasannya $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ mulai dari dua vektor eigen dan buat plotnya $y(t)$ komponen solusi. Karena kita mengantisipasi bentuk eksponensial untuk fungsi tersebut, kita akan menggunakan sumbu semi-log, dimana eksponensial akan terlihat seperti garis lurus.

traj_eigen1 <- integrateODE(dx ~ x + y, dy ~ 2*x, 
                            bounds(t=0:1), 
                            x=0.7071, y=0.7071)

## Solution containing functions x(t), y(t).

## Solution containing functions x(t), y(t).
traj_eigen2 <- integrateODE(dx ~ x + y, dy ~ 2*x, 
                            bounds(t=0:1),
                            x=-0.4472, y=0.8944)

## Solution containing functions x(t), y(t).

## Solution containing functions x(t), y(t).
traj_plot(y(t) ~ t, traj_eigen1, color="magenta") %>%
 traj_plot(y(t) ~ t, traj_eigen2, color="blue") %>% 
  gf_refine(scale_y_log10(
    breaks=c(0.3290, 0.7071, 0.8944, 5.2248)))