Solusi Vektor Persamaan Diferensial Linier Dalam Kalkulus

Dosen : Prof. Dr. Suhartono, S.Si., M.Kom_196805192003121001

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains Dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Kelas : C

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Bentuk penulisan persamaan diferensial linier dalam dua variabel keadaan adalah $$\begin{array}{rc}{\partial }_{t}x& =ax+by\\ {\partial }_{t}y& =cx+dy.\end{array}$$ Bagian penting dalam membangun teori stabilitas adalah menemukan serangkaian ide matematika yang memungkinkan kita melihat dinamika dengan cara yang lebih sederhana. Ide yang akan kami perkenalkan di sini adalah memikirkan keadaan dan lintasan persamaan diferensial dalam bentuk vektor . Di sini kita akan bekerja dengan sistem dengan keadaan dinamis dua variabel, namun hasilnya juga berlaku untuk keadaan dimensi yang lebih tinggi. Hal ini penting dalam pekerjaan terapan, dimana sistem yang dimodelkan rumit dengan banyak komponen keadaan.

Kita dapat menulis ulang persamaan diferensial linier menggunakan notasi vektor dan matriks. Misalkan kita mengumpulkan $x$ Dan $y$ komponen negara menjadi vektor, $$\stackrel{\rightharpoonup }{\mathbf{w}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}=\left[\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right].$$ Persamaan diferensial, dalam hal $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathbf{w}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ adalah $${\partial }_t\stackrel{\rightharpoonup }{\mathbf{w}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\stackrel{\rightharpoonup }{\mathbf{w}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}.$$

Sekarang bayangkan kita memilih dua vektor non-kolinear, $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ yang menjangkau ruang negara. Karena vektor-vektor diasumsikan menjangkau suatu keadaan, setiap kondisi awal dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari kedua vektor tersebut: $$\stackrel{\rightharpoonup }{\mathbf{w}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{)}}=\left[\begin{array}{c}x(0)\\ y(0)\end{array}\right]=m_1\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}+m_2\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}.$$ Untuk saat ini, kami tidak akan mengkhawatirkan cara terbaik untuk memilih $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ ; dua vektor apa pun yang tidak kolinear dapat digunakan.

Kita dapat menggunakannya integrateODE()untuk mencari solusi dimulai dari kondisi awal apa pun. Secara khusus, kita dapat menemukan solusinya $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ sebagai kondisi awal dan, demikian pula, menggunakan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ sebagai kondisi awal.

traj_u1 <- integrateODE(dx ~ x + y, dy ~ 2*x, x=1, y=-3, domain(t=0:2))

## Solution containing functions x(t), y(t).

traj_u2 <- integrateODE(dx ~ x + y, dy ~ 2*x, x=1, y= 0, domain(t=0:2))

## Solution containing functions x(t), y(t).

Sekilas, kedua lintasan tersebut $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}$ pada Gambar 45.2 yang dimulai dari $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ mungkin tidak terlihat seperti lintasan pada Gambar 45.1 yang dimulai dari $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathbf{w}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{)}}=-0.7\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}-0.4\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ . Namun sebenarnya ada hubungan yang sangat sederhana antara lintasan:$$\stackrel{\rightharpoonup }{\mathbf{w}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}=-0.7\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}-0.4\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}.$$ Untuk menyatakan situasi secara lebih umum, solusi apa pun terhadap persamaan diferensial dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari solusi yang dimulai dari $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ , bagaimanapun caranya $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}}$ Dan $\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathbf{u}}_{\mathbf{2}}}$ dipilih.