Perkalian Dan Sinusoida Pada Vektor

Dosen : Prof. Dr. Suhartono, S.Si., M.Kom_196805192003121001

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains Dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Kelas : C

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Perkalian Titik Pada Fungsi

Diberikan dua fungsi, $f(t)$ Dan $g(t)$ didefinisikan pada beberapa domain $D$ , kita akan menghitung perkalian titik dari fungsi-fungsi tersebut sebagai penjumlahan dari perkalian kedua fungsi tersebut, yaitu: $$f(t)\bullet g(t)\equiv {\int }_{D}f(t)g(t)dt.$$ Example: Proyek $f(t)\equiv t^2$ ke$g(t)=\text{one}(t)$ atas domain $-1\le t\le 1$. Proyeksi dari $f(t)$ ke $g(t)$ akan $$\widehat{f(t)}=\frac{f(t)\bullet g(t)}{g(t)\bullet g(t)}g(t)$$

$f(t)\bullet g(t)\equiv {\int }_{-1}^1{t}^{2}dt=\frac{1}{3}{t^3|}_{-1}^1=\frac{2}{3}$ $g(t)\bullet g(t)\equiv {\int }_{-1}^{1}dt=2$ Dengan demikian, $$\widehat{f(t)}=\frac{1}{3}\text{one(t)}=\frac{1}{3}.$$

Sinusoida sebagai vektor

Sinusoida adalah model dasar fenomena periodik. Untuk memulai penggunaan sinusoida sebagai vektor, kita akan mulai dengan pengaturan sederhana: sinusoida tunggal dengan frekuensi tertentu.

Gambar 33.2 menunjukkan tiga sinusoidal yang semuanya mempunyai frekuensi yang sama, namun sedikit bergeser terhadap waktu:

Karena kita mempunyai perkalian titik untuk suatu fungsi, kita dapat menganggap ketiga sinusoidal tersebut sebagai vektor. Misalnya, pertimbangkan panjang bentuk gelombang A dan B serta sudut yang disertakan di antara keduanya.

Kosinus sudut yang disertakan $\theta$ antara fungsi A dan B dihitung menggunakan rumus perkalian titik: $$\cos (\theta )=\frac{A\bullet B}{\parallel A\parallel \parallel B\parallel }$$

Sejak $\cos (\theta )=0$ , gelombang A dan B ortogonal. Memang benar, tidak ada sudut siku-siku yang dapat dilihat dari grafik, namun matematika sudut memberikan hasil ini.

Presentasi grafis ortogonalitas antara bentuk gelombang A dan B lebih mudah untuk diapresiasi jika kita memplot perkalian titik itu sendiri: integral bentuk gelombang A kali bentuk gelombang B. Gambar 33.3 menunjukkan integral ini menggunakan warna, biru untuk positif dan oranye untuk negatif. Integralnya adalah nol, karena luas positif (biru) sama persis dengan luas negatif (oranye).