Probabilitas dan Fungsi

Dosen: Prof. Dr. Suhartono, S.Si., M.Kom_196805192003121001

Fakultas: Sains dan Teknologi

Program Studi: Teknik Informatika

Kelas: C

Kepadatan Probabilitas

Probabilitas, seperti yang Anda ketahui, adalah bilangan tak berdimensi antara nol dan satu (inklusif). Dalam bab ini, Anda akan membahas fungsi-fungsi yang berkaitan dengan probabilitas. Masukan ke fungsi-fungsi ini biasanya berupa besaran yang mempunyai dimensi, misalnya mil yang ditempuh oleh sebuah mobil. Untuk beberapa fungsi yang akan kita lihat di bab ini, keluarannya berupa probabilitas. Untuk fungsi lain dalam bab ini, outputnya adalah kepadatan probabilitas .

Probabilitas berkaitan dengan gagasan abstrak tentang suatu peristiwa . Suatu peristiwa adalah suatu proses yang menghasilkan suatu hasil . Contohnya:

Pelemparan koin adalah peristiwa yang kemungkinan terjadinya H dan T. Mengikuti tes pemeriksaan kesehatan adalah peristiwa yang hasilnya “positif” atau “negatif.” Melempar anak panah tepat sasaran adalah suatu peristiwa yang hasilnya adalah jarak titik tumbukan dari pusat sasaran. Suatu peristiwa dengan hasil yang berbeda—lemparan koin, tes pemeriksaan kesehatan—dapat dimodelkan dengan memberikan nomor probabilitas pada setiap kemungkinan hasil. Agar model probabilitas valid, masing-masing angka yang ditetapkan harus lebih besar atau sama dengan nol. Selain itu, jumlah angka yang diberikan pada seluruh kemungkinan hasil haruslah 1.

Untuk kejadian dengan hasil yang kontinu, seperti lemparan anak panah yang jarak hasilnya dari pusat, model probabilitas berbentuk fungsi yang domainnya adalah hasil yang mungkin. Agar model menjadi model probabilitas yang valid, kita memerlukan keluaran fungsi yang tidak boleh kurang dari nol. Ada persyaratan lain juga: integral fungsi di seluruh domain harus 1. Untuk kejadian lempar panah, jika kita menyatakan jarak dari sasaran sebagai $g(r)$ persyaratan integralnya adalah $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(r)dr=1.$$ Perhatikan bahwa outputnya $g(r)$ bukan suatu probabilitas , melainkan kepadatan probabilitas . Untuk mengetahui alasannya, mari gunakan teorema dasar kalkulus untuk membagi integral menjadi tiga segmen:

• Dekat dengan sasaran $0\le r\le a$
• Jauh dari sasaran $b<r$
• tidak dekat tetapi tidak jauh: $a<r\le b$ Integral totalnya adalah $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(r)dr=1={\int }_0^{a}g(r)dr+{\int }_a^{b}g(r)dr+{\int }_b^{\mathrm{\infty }}g(r)dr.$$ Peluang anak panah itu mendarat pada jarak antara keduanya $adan$ $b$ $${\int }_a^{b}g(r)dr.$$