1 CONHECENDO OS DADOS

1.1 DataSet do projeto

Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - 2015

A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - PNAD investiga anualmente, de forma permanente, características gerais da população, de educação, trabalho, rendimento e habitação e outras, com periodicidade variável, de acordo com as necessidades de informação para o país, como as características sobre migração, fecundidade, nupcialidade, saúde, segurança alimentar, entre outros temas. O levantamento dessas estatísticas constitui, ao longo dos 49 anos de realização da pesquisa, um importante instrumento para formulação, validação e avaliação de políticas orientadas para o desenvolvimento socioeconômico e a melhoria das condições de vida no Brasil.

Variáveis utilizadas

Renda

Rendimento mensal do trabalho principal para pessoas de 10 anos ou mais de idade.

Idade

Idade do morador na data de referência em anos.

Altura (elaboração própria)

Altura do morador em metros.

UF

Código Descrição
11 Rondônia
12 Acre
13 Amazonas
14 Roraima
15 Pará
16 Amapá
17 Tocantins
21 Maranhão
22 Piauí
23 Ceará
24 Rio Grande do Norte
25 Paraíba
26 Pernambuco
27 Alagoas
28 Sergipe
29 Bahia
31 Minas Gerais
32 Espírito Santo
33 Rio de Janeiro
35 São Paulo
41 Paraná
42 Santa Catarina
43 Rio Grande do Sul
50 Mato Grosso do Sul
51 Mato Grosso
52 Goiás
53 Distrito Federal

Sexo

Código Descrição
0 Masculino
1 Feminino

Anos de Estudo

Código Descrição
1 Sem instrução e menos de 1 ano
2 1 ano
3 2 anos
4 3 anos
5 4 anos
6 5 anos
7 6 anos
8 7 anos
9 8 anos
10 9 anos
11 10 anos
12 11 anos
13 12 anos
14 13 anos
15 14 anos
16 15 anos ou mais
17 Não determinados
Não aplicável

Cor

Código Descrição
0 Indígena
2 Branca
4 Preta
6 Amarela
8 Parda
9 Sem declaração

Observação

Os seguintes tratamentos foram realizados nos dados originais:

    1. Foram eliminados os registros onde a Renda era inválida (999 999 999 999);
    1. Foram eliminados os registros onde a Renda era missing;
    1. Foram considerados somente os registros das Pessoas de Referência de cada domicílio (responsável pelo domicílio).

Configurações

library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
library(ggplot2)

Confirgurando os gráficos:

options(repr.plot.width = 7, repr.plot.height = 4)

Importando dataset do projeto

dados <- read.csv('dados.csv')
head(dados)
##   UF Sexo Idade Cor Anos.de.Estudo Renda   Altura
## 1 11    0    23   8             12   800 1.603808
## 2 11    1    23   2             12  1150 1.739790
## 3 11    1    35   8             15   880 1.760444
## 4 11    0    46   2              6  3500 1.783158
## 5 11    1    47   8              9   150 1.690631
## 6 11    1    34   8             12   790 1.637906

Verificando a quantidade de linhas no dataset

nrow(dados)
## [1] 76840

2 TESTES DE HIPÓTESES

Testes estatísticos são regras de decisão que permitem avaliar a razoabilidade das hipóteses feitas sobre os parâmetros populacionais e aceitá-las ou rejeitá-las como provavelmente verdadeiras ou falsas tendo como base uma amostra.

2.1 Teste de normalidade

A função shapiro.test testa a hipótese nula \(H_0\) de que a amostra é proveniente de uma distribuição normal, ou seja, os dados são normalmente distribuídos.

Documentações:

Definindo a significância do teste (\(\alpha\))

significancia <- 0.05

Testando a variável Renda

Vamos fazer o histograma da variável:

ggplot(dados, aes(x = Renda)) + 
    geom_histogram() + 
    ylab("Frequência") + 
    xlab("Renda") + 
    ggtitle('Histograma Renda') +
    theme(plot.title=element_text(hjust = 0.5))
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Ao observa-lo já podemos perceber que ele não é normal, ou seja, é assimétrica a direita. Vamos agora fazer o teste para validar esta informação.

Critério do valor \(p\)

Rejeitar \(H_0\) se o valor \(p\leq \alpha\)

Vamos primeiramente fazer uma amostra de nossos dados:

amostra <- sample_n(dados, 5000)

Agora vamos fazer o teste de shapiro na amostra.

resultado <- shapiro.test(amostra$Renda)
resultado
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  amostra$Renda
## W = 0.50382, p-value < 2.2e-16

Neste caso podemos identificar o p-valor e a estatística W. Vamos amarzenar o p-valor numa variável específica. A apresentação acima é um resultado padrão para valores muito pequenos

p_valor <- resultado$p.value
p_valor
## [1] 5.534473e-80

Também podemos visualizar separadamente a estatística do teste:

resultado$statistic
##         W 
## 0.5038198

Agora vamos verificar se o p-valor é menor que a significância:

p_valor <= significancia
## [1] TRUE

Como ele é menor, logo devemos rejeitar a hipótese nula de que os dados comportam-se como uma distribuição normal.

Testando a variável Altura

Agora vamos refazer o mesmo teste com a variável altura:

ggplot(dados, aes(x = Altura)) + 
    geom_histogram() + 
    ylab("Frequência") + 
    xlab("Altura") + 
    ggtitle('Histograma Altura') +
    theme(plot.title=element_text(hjust = 0.5))
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Veja que este já tem a aparência de uma distribuição normal, vamos apenas comprovar com o teste.

Critério do valor \(p\)

Rejeitar \(H_0\) se o valor \(p\leq \alpha\)

resultado <- shapiro.test(amostra$Altura)
resultado
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  amostra$Altura
## W = 0.99958, p-value = 0.3603
p_valor <- resultado$p.value
p_valor
## [1] 0.3603318

Comparando o p-valor com a significância

p_valor <= significancia
## [1] FALSE

2.2 Etapas Básicas de um Teste

Passo 1 - formulação das hipóteses \(H_0\) e \(H_1\);

Pontos importantes - De maneira geral, o alvo do estudo deve ser formulado como a hipótese alternativa \(H_1\). - A hipótese nula sempre afirma uma igualdade ou propriedade populacional, e \(H_1\) a desigualdade que nega \(H_0\). - No caso da hipótese nula \(H_0\) a igualdade pode ser representada por uma igualdade simples “\(=\)” ou por “\(\geq\)” e “\(\leq\)”. Sempre complementar ao estabelecido pela hipótese alternativa. - A hipótese alternativa \(H_1\) deve definir uma desigualdade que pode ser uma diferença simples “\(\neq\)” ou dos tipos “\(>\)” e “\(<\)”.

Passo 2 - escolha da distribuição amostral adequada;

Pontos importantes - Quando o tamanho da amostra tiver 30 elementos ou mais, deve-se utilizar a distribuição normal, como estabelecido pelo teorema do limite central. - Para um tamanho de amostra menor que 30 elementos, e se pudermos afirmar que a população se distribui aproximadamente como uma normal e o desvio padrão populacional for conhecido, deve-se utilizar a distribuição normal. - Para um tamanho de amostra menor que 30 elementos, e se pudermos afirmar que a população se distribui aproximadamente como uma normal e o desvio padrão populacional for desconhecido, deve-se utilizar a distribuição t de Student.

Passo 3 - fixação da significância do teste (\(\alpha\)), que define as regiões de aceitação e rejeição das hipóteses (os valores mais freqüentes são 10%, 5% e 1%);

Pontos importantes - O nível de confiança (\(1 - \alpha\)) representa a probabilidade de acerto da estimativa. De forma complementar o nível de significância (\(\alpha\)) expressa a probabilidade de erro da estimativa.

  • O nível de confiança representa o grau de confiabilidade do resultado da estimativa estar dentro de determinado intervalo. Quando fixamos em uma pesquisa um nível de confiança de 95%, por exemplo, estamos assumindo que existe uma probabilidade de 95% dos resultados da pesquisa representarem bem a realidade, ou seja, estarem corretos.

Passo 4 - cálculo da estatística-teste e verificação desse valor com as áreas de aceitação e rejeição do teste;

Pontos importantes

  • Nos testes paramétricos, distância relativa entre a estatística amostral e o valor alegado como provável.
  • Neste passo são obtidas as estatísticas amostrais necessárias à execução do teste (média, desvio-padrão, graus de liberdade etc.)

Passo 5 - Aceitação ou rejeição da hipótese nula.

Pontos importantes - No caso de o intervalo de aceitação conter a estatística-teste, aceita-se \(H_0\) como estatisticamente válido e rejeita-se \(H_1\) como tal. - No caso de o intervalo de aceitação não conter a estatística-teste, rejeita-se \(H_0\) e aceita-se \(H_1\) como provavelmente verdadeira. - A aceitação também se verifica com a probabilidade de cauda (p-valor): se maior que \(\alpha\), aceita-se \(H_0\).

Exercício do Capítulo:

  • 1 Julgue as alternativas abaixo sobre a formulação das hipótese de um teste e seleciona as corretas.
  1. A hipótese nula sempre afirma uma igualdade ou propriedade populacional

    v

  2. A hipótese alternativa sempre afirma uma igualdade ou propriedade populacional

    f

  3. A hipótese nula pode ser representada pelo símbolos de maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤)

    v

  4. A hipótese alternativa pode ser representada pelo símbolos de maior (>) e menor (<)

    v

3 TESTES PARAMÉTRICOS

Quando um teste assume determinadas premissas sobre como os parâmetros de uma população se distribuem, estamos trabalhando com Testes Paramétricos.

3.1 Teste Bicaudal

Problema

A empresa Suco Bom produz sucos de frutas em embalagens de 500 ml. Seu processo de produção é quase todo automatizado e as embalagens de sucos são preenchidas por uma máquina que às vezes apresenta um certo desajuste, levando a erros no preenchimento das embalagens para mais ou menos conteúdo. Quando o volume médio cai abaixo de 500 ml, a empresa se preocupa em perder vendas e ter problemas com os orgãos fiscalizadores. Quando o volume passa de 500 ml, a empresa começa a se preocupar com prejuízos no processo de produção.

O setor de controle de qualidade da empresa Suco Bom extrai, periodicamente, amostras de 50 embalagens para monitorar o processo de produção. Para cada amostra, é realizado um teste de hipóteses para avaliar se o maquinário se desajustou. A equipe de controle de qualidade assume um nível de significância de 5%.

Suponha agora que uma amostra de 50 embalagens foi selecionada e que a média amostral observada foi de 503,24 ml. Esse valor de média amostral é suficientemente maior que 500 ml para nos fazer rejeitar a hipótese de que a média do processo é de 500 ml ao nível de significância de 5%?

O teste bicaudal é muito utilizado em testes de qualidade, como o apresentado em nosso problema acima. Outro exemplo é a avaliação de peças que devem ter um encaixe perfeito (porcas e parafusos, chaves e fechaduras etc.).

Dados do problema

Vamos construir a amostra:

amostra <- c(509, 505, 495, 510, 496, 509, 497, 502, 503, 505, 
           501, 505, 510, 505, 504, 497, 506, 506, 508, 505, 
           497, 504, 500, 498, 506, 496, 508, 497, 503, 501, 
           503, 506, 499, 498, 509, 507, 503, 499, 509, 495, 
           502, 505, 504, 509, 508, 501, 505, 497, 508, 507)

Vamos transformar a variável em um dataframe:

amostra <- data.frame(Amostra = amostra)
head(amostra)
##   Amostra
## 1     509
## 2     505
## 3     495
## 4     510
## 5     496
## 6     509

Vamos agora calcular a média e o desvio padrão amostral:

media_amostra <- mean(amostra$Amostra)
desvio_padrao_amostra <- sd(amostra$Amostra)
sprintf('Média da amostra = %s e Desvio Padrão Amostral = %s ', media_amostra, desvio_padrao_amostra)
## [1] "Média da amostra = 503.24 e Desvio Padrão Amostral = 4.48380305052735 "

Inserindo os demais dados necessários ao problema, como média populacional , significância e confiança:

media <- 500
significancia <- 0.05
confianca <- 1-significancia
n <- 50

Passo 1 - formulação das hipóteses \(H_0\) e \(H_1\)

Lembre-se, a hipótese nula sempre contém a alegação de igualdade

\(H_0: \mu = 500\)

\(H_1: \mu \neq 500\)

Passo 2 - escolha da distribuição amostral adequada

O tamanho da amostra é maior que 30?

Resp.: Sim

O desvio padrão populacional é conhecido?

Resp.: Não

Passo 3 - fixação da significância do teste (\(\alpha\))

Documentações:

probabilidade <- (0.5 + (confianca / 2))
probabilidade
## [1] 0.975

Obtendo \(z_{\alpha/2}\)

z_alpha_2 <- qnorm(probabilidade)
z_alpha_2
## [1] 1.959964

Passo 4 - cálculo da estatística-teste e verificação desse valor com as áreas de aceitação e rejeição do teste

\[z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

z <- (media_amostra - media) / (desvio_padrao_amostra / sqrt(n))
z
## [1] 5.10956

Passo 5 - Aceitação ou rejeição da hipótese nula

Critério do valor crítico

Teste Bicaudal Rejeitar \(H_0\) se \(z \leq -z_{\alpha / 2}\) ou se \(z \geq z_{\alpha / 2}\)

Aplicando uma análise:

if(z <= -z_alpha_2 || z >= z_alpha_2){
    'Rejeitar H0'
}else{
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Rejeitar H0"

Conclusão: Como a média amostral \(\bar{x}\) é significativamente maior que 500 ml, rejeitamos \(H_0\). Neste caso, devem ser tomadas providências para ajustar o maquinário que preenche as embalagens.

Exercícios do Capítulo:

  • 1 Uma indústria de cimento afirma que a quantidade média de cimento nas embalagens de seu produto é de 25 kg. Um teste de pesagem em uma amostra de 45 embalagens apresentou um peso médio igual a 25,2 kg. Medições anteriores afirmam que a distribuição dos pesos segue uma normal e que o desvio padrão populacional é igual a 400 g. Considerando um nível de significância igual a 5%, responda as seguintes questões:
  1. Qual a hipótese nula a ser testada?
mediae <- 25
ne <- 45
media_amostrae <- 25.2
desvio_padraoe <- 0.4
significanciae <- 0.05
confiancae = 1-significanciae

# 1) Qual a hipótese nula a ser testada?
hipotesee <- 'H0: μ = 25'
hipotesee
## [1] "H0: μ = 25"
  1. Qual o valor da estatística de teste?
probabilidadee <- (0.5 + (confiancae / 2))
z_alpha_2e <- qnorm(probabilidadee)

# 2) Qual o valor da estatística de teste?
ze <- (media_amostrae - mediae) / (desvio_padraoe / sqrt(ne))
ze
## [1] 3.354102
  1. Qual a conclusão do teste?
# 3) Qual a conclusão do teste?
if (ze <= -z_alpha_2e || ze >= z_alpha_2e) {
    'Rejeitar H0'
} else {
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Rejeitar H0"

Critério do \(p-valor\)

Teste Bicaudal Rejeitar \(H_0\) se o valor \(p\leq\alpha\)

p_valor <- 2 * (1 - pnorm(z))
p_valor
## [1] 3.229103e-07
p_valor <= significancia
## [1] TRUE

Documentações:

Vamos carregar o pacote DescTools para uso:

library(DescTools)

Aplicando o Ztest:

 ZTest(amostra$Amostra, mu = media, sd_pop = desvio_padrao_amostra)
## 
##  One Sample z-test
## 
## data:  amostra$Amostra
## z = 5.1096, Std. Dev. Population = 4.4838, p-value = 3.229e-07
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 500
## 95 percent confidence interval:
##  501.9972 504.4828
## sample estimates:
## mean of x 
##    503.24

Armazenando esse resultado numa variável:

resultado <- ZTest(amostra$Amostra, mu = media, sd_pop = desvio_padrao_amostra)

Verificando a Estatísticas:

resultado$statistic
##       z 
## 5.10956

Verificando o p-valor

p_valor <- resultado$p.value
p_valor
## [1] 3.229103e-07

Verificando se p-valor é menor que a significância:

p_valor <= significancia
## [1] TRUE

Como o resultado é verdadeiro, a hipótese nula é rejeitada e a vairação no peso das embalagens deve ser corrigida.

Exercícios do Capítulo:

  • 1 Considere novamente os dados do problema anterior. Uma indústria de cimento afirma que a quantidade média de cimento nas embalagens de seu produto é de 25 kg. Um teste de pesagem em uma amostra de 45 embalagens apresentou um peso médio igual a 25,2 kg. Medições anteriores afirmam que a distribuição dos pesos segue uma normal e que o desvio padrão populacional é igual a 400 g.

Com um nível de significância igual a 5%, teste a hipótese nula de que a média do processo é igual a 25 kg e selecione a alternativa que indica o p-valor do teste aplicado (considere somente 5 casas decimais).

Solução:

mediae <- 25
ne <- 45
media_amostrae <- 25.2
desvio_padraoe <- 0.4

# Estatística de teste
ze <- (media_amostrae - mediae) / (desvio_padraoe / sqrt(ne))

# p-valor
p_valore <- 2 * (1 - pnorm(ze))
p_valore
## [1] 0.0007962302
  • 2 Considere o seguinte teste de hipóteses:

\(H0 : \mu = 22 \quad H1: \mu \not = 22\)

Uma amostra aleatória de tamanho 75 foi selecionada e se sabe que o desvio padrão da população é 10. Obtenha o p-valor e a sua conclusão para os dados amostrais abaixo:

  1. Média amostral igual a 25
mediae <- 22
ne <- 75
media_amostrae <- 25
desvio_padraoe <- 10
# Estatística de teste
ze <- (media_amostrae - mediae) / (desvio_padraoe / sqrt(ne))

# p-valor
p_valore <- 2 * (1 - pnorm(ze))
p_valore
## [1] 0.009374768
  1. Média amostral igual a 20
mediae <- 22
ne <- 75
media_amostrae <- 20
desvio_padraoe <- 10
# Estatística de teste
ze <- (media_amostrae - mediae) / (desvio_padraoe / sqrt(ne))

# p-valor
p_valore <- 2 * (1 - pnorm(ze))
p_valore
## [1] 1.916735

Considere um nível de significância de 1%.

3.2 Teste Unicaudal

Problema

Um famoso fabricante de refrigerantes alega que uma lata de 350 ml de seu principal produto contém, no máximo, 37 gramas de açúcar. Esta alegação nos leva a entender que a quantidade média de açúcar em uma lata de refrigerante deve ser igual ou menor que 37 g.

Um consumidor desconfiado e com conhecimentos em inferência estatística resolve testar a alegação do fabricante e seleciona, aleatóriamente, em um conjunto de estabelecimentos distintos, uma amostra de 25 latas do refrigerante em questão. Utilizando o equipamento correto o consumidor obteve as quantidades de açúcar em todas as 25 latas de sua amostra.

Assumindo que essa população se distribua aproximadamente como uma normal e considerando um nível de significância de 5%, é possível aceitar como válida a alegação do fabricante?

Construindo tabela \(t\) de Student

Documentações:

q <- seq(0.05, 0.005, by = -0.005)
df <- seq(1, 30, by = 1)
probabilidade <- c()
for(i in df){
    for(j in q){
        probabilidade <- c(probabilidade, qt(j, i, lower.tail = F))
    }
}
tabela_t_student <- matrix(probabilidade, ncol=10, byrow=TRUE)
colnames(tabela_t_student) <- format(q)
rownames(tabela_t_student) <- format(df)
tabela_t_student
##       0.050    0.045    0.040    0.035     0.030     0.025     0.020     0.015
##  1 6.313752 7.026366 7.915815 9.057887 10.578895 12.706205 15.894545 21.204949
##  2 2.919986 3.103977 3.319764 3.578247  3.896425  4.302653  4.848732  5.642778
##  3 2.353363 2.470807 2.605427 2.762599  2.950510  3.182446  3.481909  3.896046
##  4 2.131847 2.226100 2.332873 2.455892  2.600762  2.776445  2.998528  3.297630
##  5 2.015048 2.097837 2.190958 2.297392  2.421585  2.570582  2.756509  3.002875
##  6 1.943180 2.019201 2.104306 2.201059  2.313263  2.446912  2.612242  2.828928
##  7 1.894579 1.966153 2.046011 2.136453  2.240879  2.364624  2.516752  2.714573
##  8 1.859548 1.927986 2.004152 2.090166  2.189155  2.306004  2.448985  2.633814
##  9 1.833113 1.899222 1.972653 2.055395  2.150375  2.262157  2.398441  2.573804
## 10 1.812461 1.876774 1.948099 2.028327  2.120234  2.228139  2.359315  2.527484
## 11 1.795885 1.858772 1.928427 2.006663  2.096139  2.200985  2.328140  2.490664
## 12 1.782288 1.844015 1.912313 1.988934  2.076441  2.178813  2.302722  2.460700
## 13 1.770933 1.831700 1.898874 1.974158  2.060038  2.160369  2.281604  2.435845
## 14 1.761310 1.821267 1.887496 1.961656  2.046169  2.144787  2.263781  2.414898
## 15 1.753050 1.812316 1.877739 1.950940  2.034289  2.131450  2.248540  2.397005
## 16 1.745884 1.804553 1.869279 1.941654  2.024000  2.119905  2.235358  2.381545
## 17 1.739607 1.797755 1.861875 1.933530  2.015002  2.109816  2.223845  2.368055
## 18 1.734064 1.791754 1.855340 1.926362  2.007067  2.100922  2.213703  2.356180
## 19 1.729133 1.786417 1.849530 1.919992  2.000017  2.093024  2.204701  2.345648
## 20 1.724718 1.781640 1.844331 1.914292  1.993713  2.085963  2.196658  2.336242
## 21 1.720743 1.777339 1.839651 1.909164  1.988041  2.079614  2.189427  2.327792
## 22 1.717144 1.773447 1.835417 1.904524  1.982911  2.073873  2.182893  2.320160
## 23 1.713872 1.769907 1.831567 1.900307  1.978249  2.068658  2.176958  2.313231
## 24 1.710882 1.766675 1.828051 1.896457  1.973994  2.063899  2.171545  2.306913
## 25 1.708141 1.763711 1.824828 1.892928  1.970095  2.059539  2.166587  2.301130
## 26 1.705618 1.760983 1.821863 1.889682  1.966509  2.055529  2.162029  2.295815
## 27 1.703288 1.758466 1.819126 1.886686  1.963200  2.051831  2.157825  2.290914
## 28 1.701131 1.756134 1.816592 1.883912  1.960136  2.048407  2.153935  2.286380
## 29 1.699127 1.753968 1.814238 1.881336  1.957293  2.045230  2.150325  2.282175
## 30 1.697261 1.751952 1.812047 1.878938  1.954645  2.042272  2.146966  2.278262
##        0.010     0.005
##  1 31.820516 63.656741
##  2  6.964557  9.924843
##  3  4.540703  5.840909
##  4  3.746947  4.604095
##  5  3.364930  4.032143
##  6  3.142668  3.707428
##  7  2.997952  3.499483
##  8  2.896459  3.355387
##  9  2.821438  3.249836
## 10  2.763769  3.169273
## 11  2.718079  3.105807
## 12  2.680998  3.054540
## 13  2.650309  3.012276
## 14  2.624494  2.976843
## 15  2.602480  2.946713
## 16  2.583487  2.920782
## 17  2.566934  2.898231
## 18  2.552380  2.878440
## 19  2.539483  2.860935
## 20  2.527977  2.845340
## 21  2.517648  2.831360
## 22  2.508325  2.818756
## 23  2.499867  2.807336
## 24  2.492159  2.796940
## 25  2.485107  2.787436
## 26  2.478630  2.778715
## 27  2.472660  2.770683
## 28  2.467140  2.763262
## 29  2.462021  2.756386
## 30  2.457262  2.749996

As células da tabela acima são valores de \(t\) para uma área ou probabilidade na cauda superior da distribuição \(t\).

Os testes unicaudais verificam as variáveis em relação a um piso ou a um teto e avaliam os valores máximos ou mínimos esperados para os parâmetros em estudo e a chance de as estatísticas amostrais serem inferiores ou superiores a dado limite.

Exercícios do Capítulo

  • 1 Com base na tabela t de Student acima, Selecione as alternativas corretas.
  1. Para um teste unicaudal, com nível de significância de 5% e 11 registros, o valor de t seria igual a 1,81246

    V

  1. Para um teste unicaudal, com nível de significância de 5% e 11 graus de liberdade, o valor de t seria igual a 1,81246

    F

  1. Para um teste bicaudal, com nível de confiança de 99% e apenas 3 registros, o valor de t seria igual a 9,92484

    V

  1. Para um teste bicaudal, com nível de significância de 6% e 5 graus de liberdade, o valor de t seria igual a 2,60076

    F

Dados do problema

Vamos construir o vetor da amostra

amostra <- c(37.27, 36.42, 34.84, 34.60, 37.49, 
           36.53, 35.49, 36.90, 34.52, 37.30, 
           34.99, 36.55, 36.29, 36.06, 37.42, 
           34.47, 36.70, 35.86, 36.80, 36.92, 
           37.04, 36.39, 37.32, 36.64, 35.45)

Vamos agora construir o dataframe da amostra

amostra <- data.frame(Amostra = amostra)
head(amostra)
##   Amostra
## 1   37.27
## 2   36.42
## 3   34.84
## 4   34.60
## 5   37.49
## 6   36.53

Encontrando a média amostral:

media_amostra <- mean(amostra$Amostra)
media_amostra
## [1] 36.2504

Encontrando o desvio amostral:

desvio_padrao_amostra <- sd(amostra$Amostra)
desvio_padrao_amostra
## [1] 0.9667535

Inserindo os dados complementares fornecidos pelo problema:

media <- 37
significancia <- 0.05
confianca <- 1 - significancia
n <- 25
graus_de_liberdade <- n - 1

Passo 1 - formulação das hipóteses \(H_0\) e \(H_1\)

Lembre-se, a hipótese nula sempre contém a alegação de igualdade

\(H_0: \mu \leq 37\)

\(H_1: \mu > 37\)

Passo 2 - escolha da distribuição amostral adequada

O tamanho da amostra é maior que 30?

Resp.: Não

Podemos afirmar que a população se distribui aproximadamente como uma normal?

Resp.: Sim

O desvio padrão populacional é conhecido?

Resp.: Não

Passo 3 - fixação da significância do teste (\(\alpha\))

Documentações:

Vamos imprimir novamente a tabela só na parte que abriga os graus de liberdade do problema:

tabela_t_student[23:25, ]
##       0.050    0.045    0.040    0.035    0.030    0.025    0.020    0.015
## 23 1.713872 1.769907 1.831567 1.900307 1.978249 2.068658 2.176958 2.313231
## 24 1.710882 1.766675 1.828051 1.896457 1.973994 2.063899 2.171545 2.306913
## 25 1.708141 1.763711 1.824828 1.892928 1.970095 2.059539 2.166587 2.301130
##       0.010    0.005
## 23 2.499867 2.807336
## 24 2.492159 2.796940
## 25 2.485107 2.787436

Obtendo \(t_{\alpha}\)

t_alpha <- qt(confianca, graus_de_liberdade)
t_alpha
## [1] 1.710882

Passo 4 - cálculo da estatística-teste e verificação desse valor com as áreas de aceitação e rejeição do teste

\[t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

t <- (media_amostra - media) / (desvio_padrao_amostra / sqrt(n))
t
## [1] -3.876893

Passo 5 - Aceitação ou rejeição da hipótese nula

Critério do valor crítico

Teste Unicaudal Superior

Rejeitar \(H_0\) se \(t \geq t_{\alpha}\)

t >= t_alpha
## [1] FALSE

Conclusão: Com um nível de confiança de 95% não podemos rejeitar \(H_0\), ou seja, a alegação do fabricante é verdadeira.

Exercícios do Capítulo:

  • 1 A empresa Limpa Esgoto garante ser capaz de realizar o tratamento de esgoto e obter, no máximo, 150g de impurezas para cada mil litros de esgoto tratado. Vinte amostras de mil litros de esgoto apresentaram, em média, 230g de impurezas e desvio padrão amostral igual a 90 g. Assumindo alfa igual a 5% e população normalmente distribuída, seria possível discordar da empresa Limpa Esgoto?

Selecione a alternativa que apresenta a estatística de teste e a decisão correta do teste.

Solução:

media <- 150
n <- 20
graus_de_liberdade <- n - 1
media_amostra <- 230
desvio_padrao <- 90
significancia <- 0.05
confianca <- 1 - significancia

t_alpha <- qt(confianca, graus_de_liberdade)
t <- (media_amostra - media) / (desvio_padrao / sqrt(n))
t
## [1] 3.975232
  • 2 A pizzaria Muito Queijo alega que a quantidade de queijo em suas pizzas tamanho família é de, no mínimo, 350g. Uma amostra de 35 pizzas tamanho família revelou uma média de 330 g de queijo por pizza. O desvio padrão amostral foi de 80g. Assumindo alfa igual a 5% e população normalmente distribuída, seria possível discordar da alegação da pizzaria?

Selecione a alternativa que apresenta a estatística de teste e a decisão correta do teste.

Solução

media <- 350
n <- 35
media_amostra <- 330
desvio_padrao <- 80
significancia <- 0.05
confianca <- 1 - significancia

z_alpha <- qnorm(confianca)
z <- (media_amostra - media) / (desvio_padrao / sqrt(n))
z
## [1] -1.47902

Teste Unicaudal Superior Rejeitar \(H_0\) se o valor \(p\leq\alpha\)

if (z <= -z_alpha) {
    'Rejeitar H0'
} else {
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Aceitar H0"

Vamos entender o comportamento do teste nestes casos observando as figuras abaixo:

# Reicerindo os dados para evitar sujeira de memõria
media_amostra <- mean(amostra$Amostra)
media <- 37
significancia <- 0.05
confianca <- 1 - significancia
n <- 25
graus_de_liberdade <- n - 1
t_alpha <- qt(confianca, graus_de_liberdade)
t <- (media_amostra - media) / (desvio_padrao_amostra / sqrt(n))


p_valor <- pt(t, graus_de_liberdade, lower.tail = F)
p_valor
## [1] 0.9996406

Documentações:

Agora vamos ver o teste pela função reservada do R:

resultado <- t.test(amostra$Amostra, alternative = "greater", mu = media)
resultado
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  amostra$Amostra
## t = -3.8769, df = 24, p-value = 0.9996
## alternative hypothesis: true mean is greater than 37
## 95 percent confidence interval:
##  35.9196     Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##   36.2504

Veja que temos todas as informações nesta estatística do teste t. Podemos também separar cada uma das métricas:

Estatística de teste

resultado$statistic
##         t 
## -3.876893

P-valor

p_valor <- resultado$p.value
p_valor
## [1] 0.9996406

Análise, Rejeitar \(H_0\)?:

resultado$p.value <= significancia
## [1] FALSE

Exercícios do Capítulo

  • 1 Considere o seguinte teste de hipóteses: \(H_0 = \mu \geq 75\) e \(H_1 = \mu < 75\). Uma amostra aleatória de tamanho 23 foi selecionada e se sabe que o desvio padrão da amostra é 12. Obtenha o \(p-valor\) e a sua conclusão para os dados amostrais abaixo:
  1. Média amostral igual a 82
  2. Média amostral igual a 70

Considere um nível de confiança de 95%.

Solução:

media <- 75
n <- 23
graus_de_liberdade <- n - 1
desvio_padrao <- 12
significancia <- 0.05

# 1) Média amostral = 82
t <- (82 - media) / (desvio_padrao / sqrt(n))

p_valor <- pt(t, graus_de_liberdade, lower.tail = T)
p_valor
## [1] 0.9947533
if (p_valor <= significancia) {
    'Rejeitar H0'
} else {
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Aceitar H0"
# 2) Média amostral = 70
t <- (70 - media) / (desvio_padrao / sqrt(n))

p_valor <- pt(t, graus_de_liberdade, lower.tail = T)
p_valor
## [1] 0.02909833
if (p_valor <= significancia) {
    'Rejeitar H0'
} else {
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Rejeitar H0"
  • 2 Uma lanchonete afirma que suas vendas médias são de exatamente R$ 32,00. Uma amostra aleatória de 20 vendas foi selecionada e os valores são apresentados no dataset abaixo:
vendas <- c(32.45, 26.8, 27.81, 30.22, 30.88, 24.9, 31.94, 16.02, 
    24.39, 26.01, 21.83, 25.35, 22.46, 38.2, 29.86, 22.79, 28.83, 27.34, 32.22, 33.26)
dataset <- data.frame(Amostra = vendas)

Sabe-se que as vendas são normalmente distribuídas. Obtenha o valor da estatística de teste, o \(p-valor\) e a decisão para o teste. Assuma um nível de significância de 5%.

Solução:

media <- 32

resultado <- t.test(dataset$Amostra, alternative = "two.sided", mu = media)
t <- resultado$statistic
t
##         t 
## -3.865303
p_valor <- resultado$p.value
p_valor
## [1] 0.001042208
if (p_valor <= significancia) {
    'Rejeitar H0'
} else {
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Rejeitar H0"

3.3 Testes para Duas Amostras

Problema

Em nosso dataset temos os rendimento dos chefes de domicílio obtidos da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - PNAD no ano de 2015. Um problema bastante conhecido em nosso país diz respeito a desigualdade de renda, principalmente entre homens e mulheres.

Duas amostras aleatórias, uma de 500 homens e outra com 500 mulheres, foram selecionadas em nosso dataset. Com o objetivo de comprovar tal desigualdade, teste a igualdade das médias entre estas duas amostras com um nível de significância de 1%.

É possível também utilizar testes de hipóteses para comparar duas diferentes amostras. Neste tipo de teste se deseja decidir se uma amostra é diferente da outra.

Seleção das amostras

homens <- matrix(c(300, 1000, 4000, 5000, 300, 350, 1200, 1200, 1100, 1800, 700, 5000, 250, 1560, 400, 5500, 3000, 0, 1100, 1500, 500, 500, 788, 500, 3000, 788, 2400, 788, 3300, 1350, 2500, 2000, 1300, 2430, 9000, 10120, 1380, 2000, 1400, 1000, 500, 1500, 2200, 2100, 4000, 1000, 1200, 2900, 1800, 2000, 788, 1576, 800, 2400, 788, 788, 788, 0, 12000, 7880, 850, 1000, 1000, 1600, 3800, 788, 1200, 300, 350, 700, 6000, 1500, 5000, 2000, 1200, 800, 250, 800, 1600, 400, 3000, 2304, 800, 1400, 450, 788, 2200, 6000, 1200, 4000, 6000, 1100, 1200, 1300, 3000, 3000, 1500, 1280, 788, 1400, 788, 4000, 0, 1000, 2500, 1300, 3000, 500, 1600, 2000, 1280, 150, 0, 0, 7000, 1061, 700, 788, 2000, 788, 10500, 788, 1600, 1050, 1100, 3000, 800, 1400, 1200, 2500, 1000, 1500, 1500, 900, 2000, 300, 3000, 788, 1400, 2000, 2000, 3000, 2600, 15000, 1500, 950, 1200, 1500, 7500, 1400, 350, 750, 1200, 788, 0, 2500, 1700, 788, 700, 1600, 1200, 320, 6000, 2000, 2000, 3000, 900, 2100, 0, 788, 1800, 1600, 4000, 1300, 1300, 1500, 8900, 1400, 788, 600, 1000, 950, 2000, 4000, 2300, 2000, 800, 2500, 1500, 1400, 800, 6000, 788, 900, 200, 1300, 788, 2600, 1500, 8000, 900, 2000, 2000, 350, 3000, 9580, 0, 400, 800, 1700, 1800, 1200, 18000, 9000, 3000, 1200, 700, 1200, 400, 987, 6000, 2000, 0, 0, 480, 500, 800, 1680, 10000, 1200, 1700, 788, 2200, 10000, 10000, 100, 1200, 1600, 2500, 1300, 1200, 1300, 2200, 200, 60, 1100, 1200, 6000, 4500, 100, 788, 2900, 2500, 900, 788, 2500, 4000, 788, 1400, 1000, 300, 788, 1000, 4000, 2200, 788, 1000, 1000, 600, 1600, 6000, 2500, 2500, 1000, 3000, 2200, 4500, 1500, 4300, 1500, 8500, 3200, 1200, 1200, 1500, 4000, 2000, 1350, 1500, 890, 5000, 2400, 13000, 800, 1500, 1500, 2000, 580, 500, 920, 1200, 2000, 788, 500, 20000, 1350, 1576, 500, 8000, 1800, 600, 1000, 3000, 4000, 1500, 788, 600, 2300, 1500, 500, 500, 800, 900, 8000, 1600, 3000, 788, 1500, 5200, 900, 3565, 650, 1700, 1600, 788, 1200, 788, 788, 100, 900, 1700, 10000, 1600, 200, 788, 1400, 1500, 400, 4200, 1400, 4000, 5516, 3500, 700, 1400, 1200, 0, 7000, 2000, 5000, 2000, 750, 3000, 2000, 1500, 200, 3000, 1700, 1500, 7000, 1500, 788, 2400, 2500, 1500, 2000, 1500, 2000, 1100, 800, 1800, 480, 3500, 700, 3400, 5000, 5000, 1300, 3000, 2000, 900, 2000, 1000, 1800, 0, 1500, 788, 3500, 875, 5000, 2000, 1300, 1600, 0, 750, 1200, 120, 1800, 1200, 788, 1000, 0, 1400, 2300, 7000, 4000, 5000, 788, 20000, 4000, 0, 1200, 1800, 500, 1000, 788, 1300, 5000, 50, 1700, 2000, 1600, 2000, 1350, 1500, 600, 1700, 780, 2446, 2100, 5000, 1700, 1200, 1000, 788, 4500, 1500, 788, 0, 1580, 1000, 4500, 2400, 788, 1100, 2000, 788, 100, 1200, 1200, 1200, 1000, 2000, 788, 2000, 15000, 600, 0, 1500, 3000, 4000, 900, 810, 600, 1500, 4000, 1200, 5000, 5300, 2500, 800, 0, 1400, 1500, 4000, 1200, 400, 1000, 820, 1000, 1000, 788, 1500, 2500, 1500, 220, 600, 788, 1750, 7000))
mulheres <- matrix(c(788, 1200, 6000, 1000, 788, 1100, 1900, 1577, 900, 950, 1200, 788, 788, 1100, 30, 620, 900, 1000, 1200, 2000, 0, 500, 1200, 1500, 1200, 1120, 788, 788, 2300, 2400, 3000, 788, 4000, 1000, 500, 500, 1700, 200, 6000, 400, 950, 1100, 50, 930, 850, 1100, 3500, 1500, 1200, 900, 1100, 1500, 788, 1000, 788, 4500, 4000, 8000, 3500, 788, 1050, 1000, 1400, 3500, 600, 3000, 500, 930, 2660, 788, 360, 2364, 788, 160, 1100, 1085, 1050, 1500, 100, 0, 788, 250, 1700, 1300, 800, 0, 2000, 820, 910, 300, 2000, 200, 788, 788, 800, 1500, 1300, 1200, 0, 600, 1036, 400, 1100, 788, 400, 1500, 1200, 1800, 1000, 788, 850, 60, 1800, 3500, 600, 200, 500, 200, 1100, 1540, 1100, 900, 800, 500, 200, 1200, 1250, 788, 500, 200, 788, 200, 0, 1800, 2000, 1000, 900, 3000, 700, 1200, 788, 2800, 3300, 400, 0, 850, 1022, 6000, 750, 1000, 3500, 400, 1500, 1000, 800, 0, 980, 2400, 850, 1100, 788, 1100, 788, 1200, 788, 864, 1000, 500, 400, 3000, 1200, 100, 80, 900, 2000, 1250, 1000, 300, 400, 1500, 60, 8000, 1000, 600, 800, 350, 788, 0, 600, 788, 2500, 1300, 800, 8000, 1100, 800, 900, 2000, 0, 800, 1400, 1000, 1200, 788, 3840, 788, 3940, 788, 560, 800, 2000, 600, 2900, 0, 400, 800, 7000, 788, 788, 788, 788, 1250, 1500, 1386, 100, 300, 788, 788, 600, 600, 900, 2800, 788, 350, 900, 0, 150, 788, 788, 1000, 30, 788, 780, 900, 0, 0, 3000, 1800, 2000, 1100, 788, 0, 7500, 1800, 788, 788, 2000, 3000, 180, 2500, 800, 0, 1250, 200, 1100, 0, 1100, 400, 1300, 300, 0, 1312, 600, 200, 4000, 2400, 12000, 2150, 500, 400, 0, 600, 400, 788, 1200, 500, 2000, 1500, 70, 500, 2000, 1000, 100, 500, 2000, 100, 2115, 800, 5800, 2300, 750, 788, 0, 900, 1000, 600, 3000, 5500, 1600, 788, 4000, 0, 1100, 120, 320, 1100, 2500, 200, 800, 3000, 550, 4200, 7000, 720, 0, 2000, 5000, 2000, 788, 500, 788, 7000, 500, 788, 1760, 1200, 3500, 1500, 150, 800, 788, 3000, 400, 788, 1000, 2000, 2500, 0, 788, 5200, 788, 0, 600, 1300, 120, 850, 1576, 788, 2000, 1300, 788, 800, 1800, 655, 1580, 789, 788, 850, 788, 7000, 788, 430, 800, 788, 900, 10000, 1200, 300, 400, 788, 788, 3000, 900, 1300, 1300, 788, 800, 1000, 1890, 0, 788, 900, 4000, 788, 1010, 150, 450, 1700, 890, 1200, 2800, 1000, 788, 788, 700, 600, 800, 880, 6000, 800, 800, 820, 788, 1030, 560, 2100, 6500, 2500, 788, 400, 300, 788, 2300, 1000, 3500, 984, 1576, 420, 1700, 450, 1800, 400, 1500, 1500, 4256, 1200, 890, 1200, 300, 400, 850, 1500, 3800, 1800, 996, 2000, 1000, 788, 1500, 300, 600, 950, 1200, 788, 1200, 1500, 250, 788, 1200, 6000, 300, 789, 1500, 788, 3800, 780, 1200, 1200, 220, 788, 500, 200, 480, 1576, 1576, 1035, 900, 800, 1000, 805, 200, 1200, 2220, 1500, 880, 220, 2000, 788, 150, 0, 13000, 40, 5500, 788, 788, 1000, 400, 2000, 200, 1600))

Dados do problema

Média amostral das mulheres:

media_amostra_M <- mean(mulheres)
media_amostra_M
## [1] 1357.528

Desvio padrão amostral das mulheres:

desvio_padrao_amostra_M <- sd(mulheres)
desvio_padrao_amostra_M
## [1] 1569.901

Média amostral dos homens:

media_amostra_H <- mean(homens)
media_amostra_H
## [1] 2142.608

Desvio padrão amostral dos homens:

desvio_padrao_amostra_H <- sd(homens)
desvio_padrao_amostra_H
## [1] 2548.051

Demais dados necessários contidos no problema:

significancia <- 0.01
confianca <- 1 - significancia
n_M <- 500
n_H <- 500
D_0 <- 0

Passo 1 - formulação das hipóteses \(H_0\) e \(H_1\)

Lembre-se, a hipótese nula sempre contém a alegação de igualdade

\(\mu_1 \Rightarrow\) Média das rendas dos chefes de domicílios do sexo masculino

\(\mu_2 \Rightarrow\) Média das rendas dos chefes de domicílios do sexo feminino

\(\begin{cases} H_0: \mu_1 \leq \mu_2\\ H_1: \mu_1 > \mu_2 \end{cases}\)

ou

\(\begin{cases} H_0: \mu_1 -\mu_2 \leq 0\\ H_1: \mu_1 -\mu_2 > 0 \end{cases}\)

Passo 2 - escolha da distribuição amostral adequada

Observação importante

Em testes que envolvam duas amostras com o emprego da tabela \(t\) de Student, o número de graus de liberdade será sempre igual a \(n_1 + n_2 - 2\)

O tamanho da amostra é maior que 30?

Resp.: Sim

O desvio padrão populacional é conhecido?

Resp.: Não

Passo 3 - fixação da significância do teste (\(\alpha\))

Calculando a probabilidade do teste:

probabilidade <- confianca
probabilidade
## [1] 0.99

Encontrando o valor de \(\alpha\)

z_alpha <- qnorm(probabilidade)
z_alpha
## [1] 2.326348

Passo 4 - cálculo da estatística-teste e verificação desse valor com as áreas de aceitação e rejeição do teste

\[z = \dfrac{(\bar{x_1} - \bar{x_2})-D_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\]

Fazendo o cálculo do teste \(z\)

numerador <- (media_amostra_H - media_amostra_M) - D_0

denominador <- sqrt((desvio_padrao_amostra_H ** 2 / n_H) + (desvio_padrao_amostra_M ** 2 / n_M))

z <- numerador / denominador

z
## [1] 5.86562

Passo 5 - Aceitação ou rejeição da hipótese nula

Critério do valor crítico

Teste Unicaudal

Rejeitar \(H_0\) se \(z \geq z_{\alpha}\)

Comparando os testes:

z >= z_alpha
## [1] TRUE

Conclusão: Com um nível de confiança de 99% rejeitamos \(H_0\), isto é, concluímos que a média das rendas dos chefes de domicílios do sexo masculino é maior que a média das rendas das chefes de domicílios do sexo feminino. Confirmando a alegação de desigualdade de renda entre os sexos.

Exercícios do Capítulo

  • 1 Uma prova de estatística foi aplicada em duas salas de aula diferentes. Na sala A, tínhamos 50 alunos e a nota média foi de 5,3, com desvio padrão de 2,1. Na sala B eram 55 alunos, que alcançaram nota média de 7,6 pontos, com desvio padrão de 2,8. Considerando um nível de significância de 5% e que a distribuição das notas segue uma normal, é possível afirmar que as notas médias dessas duas salas foram diferentes?

Indique a alternativa que apresenta a estatística de teste e a conclusão do teste.

Solução:

media_sala_A <- 5.3
desvio_padrao_sala_A <- 2.1
media_sala_B <- 7.6
desvio_padrao_sala_B <- 2.8

significanciae <- 0.05
confiancae <- 1 - significanciae
n_sala_A <- 50
n_sala_B <- 55
D_0 <- 0

probabilidadee <- 0.5 + (confiancae / 2)
z_alpha_2e <- qnorm(probabilidadee)

numeradore <- (media_sala_A - media_sala_B) - D_0
denominadore <- sqrt((desvio_padrao_sala_A ** 2 / n_sala_A) + (desvio_padrao_sala_B ** 2 / n_sala_B))
ze <- numeradore / denominadore
ze
## [1] -4.788078
if (ze <= -z_alpha_2e || ze >= z_alpha_2e) {
    'Rejeitar H0'
} else {
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Rejeitar H0"
  • 2 Uma imobiliária da cidade do Rio de Janeiro alega que o valor do m² no bairro do Leblon está avaliado em, no máximo, R$ 1000,00 a mais, quando comparado ao bairro de Ipanema. Uma pesquisa realizada com uma amostra de 13 imóveis de cada bairro revelou os seguintes parâmetros:
Bairro Média (R$ por \(m^2\)) Desvio Padrão (R$ por \(m^2\))
Leblon 21800 450
Ipanema 20300 320

É possível concordar com a afirmação da imobiliária? Assuma um nível de significância de 5% e populações normalmente distribuídas. Indique a alternativa que apresenta a estatística de teste e a conclusão do teste.

Um pouco mais de teoria: Como se trata de um problema um pouco diferente do apresentado no último tópico, vamos esclarecer alguns pontos para ajudar na solução:

Em testes entre duas amostras, quando realizamos a escolha da distribuição amostral adequada (passo 2) e perguntamos se n ≥ 30, temos que considerar que n = n1 + n2, onde n1 é o tamanho da primeira amostra e n2 o tamanho da segunda

Quando \(n1 + n2 \geq 30\), utilizamos \(z\) (normal) e quando \(n1 + n2 < 30\), \(σ\) não for conhecido e as populações forem normalmente distribuídas, utilizamos t (t-Student)

Quando utilizamos a tabela t de Student, em testes de duas amostras, os graus de liberdade são obtidos da seguinte forma: \(n1 + n2 – 2\)

Solução:

media_Leblon <- 21800
desvio_padrao_Leblon <- 450
media_Ipanema <- 20300
desvio_padrao_Ipanema <- 320

significancia <- 0.05
confianca <- 1 - significancia
n_Leblon <- 13
n_Ipanema <- 13
D_0e <- 1000

t_alpha <- qt(confianca, n_Leblon + n_Ipanema - 2)

numerador <- (media_Leblon - media_Ipanema) - D_0e
denominador <- sqrt((desvio_padrao_Leblon ** 2 / n_Leblon) + (desvio_padrao_Ipanema ** 2 / n_Ipanema))
t <- numerador / denominador
t
## [1] 3.264848
if (t >= t_alpha) {
    'Rejeitar H0'
} else {
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Rejeitar H0"

Critério do valor \(p\)

Teste Unicaudal

Rejeitar \(H_0\) se o valor \(p\leq\alpha\)

Verificando o valor de \(z\)

z
## [1] 5.86562

Encontrando o p_valor

p_valor <- pnorm(z, lower.tail = F)
p_valor
## [1] 2.237287e-09

Comparando os dois:

p_valor <= significancia
## [1] TRUE

Chegamos a mesma conclusão apresentada anteriormente.

Utilizando uma biblioteca pronta:

Documentações:

##install.packages("BSDA")

# OU
##packageurl <- "https://cran.r-project.org/src/contrib/Archive/BSDA/BSDA_1.01.tar.gz"
##install.packages(packageurl, repos=NULL, type="source")

z.test()

library(BSDA)
## Loading required package: e1071
## Loading required package: lattice
## 
## Attaching package: 'BSDA'
## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     Orange

aplicando o teste:

resultado <- z.test(x = homens,
                    y = mulheres,
                    alternative = 'greater',
                    mu = 0,
                    sigma.x = sd(homens),
                    sigma.y = sd(mulheres),
                    conf.level = 0.99)
resultado
## 
##  Two-sample z-Test
## 
## data:  homens and mulheres
## z = 5.8656, p-value = 2.237e-09
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 99 percent confidence interval:
##  473.7115       NA
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  2142.608  1357.528

Veja que o resultado já traz todas as métricas, inclusive a hipóstese alternativa a ser considerada.

Extraindo p-valor:

p_valor <- resultado$p.value
p_valor
## [1] 2.237287e-09

Comparando as métricas:

p_valor <= significancia
## [1] TRUE

Chega-se ao mesmo resultado.

Somente como observação

t.test()

resultado <- t.test(x = homens,
                    y = mulheres,
                    alternative = 'greater',
                    paired = F,
                    var.equal = T)
resultado
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  homens and mulheres
## t = 5.8656, df = 998, p-value = 3.04e-09
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  564.7211      Inf
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  2142.608  1357.528

Veja que conseguimos resultados semelhantes.

Fazendo a comparação final:

p_valor <- resultado$p.value
p_valor <= significancia
## [1] TRUE

Podemos observar que quanto maior for o numero das amostras, o teste t se aproxima dos valores do teste z.

Exercícios do Capítulo

  • 1 Considere dois conjuntos de dados A e B, onde \(\mu_A\) e \(\mu_B\) são as médias dos grupos A e B, respectivamente. Construa a alternativa correta sobre as configurações da função z.test(), do pacote BSDA, considerando um teste com o seguinte conjunto de hipóteses e um nível de significância de 1%:

\(H_0 = \mu_A - \mu_B \geq 23\)

\(H_1 = \mu_A - \mu_B < 23\)

Solução: \[\begin{eqnarray} z.test&(&x = A,\\ &&y = B,\\ &&alternative = "less",\\ &&mu = 23,\\ &&sigma.x = sd(A),\\ &&sigma.y = sd(B),\\ &&conf.level = 0.99) \end{eqnarray}\]

  • 2 Considere dois conjuntos de dados A e B, onde \(\mu_A\) e \(\mu_B\) são as médias dos grupos A e B, respectivamente. Construa a alternativa correta sobre as configurações da função t.test(), do pacote stats, considerando um teste com o seguinte conjunto de hipóteses e um nível de significância de 1%:

\(H_0 = \mu_A - \mu_B \geq 23\)

\(H_1 = \mu_A - \mu_B < 23\)

Solução:

\[\begin{eqnarray} t.test&(&x = A,\\ &&y = B,\\ &&mu = 23,\\ &&alternative = 'less',\\ &&paired = F,\\ &&var.equal = T,\\ &&conf.level = 0.99) \end{eqnarray}\]

4 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS

O trabalho com pequenas amostras pode levar a não aceitação da validade do teorema central do limite e também na impossibilidade de fazer suposições sobre a distribuição da variável avaliada. Quando isso ocorre torna-se necessária a aplicação de testes não paramétricos. Nos testes não paramétricos, não fazemos hipóteses sobre a distribuição (de probabilidade) das quais as observações são extraídas.

Problema

Antes de cada partida do campeonato nacional de futebol, as moedas utilizadas pelos árbitros devem ser verificadas para se ter certeza de que não são viciadas, ou seja, que não tendam para determinado resultado. Para isso um teste simples deve ser realizado antes de cada partida. Este teste consiste em lançar a moeda do jogo 50 vezes e contar as frequências de CARAS e COROAS obtidas. A tabela abaixo mostra o resultado obtido no experimento:

CARA COROA
Observado 17 33
Esperado 25 25

A um nível de significância de 5%, é possível afirmar que a moeda não é honesta, isto é, que a moeda apresenta uma probabilidade maior de cair com a face CARA voltada para cima?

4.1 Teste do Qui-Quadrado ( \(\chi^2\))

Também conhecido como teste de adequação ao ajustamento, seu nome se deve ao fato de utilizar uma variável estatística padronizada, representada pela letra grega qui ( \(\chi\)) elevada ao quadrado. A tabela com os valores padronizados e como obtê-la podem ser vistos logo abaixo.

O teste do \(\chi^2\) testa a hipótese nula de não haver diferença entre as frequências observadas de um determinado evento e as frequências que são realmente esperadas para este evento.

Os passos de aplicação do teste são bem parecidos aos vistos para os testes paramétricos.

Construindo tabela \(\chi^2\)

Documentações:

p <- c(0.005, 0.01, 0.025, 0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 0.975, 0.95, 0.99, 0.995)
df <- seq(1, 30, by = 1)
probabilidade <- c()
for(i in df){
    for(j in p){
        probabilidade <- c(probabilidade, round(qchisq(j, i, lower.tail = T), 4))
    }
}
tabela_chi_2 <- matrix(probabilidade, ncol=13, byrow=TRUE)
colnames(tabela_chi_2) <- format(p)
rownames(tabela_chi_2) <- format(df)
tabela_chi_2
##      0.005   0.010   0.025   0.050   0.100   0.250   0.500   0.750   0.900
##  1  0.0000  0.0002  0.0010  0.0039  0.0158  0.1015  0.4549  1.3233  2.7055
##  2  0.0100  0.0201  0.0506  0.1026  0.2107  0.5754  1.3863  2.7726  4.6052
##  3  0.0717  0.1148  0.2158  0.3518  0.5844  1.2125  2.3660  4.1083  6.2514
##  4  0.2070  0.2971  0.4844  0.7107  1.0636  1.9226  3.3567  5.3853  7.7794
##  5  0.4117  0.5543  0.8312  1.1455  1.6103  2.6746  4.3515  6.6257  9.2364
##  6  0.6757  0.8721  1.2373  1.6354  2.2041  3.4546  5.3481  7.8408 10.6446
##  7  0.9893  1.2390  1.6899  2.1673  2.8331  4.2549  6.3458  9.0371 12.0170
##  8  1.3444  1.6465  2.1797  2.7326  3.4895  5.0706  7.3441 10.2189 13.3616
##  9  1.7349  2.0879  2.7004  3.3251  4.1682  5.8988  8.3428 11.3888 14.6837
## 10  2.1559  2.5582  3.2470  3.9403  4.8652  6.7372  9.3418 12.5489 15.9872
## 11  2.6032  3.0535  3.8157  4.5748  5.5778  7.5841 10.3410 13.7007 17.2750
## 12  3.0738  3.5706  4.4038  5.2260  6.3038  8.4384 11.3403 14.8454 18.5493
## 13  3.5650  4.1069  5.0088  5.8919  7.0415  9.2991 12.3398 15.9839 19.8119
## 14  4.0747  4.6604  5.6287  6.5706  7.7895 10.1653 13.3393 17.1169 21.0641
## 15  4.6009  5.2293  6.2621  7.2609  8.5468 11.0365 14.3389 18.2451 22.3071
## 16  5.1422  5.8122  6.9077  7.9616  9.3122 11.9122 15.3385 19.3689 23.5418
## 17  5.6972  6.4078  7.5642  8.6718 10.0852 12.7919 16.3382 20.4887 24.7690
## 18  6.2648  7.0149  8.2307  9.3905 10.8649 13.6753 17.3379 21.6049 25.9894
## 19  6.8440  7.6327  8.9065 10.1170 11.6509 14.5620 18.3377 22.7178 27.2036
## 20  7.4338  8.2604  9.5908 10.8508 12.4426 15.4518 19.3374 23.8277 28.4120
## 21  8.0337  8.8972 10.2829 11.5913 13.2396 16.3444 20.3372 24.9348 29.6151
## 22  8.6427  9.5425 10.9823 12.3380 14.0415 17.2396 21.3370 26.0393 30.8133
## 23  9.2604 10.1957 11.6886 13.0905 14.8480 18.1373 22.3369 27.1413 32.0069
## 24  9.8862 10.8564 12.4012 13.8484 15.6587 19.0373 23.3367 28.2412 33.1962
## 25 10.5197 11.5240 13.1197 14.6114 16.4734 19.9393 24.3366 29.3389 34.3816
## 26 11.1602 12.1981 13.8439 15.3792 17.2919 20.8434 25.3365 30.4346 35.5632
## 27 11.8076 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139 21.7494 26.3363 31.5284 36.7412
## 28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392 22.6572 27.3362 32.6205 37.9159
## 29 13.1211 14.2565 16.0471 17.7084 19.7677 23.5666 28.3361 33.7109 39.0875
## 30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992 24.4776 29.3360 34.7997 40.2560
##      0.975   0.950   0.990   0.995
##  1  5.0239  3.8415  6.6349  7.8794
##  2  7.3778  5.9915  9.2103 10.5966
##  3  9.3484  7.8147 11.3449 12.8382
##  4 11.1433  9.4877 13.2767 14.8603
##  5 12.8325 11.0705 15.0863 16.7496
##  6 14.4494 12.5916 16.8119 18.5476
##  7 16.0128 14.0671 18.4753 20.2777
##  8 17.5345 15.5073 20.0902 21.9550
##  9 19.0228 16.9190 21.6660 23.5894
## 10 20.4832 18.3070 23.2093 25.1882
## 11 21.9200 19.6751 24.7250 26.7568
## 12 23.3367 21.0261 26.2170 28.2995
## 13 24.7356 22.3620 27.6882 29.8195
## 14 26.1189 23.6848 29.1412 31.3193
## 15 27.4884 24.9958 30.5779 32.8013
## 16 28.8454 26.2962 31.9999 34.2672
## 17 30.1910 27.5871 33.4087 35.7185
## 18 31.5264 28.8693 34.8053 37.1565
## 19 32.8523 30.1435 36.1909 38.5823
## 20 34.1696 31.4104 37.5662 39.9968
## 21 35.4789 32.6706 38.9322 41.4011
## 22 36.7807 33.9244 40.2894 42.7957
## 23 38.0756 35.1725 41.6384 44.1813
## 24 39.3641 36.4150 42.9798 45.5585
## 25 40.6465 37.6525 44.3141 46.9279
## 26 41.9232 38.8851 45.6417 48.2899
## 27 43.1945 40.1133 46.9629 49.6449
## 28 44.4608 41.3371 48.2782 50.9934
## 29 45.7223 42.5570 49.5879 52.3356
## 30 46.9792 43.7730 50.8922 53.6720

Tabela com os valores de \(\chi_p^2\) em função dos graus de liberdade \((n - 1)\) e de \(p = P(\chi^2 \leq \chi_p^2)\)

Exercícios do Capítulo

  • 1 Com base na tabela Qui-quadrado, Selecione as alternativas corretas:
  1. Para um teste com nível de confiança de 99% e apenas 5 registros, o valor de x² seria igual a 0,2971
  2. Para um teste com nível de significância de 5% e 11 registros, o valor de x² seria igual a 18,3070
  3. Para um teste com nível de significância de 5% e 11 graus de liberdade, o valor de x² seria igual a 18,3070
  4. Para um teste com nível de confiança de 1% e 5 graus de liberdade o valor de x² seria igual a 0,5543

Problema

Antes de cada partida do campeonato nacional de futebol, as moedas utilizadas pelos árbitros devem ser verificadas para se ter certeza de que não são viciadas, ou seja, que não tendam para determinado resultado. Para isso um teste simples deve ser realizado antes de cada partida. Este teste consiste em lançar a moeda do jogo 50 vezes e contar as frequências de CARAS e COROAS obtidas. A tabela abaixo mostra o resultado obtido no experimento:

CARA COROA
Observado 17 33
Esperado 25 25

A um nível de significância de 5%, é possível afirmar que a moeda não é honesta, isto é, que a moeda apresenta uma probabilidade maior de cair com a face CARA voltada para cima?

Dados do problema

Passo 1 - formulação das hipóteses \(H_0\) e \(H_1\)

Lembre-se, a hipótese nula sempre contém a alegação de igualdade

\(H_0: F_{CARA} = F_{COROA}\)

\(H_1: F_{CARA} \neq F_{COROA}\)

Passo 2 - fixação da significância do teste (\(\alpha\))

Obtendo \(\chi_{\alpha}^2\)

Passo 3 - cálculo da estatística-teste e verificação desse valor com as áreas de aceitação e rejeição do teste

\[\chi^2 = \sum_{i=1}^{k}{\frac{(F_{i}^{Obs} - F_{i}^{Esp})^2}{F_{i}^{Esp}}}\]

Onde

\(F_{i}^{Obs}\) = frequência observada para o evento \(i\)

\(F_{i}^{Esp}\) = frequência esperada para o evento \(i\)

\(k\) = total de eventos possíveis

Agora vamos encontrar o valor de quiquadrado:

Vamos criar um laço for para automatizar a soma das parcelas:

Veja o resultado dentro da região de probabilidade:

Percebe-se imediatamente que o resultado está dentro da área de rejeição da hipótese nula.

Passo 4 - Aceitação ou rejeição da hipótese nula

Critério do valor crítico

Rejeitar \(H_0\) se \(\chi_{teste}^2 > \chi_{\alpha}^2\)

Conclusão: Com um nível de confiança de 95% rejeitamos a hipótese nula (\(H_0\)) e concluímos que as frequências observadas e esperadas são discrepantes, ou seja, a moeda não é honesta e precisa ser substituída.

Exercícios do capítulo

  • 1 Sobre o teste não paramétrico Qui-quadrado, avalie as afirmativas abaixo:

  1. O teste não paramétrico do Qui-quadrado é também conhecido como teste de adequação do ajustamento

  2. O teste do Qui-quadrado testa a hipótese nula de não haver diferença entre as frequências observadas de um determinado evento e as frequências que são realmente esperadas para este evento

Há alguma afirmativa correta? Se sim, qual(is)?

  • 2 O resultado de 60 lançamentos de duas moedas apresentou a seguinte frequência de resultados:
Resultados Frequências Observadas
2 Caras 12
1 Cara e 1 Coroa 34
2 Caroas 14
Total 60

Considerando um nível de significância de 5%, seria possível dizer que as moedas estão bem equilibradas, ou seja, que apresentam probabilidades iguais de se obter CARA ou COROA?

Selecione a alternativa que apresenta a decisão correta e a estatística de teste.

Critério do valor \(p\)

Rejeitar \(H_0\) se o valor \(p\leq\alpha\)

Voltando a estatística de teste:

Encontrando o p-valor

Já podemos deduzir que devemos é menor que nossa significância e devemos rejeitar a hipótese nula.

Vamos agora fazer com uma função pronta do R:

Documentações:

Como nos testes anteriores, temos as estatísticas de teste que nos mostram todas as informações. e conseguimos verificar pelo valor de p_value que temos que rejeitar a hipótese nula.

Podemos também encontrar situações onde a probabilidade esperada não seja a mesma para as parcelas, como no caso acima que era de 50% para as duas. O teste sempre irá considerar uma divisão igualitária pra as observações, assim, caso tenha uma situação de valor esperado divergente, é importante informar isso ao teste.

Vamos calcular a mesma situação informando o valor esperado em percentual:

Exercícios do Capítulo

  • 1 Na realização de um teste não paramétrico Qui-quadrado, com apenas 5 graus de liberdade, obteve-se a estatística de teste no valor de 7,45. Qual seria o p-valor para este teste?

Solução:

  • 2 Considerando o problema que resolvemos anteriormente, onde o resultado de 60 lançamentos de duas moedas apresentou a seguinte frequência de resultados:
Resultados Frequências Observadas
2 Caras 12
1 Cara e 1 Coroa 34
2 Caroas 14
Total 60

Considerando um nível de significância de 5%, seria possível dizer que as moedas estão bem equilibradas, ou seja, que apresentam probabilidades iguais de se obter CARA ou COROA?

Selecione a alternativa que apresenta a forma correta de se resolver este problema utilizando a função chisq.test() do R.

Solução:

Problema

Um novo tratamento para acabar com o hábito de fumar está sendo empregado em um grupo de 35 pacientes voluntários. De cada paciente testado foram obtidas as informações de quantidades de cigarros consumidos por dia antes e depois do término do tratamento. Assumindo um nível de confiança de 95% é possível concluir que, depois da aplicação do novo tratamento, houve uma mudança no hábito de fumar do grupo de pacientes testado?

4.2 Teste Wilcoxon

Comparação de duas populações - amostras dependentes

Empregado quando se deseja comparar duas amostras relacionadas, amostras emparelhadas. Pode ser aplicado quando se deseja testar a diferença de duas condições, isto é, quando um mesmo elemento é submetido a duas medidas.

Documentações:

Dados dos problema:

fumo <- data.frame(
    Antes = c(39, 25, 24, 50, 13, 52, 21, 29, 10, 22, 50, 15, 36, 39, 52, 48, 24, 15, 40, 41, 17, 12, 21, 49, 14, 55, 46, 22, 28, 23, 37, 17, 31, 49, 49),
    Depois = c(16, 8, 12, 0, 14, 16, 13, 12, 19, 17, 17, 2, 15, 10, 20, 13, 0, 4, 16, 18, 16, 16, 9, 9, 18, 4, 17, 0, 11, 14, 0, 19, 2, 9, 6)
)
significancia <- 0.05
confianca <- 1 - significancia
n <- 35

Vamos verificar o cabeçalho de nosso dataframe

Vamos comparar as médias de antes e depois.

Antes:

Depois:

Passo 1 - formulação das hipóteses \(H_0\) e \(H_1\)

Lembre-se, a hipótese nula sempre contém a alegação de igualdade

\(H_0: \mu_{antes} = \mu_{depois}\)

\(H_1: \mu_{antes} > \mu_{depois}\)

Passo 2 - escolha da distribuição amostral adequada

O tamanho da amostra é maior que 30?

Resp.: Sim

Passo 3 - fixação da significância do teste (\(\alpha\))

Obtendo \(z_{\alpha/2}\)

Passo 4 - cálculo da estatística-teste e verificação desse valor com as áreas de aceitação e rejeição do teste

\[Z = \frac{T - \mu_T}{\sigma_T}\]

Onde

Termos \(T\) = menor das somas de postos de mesmo sinal

\[\mu_T = \frac{n(n+1)}{4}\] \[\sigma_T = \sqrt{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{24}}\]

Construindo a tabela com os postos

Calculando a Diferença:

Fazendo o módulo da diferença:

Ordenando pela diferença

Criando a coluna posto:

Criando a df posto agregando a coluna posto pela média:

Removendo a coluna posto em df fumo:

Juntando as duas df´s:

Criando a coluna posto +:

Criando a Coluna posto -:

Removendo a coluna posto:

Obter \(T\)

Onde \(T\) = menor das somas de postos de mesmo sinal

Obter \(\mu_T\)

\[\mu_T = \frac{n(n+1)}{4}\]

Obter \(\sigma_T\)

\[\sigma_T = \sqrt{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{24}}\]

Obter \(Z_{teste}\)

\[Z = \frac{T - \mu_T}{\sigma_T}\]

Passo 5 - Aceitação ou rejeição da hipótese nula

Critério do valor crítico

Rejeitar \(H_0\) se \(Z \leq -z_{\alpha / 2}\) ou se \(Z \geq z_{\alpha / 2}\)

Pela esquerda

Pela direita:

Conclusão: Rejeitamos a hipótese de que não existe diferença entre os grupos, isto é, existe uma diferença entre as médias de cigarros fumados pelos pacientes antes e depois do tratamento. E como é possível verificar através das médias de cigarros fumados por dia antes (31.86) e depois (11.2) do tratamento, podemos concluir que o tratamento apresentou resultado satisfatório.

Exercícios do capítulo:

  • 1 Sobre o teste não paramétrico de Wilcoxon, avalie as afirmativas abaixo:
    1. O teste de Wilcoxon é aplicado quando se deseja comparar duas amostras relacionadas, amostras emparelhadas
  1. O teste de Wilcoxon pode ser aplicado quando se deseja testar a diferença de duas condições, isto é, quando um mesmo elemento é submetido a duas medidas

Há alguma afirmativa correta? Se sim, qual(is)?

  • 2 Desconfiado da eficiência dos cursos e materiais de estudo on-line do IFRO, um professor resolveu realizar um teste com um grupo de 30 alunos de sua classe. Para isso, ele submeteu esses alunos a duas etapas distintas e logo depois de cada etapa, aplicou uma avaliação. Na etapa inicial, foram oferecidas aulas normais, sem a utilização do material de apoio da Disciplina. Na segunda etapa, também foram oferecidas aulas normais, mas com a utilização do material de apoio da Disciplina. As notas obtidas pelos alunos nas duas etapas estão no data frame abaixo:
alunos <- data.frame(
    Sem_Apoio = c(4, 3, 5, 4, 8, 6, 5, 7, 6, 7, 8, 7, 3, 7, 4, 7, 5, 7, 5, 7, 6, 4, 3, 3, 6, 3, 7, 4, 6, 6),
    Com_Apoio = c(8, 6, 10, 3, 9, 5, 8, 5, 4, 10, 5, 9, 8, 5, 10, 8, 7, 9, 9, 5, 5, 7, 8, 9, 8, 5, 5, 8, 5, 9)
)

Apresente o resultado do teste não paramétrico de Wilcoxon aplicado pelo professor (menor das somas de postos de mesmo sinal T, estatística de teste Z e decisão do teste). Considere um nível de significância de 10%.

Solução:

alunos <- data.frame(
    Sem_Apoio = c(4, 3, 5, 4, 8, 6, 5, 7, 6, 7, 8, 7, 3, 7, 4, 7, 5, 7, 5, 7, 6, 4, 3, 3, 6, 3, 7, 4, 6, 6),
    Com_Apoio = c(8, 6, 10, 3, 9, 5, 8, 5, 4, 10, 5, 9, 8, 5, 10, 8, 7, 9, 9, 5, 5, 7, 8, 9, 8, 5, 5, 8, 5, 9)
)
significancia <- 0.1
confianca <- 1 - significancia
n <- 30

probabilidade <- (0.5 + (confianca / 2))
z_alpha_2 <- qnorm(probabilidade)

alunos['Dif'] <- alunos$Com_Apoio - alunos$Sem_Apoio
alunos['|Dif|'] <- abs(alunos['Dif'])
alunos <- alunos[order(alunos$'|Dif|'),]
alunos['Posto'] <- seq(1, nrow(alunos))
posto <- aggregate(x = alunos$'Posto', by = list('|Dif|' = alunos$'|Dif|'), FUN = mean)
colnames(posto) <- c('|Dif|', 'Posto')
alunos$Posto <- NULL
alunos <- merge(x = alunos, y = posto, by = '|Dif|', all.x = TRUE)
alunos['Posto (+)'] <- apply(alunos[, c('Dif', 'Posto')], 1, function(x) if(x[1] > 0) x[2] else 0)
alunos['Posto (-)'] <- apply(alunos[, c('Dif', 'Posto')], 1, function(x) if(x[1] < 0) x[2] else 0)
alunos$Posto <- NULL

T <- min(sum(alunos['Posto (+)']), sum(alunos['Posto (-)']))
T
## [1] 91
mu_T <- (n * (n + 1)) / 4
sigma_T <- sqrt((n * (n + 1) * ((2 * n) + 1)) / 24)
Z <- (T - mu_T) / sigma_T
Z
## [1] -2.91042
if (Z <= -z_alpha_2 || Z >= z_alpha_2) {
    'Rejeitar H0'
} else {
    'Aceitar H0'
}
## [1] "Rejeitar H0"

Critério do valor \(p\)

Rejeitar \(H_0\) se o valor \(p\leq\alpha\)

Documentações:

Veja que o p-valor é muito pequeno, menor que a significância e assim rejeitamos a hipótese nula, adotando a alternativa proposta por ele. “alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0”

Exercícios do Capítulo:

  • 1 Uma fábrica de rações para porcos gostaria de verificar se a adição de um determinado composto químico em um de seus produtos teria um efeito significativo no ganho de peso dos animais. Para isso, selecionou uma amostra de 35 porcos e testou este mesmo grupo em duas situações distintas. No primeiro teste, alimentou os suínos exclusivamente com a ração sem o composto por uma semana e registrou a variação de peso de cada animal do grupo. No segundo teste, alimentou o mesmo grupo de animais com a ração com o novo composto, por mais uma semana, e registrou novamente a variação dos pesos.

Os dados de variação de peso de cada suíno testado estão no data frame abaixo (em gramas):

DataFrame

pesos <- data.frame(
    Sem_Composto = c(180, -39, 325, 303, 127, 149, 271, 163, 287, 255, 398, 324, 335, 421, 
        216, 274, 373, 116, 197, -37, 321, 431, 112, 304, 417, 362, 51, 187, 195, 304, 202, 158, 105, 90, 245),
    Com_Composto = c(484, 187, 442, 108, 488, 283, 286, 419, 240, 266, 198, 130, 484, 424, 
        145, 133, 282, 386, 408, 290, 429, 386, 318, 390, 347, 442, 440, 356, 517, 454, 401, 108, 228, 471, 495)
)

Selecione a alternativa que apresenta o p-valor e a decisão correta do teste de Wilcoxon sobre a diferença entre as médias sem e com o composto na ração. Utilize a função wilcox.test() do R e considere um nível de significância de 5%.

Assim, finalizamos esse nosso capítulo sobre os testes estatísticos.

REFERÊNCIAS

BENGFORT, B.; KIM, J. Análise de dados com Hadoop: Uma introdução para Cientista de Dados. 1ª Edição. São Paulo - SP: Novatec, 2016.

BRUCE, P.; BRUCE, A. Estatística para Cientista de Dados: 50 conceitos iniciais. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.

DIAS, Rodrigo fernando. Estaística com R. Alura. 2022. disponível em: https://cursos.alura.com.br/course/estatistica-r-frequencias-medidas

GOLDSCHMIDT, R.; PASSOS, E.; BEZERRA, E. Data Mining: Conceitos, técnicas, orientações e aplicações. 2ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: ELSEVIER, 2015.

HADLEY, W.; GARRETT, G. R para Data Science: Importe, arrume, transforme, visualize e modele dados. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.

MUELLER, J. P.; MASSARON, L. Aprendizado de Máquina para leigos. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.

OLIVEIRA, Francisco Estevam Martins de. Estatistica e Probabilidade - Exercicios Resolvidos e Propostos, 3ª edição. [Digite o Local da Editora]: Grupo GEN, 2017. E-book. ISBN 9788521633846. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521633846/. Acesso em: 06 abr. 2023.

ROSS, Sheldon. Probabilidade. [Digite o Local da Editora]: Grupo A, 2010. E-book. ISBN 9788577806881. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577806881/. Acesso em: 06 abr. 2023.

UCS - Universidade Caxias do Sul. Big Data: o que é, para que serve, como aplicar e exemplos. Disponível em: https://ead.ucs.br/blog/big-data Acesso em: 12, setembro de 2022.

TAULLI, T. Introdução à Inteligência Artificial: Uma abordagem não técnica. 1ª Edição. São Paulo - SP: Novatec, 2020.