Estadística para los Negocios I - Evaluación 3 - Solución
Jerome Smith
2023-11-21
Instrucciones
Este es un trabajo en grupo, 3 personas por grupo. Cada grupo entrega un trabajo. El trabajo tiene que estar en formato pdf. Les recomiendo hacerlo en Word, en el cual pueden pegar gráficos, y además tiene un editor de ecuaciones.
Fecha de Entrega: Martes 28/11/2023 a las 23:59
Pregunta 1
En un país, los 7 primeros deciles de la población en ingresos tiene derecho a la gratuidad para la universidad. En el mismo país, el 15% de la población estudia en la universidad. Si el 94% de los estudiantes universitarios pertenece a los primeros 7 deciles en ingresos, ¿qué porcentaje de la población de los primeros 7 deciles estudia en la universidad?
Solución 1
El enfoque más simple es con teoría de conjuntos.
Sean:
D = {Población de los primeros 7 deciles}
U = {Estudiantes universitarios}
P = {Población del país (conjunto universo)}
Según el enunciado, sabemos que: \[\frac{|D|}{|P|} = 0.7\] \[\frac{|U|}{|P|} = 0.15\] \[\frac{|D \cap U|}{|U|} = 0.94\] Queremos saber el porcentaje de la población de los 7 primeros deciles que estudian en la universidad, esto es, \(\frac{|D \cap U|}{|D|}\).
Multiplicamos el porcentaje conocido, \(\frac{|D \cap U|}{|U|}\), por \(\frac{|U|}{|P|}\) y \(\frac{|P|}{|D|}\) para llegar a lo que queremos saber: \[\frac{|D \cap U|}{|U|} \cdot \frac{|U|}{|P|} \cdot \frac{|P|}{|D|} = \frac{|D \cap U|}{|D|}\] Los tres términos de la izquierda son conocidos: \[\therefore 0.94 \cdot 0.15 \cdot \frac{1}{0.7} = \frac{|D \cap U|}{|D|}\]
0.94*0.15 /0.7## [1] 0.2014286\[\therefore \frac{|D \cap U|}{|D|} = 0.2\]
Respuesta: El 20% de la población de los 7 primeros deciles estudia en la universidad.
Solución 2
Un problema expresado como porcentaje: porcentaje de A que es B, es equivalente a la probabilidad condicional: B dado A.
Sean:
D = Evento que una persona pertenezca a los primeros 7 deciles en
ingresos
U = Evento que una persona estudia en la universidad
Por el enunciado, sabemos que: \[P(D) = 0.7\] \[P(U) = 0.15\] \[P(D|U) = 0.94\] Queremos saber la probabilidad de que una persona estudia en la universidad dado que pertenece a los 7 primeros deciles en ingresos de la población, esto es, \(P(U|D)\).
Queremos saber una probabilidad condicional, y sabemos la probabilidad condicional inversa: \(P(D|U)\). Entonces aplicamos el teorema de Bayes: \[P(U|D) = \frac{P(D|U) \cdot P(U)}{P(D)}\] \[\therefore P(U|D) = \frac{0.94 \cdot 0.15}{0.7}\] \[\therefore P(U|D) = 0.2\]
Respuesta: Si una persona pertenece a los 7 primeros deciles en ingresos de la población, tiene una probabilidad de 20% de estar en la universidad. Equivalentemente, el 20% de las población de los primeros 7 deciles estudia en la universidad.
Pregunta 2
Te ofrecen jugar el siguiente juego de azar. En cada jugada, el moderador extrae al azar una carta de un mazo de naipes. Un mazo tiene 13 valores, desde el as hasta el kaíser, en 4 pintas, 52 en total. Cada vez que sale un as, de cuaquiera de las 4 pintas, recibes $ 15.000. Para cualquier otro valor, tienes que pagar $ 1.000. ¿Jugarías este juego? Escribe tu argumento especificando la variable aleatoria relevante y su esperanza,
Solución
La variable aleatoria relevante tiene solamente dos valores, los dos pagos posibles: $15.000 y -$1.000: \[V = \left\{ \begin{matrix} \$15.000 & cuando\ sale\ un\ as \\ -\$1.000 & cuando\ sale\ cualquier\ otra\ carta \\ \end{matrix} \right\}\] $15.000 es positivo porque se recibe este valor y -$1-000 es negativo porque se paga.
La probabilidad de obtener $15.000 es la probabilidad de sacar un as. Hay 4 ases en un mazo de 52 cartas, de modo que: \[P(V = \$15.000) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\] Como esta variable V tiene solamente dos valores, la probabilidad del otro valor es: \[P(V = -\$1.000) = 1 - P(V = 15.000) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}\] Entonces la esperanza de esta variable aleatoria es: \[E(V) = \sum_{i=1}^2 p(v_i)v_i \] \[\therefore E(V) = \frac{1}{13} \cdot $15000 - \frac{12}{13} \cdot $1000 \] \[\therefore E(V) = \frac{3000}{13}\] \[\therefore E(V) = $231 > 0\] Como la esperanza es positiva, la ganancia media a la larga será positiva, es decir, se gana dinero al jugar este juego, si se repite suficientes veces.
Respuesta: Vale la pena jugar este juego porque a la larga se gana dinero.
Pregunta 3
Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de distribución acumulada: \[F(x) = \frac{1}{1 + e^{-8x}}\]
- Haz un gráfico de la función de distribución acumulada, con Excel o R.
- Calcula la probabilidad de que la variable esté entre 0 y 1.
- Obtén la función de densidad de probabilidad de esta variable.
- En el mismo gráfico de la parte (i), agrega el gráfico de la función de densidad.
- ¿Los gráficos son como esperabas?
Solución
- El gráfico de la función dada es:
library(ggplot2)
x = seq(-2, 2, 0.01)
Fx = 1/(1 + exp(-8*x))
ggplot(mapping = aes(y=Fx, x=x)) + geom_line(color="blue") +
geom_hline(yintercept = 0) + geom_vline(xintercept = 0) +
xlab("X") + ylab("F(x)") + annotate(geom="text", label="F(x)", x=1.5, y=0.95, color="blue")
- Como hemos visto en clases, la probabilidad de que la variable X esté entre 0 y 1 está dada por la resta de la función de distribución acumulada: \[P(0 \le X \le 1) = F(1) - F(0)\] \[\therefore P(0 \le X \le 1) = \frac{1}{1 + e^{-8}} - \frac{1}{1 + e^{0}}\]
1/(1+exp(-8)) - 1/(1+exp(0))## [1] 0.4996646\[\therefore P(0 \le X \le 1) = 0,5\]
- La función de densidad de probabilidad es la derivada de la función de distribución acumulada:
\[f(x) = F'(x)\] Derivamos aplicando la regla de la cadena: \[f(x) = -\frac{1}{(1 + e^{-8x})^2}(-8e^{-x})\] \[\therefore f(x) = \frac{8e^{-x}}{(1 + e^{-8x})^2}\]
- El gráfico con las dos funciones es:
x = seq(-2, 2, 0.01)
Fx = 1/(1 + exp(-8*x))
fx = 8*exp(-8*x)/(1 + exp(-8*x))^2
ggplot(mapping = aes(y=Fx, x=x)) + geom_line(color="blue") + geom_line(mapping = aes(y=fx), color="red") +
geom_hline(yintercept = 0) + geom_vline(xintercept = 0) +
xlab("X") + ylab("F(x), f(x)") +
annotate(geom="text", label="F(x)", x=1.5, y=0.95, color="blue") +
annotate(geom="text", label="f(x)", x=1, y=0.2, color="red")
- Los gráficos tienen la forma que hemos visto en clases, de modo que deberían estar dentro de lo esperado.
Pregunta 4
Demuestra lo siguiente:
\[E(XY) = cov(X,Y) + E(X)E(Y)\]
Solución
Partimos de la definición de la covarianza:
\[cov(X,Y) := E([X-E(X)][Y-E(Y)])\] Multiplicar los dos términos dentro del paréntesis: \[cov(X,Y) = E(XY - XE(Y) - YE(X) + E(X)E(Y))\] Aplicar las reglas de la esperanza: \[cov(X,Y) = E(XY) - E(Y)E(X) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y)\] \[\therefore cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\] Reordenar: \[E(XY) = cov(X,Y) + E(X)E(Y)\] Q.E.D.
Pregunta 5
Marcela trabaja en televentas, haciendo varias llamadas a potenciales clientes al día. Lleva una estadística de sus llamadas y ventas, en la cual observa que durante 249 días laborales ha realizado 12.000 llamadas en las cuales ha logrado 900 ventas.
- En un día cualquiera, si Marcela realiza 50 llamadas, ¿cuál es la probabilidad de realizar exactamente 1 venta?
- ¿Cuál es la probabilidad de no realizar ninguna venta?
- ¿Cuál es la probabilidad de realizar por lo menos 2 ventas?
- ¿Cuantas llamadas tiene que hacer Marcela en un día para que su probabilidad de realizar al menos 1 venta sea mayor o igual a 0.5?
Solución
En un día cualquiera, Marcela realiza n llamadas, y cada llamada es un intento de realizar una venta, el cual tiene una probabilidad de resultar o no. Entonces este problema se puede modelar con una distribución binomial.
El parámetro p de la distribución está dado por la tasa promedio de ventas en la cantidad total de llamadas: \[p = \frac{900}{12.000}\] \[\therefore p = 0,075\] i) Si Marcela realiza 50 llamadas, n = 50. Estamos preguntando por la probabilidad de realizar exactamente 1 venta; por lo tanto, x = 1. Calculamos la probabilidad \(P(X = 1)\) mediante la función de masa de probabilidad de la distribución binomial: \[p(x) = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}\] \[\therefore p(1) = {50 \choose 1}(0,075)^1(1-0,075)^{50-1}\] \[\therefore p(1) = \frac{50!}{49!1!}(0,075)^1(0.925)^{49}\]
50*0.075*0.925^49## [1] 0.08221975\[\therefore p(1) = 0,08222\]
Respuesta: Si Marcela realiza 50 llamadas, tiene probabilidad de 0,0822 = 8% de lograr exactamente 1 venta.
- Asumimos que Marcela realiza 50 llamadas, es decir, n = 50.
La probabilidad de no realizar ninguna venta es la probabilidad de realizar 0 ventas, esto es, la función de masa de probabilidad evaluada en cero: \[p(0) = {50 \choose 0}(0,075)^0(1-0,075)^{50-0}\] \[\therefore p(0) = \frac{50!}{50!0!} \cdot 1 \cdot 0,925^{50}\]
0.925^50## [1] 0.02028087\[\therefore p(0) = 0,0203\]
Respuesta: La probabilidad de no realizar ninguna venta es 0,0203 = 2%.
- La probabilidad de realizar por lo menos dos ventas es 1 - probabilidad de realizar menos de 2 ventas: \[P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2)\] \[\therefore P(X \ge 2) = 1 - (p(0) + p(1))\] Ya tenemos los valores de p(0) y p(1) de las partes (i) y (ii): \[\therefore P(X \ge 2) = 1 - 0,08222 - 0,0203\]
1 - 0.08222 - 0.0203## [1] 0.89748\[\therefore P(X \ge 2) = 0,8975\]
Respuesta: La probabilidad de realizar por lo menos 2 ventas es 0,8975 = 90%.
- Ahora la incógnita es la cantidad de llamadas, n. La condición que se tiene que satisfacer es: \[P(X \ge 1) \ge 0,5\] Pero \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\): \[\therefore 1 - P(X=0) \ge 0,5\] Reordenar la inecuación: \[P(X = 0) \le 0,5\] Buscamos el valor de n que satisface esta condición.
Sustituir la función de masa de probabilidad evaluada en 0: \[p(0) \le 0,5\] \[\therefore {n \choose 0}p^0(1-p)^{n-0} \le 0,5\] \[\therefore \frac{n!}{n!0!}(1-p)^n \le 0,5\] \[\therefore (1-p)^n \le 0,5\] Tomar el logaritmo natural de cada lado:
\[ln((1-p)^n) \le ln(0,5)\] \[\therefore n ln(1-p) \le ln(0,5)\]
Como \(1-p < 1\), entonces \(ln(1-p) < 0\). Por lo tanto, al dividir por \(ln(1-p)\), se invierte la desigualdad: \[\therefore n \ge \frac{ln(0,5)}{ln(1-p)}\] Sustituir p=0,075:
p = 0.075
log(0.5)/log(1-p)## [1] 8.890886\[\therefore n \ge 8,891\] Como n tiene que ser un número entero: \[n \ge 9\]