Procesos de nacimiento y muerte
2023-07-01
Objetivos: Procesos de nacimiento y muerte
- Caracterizar los procesos de nacimiento y muerte como ejemplos de cadenas de Markov a tiempo continuo
Procesos de nacimiento y muerte
Un proceso de nacimiento y muerte es tal que si hay \(n\) personas en el sistema, entonces:
El tiempo entre llegadas al sistema (nacimientos) \(\sim \exp(\lambda_{n})\)
El tiempo entre salidas del sistema (muertes) \(\sim exp(\mu_{n})\)
Donde los nacimientos y las muertes son independientes
Note que \(\lambda_n\) es la tasa de que ocurra un nacimiento cuando la población tiene \(n\) individuos.
Note que \(\mu_{n}\) es la tasa de que ocurra una muerte cuando la población tiene \(n\) individuos.
Continuando con los modelos de nacimiento y muerte
- Cuando la población no tiene individuos, sólo puede ocurrir un nacimiento, por lo que la la tasa de transición desde el estado 0 es \(\lambda_{0}\)
\[ \upsilon_{0} = \lambda_{0} \]
- Si tanto un nacimiento como una muerte pueden ocurrir, la tasa de transición desde el estado \(i>0\) es \(\mu_{i} + \lambda_{i}\)
(el mínimo de dos exponenciales)
\[ \upsilon_{i} = \lambda_{i} + \mu_{i} \qquad i > 0 \]
Probabilidades de transición en un proceso de nacimiento y muerte.
Si en la población hay \(i > 0\) individuos a tiempo \(s\), la probabilidad de que ocurra un nacimiento antes que una muerte es:
\[ P_{i,i+1} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}} \qquad i > 0 \]
Si en la población hay \(i > 0\) individuos a tiempo \(s\), la probabilidad de que ocurra una muerte antes de un nacimiento es:
\[ P_{i,i-1} = \frac{\mu_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}} \qquad i > 0 \] Claramente, la excepción es únicamente \(P_{01} =1\). Pues cuando la población tiene cero individuos sólo puede hacer una transición del estado cero al estado 1.
Ejemplo procesos de nacimiento y muerte: proceso de nacimiento puro con tasa de nacimiento constante
\(\lbrace N(t),t\geq 0\rbrace \sim PPH(\lambda)\): Sólo hay nacimientos con tasa constante, independiente del número de individuos que haya en la población. Es decir, las tasas de nacimiento y muerte cuando la población tiene \(n\) individuos vienen dadas respectivamente por:
\[\begin{align*} &\lambda_{n} = \lambda \qquad \forall n\geq 0\\ &\mu_{n} = 0 \qquad \forall n\geq 0 \end{align*}\]…Continuando con el ejemplo del proceso de nacimiento puro con tasa de nacimiento constante
Las probabilidades de transición en este caso pueden calcularse de la siguiente manera:
\[\begin{align*} &P_{0,1}=1\\ &P_{i,i+1} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{\lambda}{\lambda+0}=1 \qquad i > 0\\ &P_{i,i-1} = \frac{\mu_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{0}{\lambda+0}=0 \qquad i > 0 \end{align*}\]Ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: Proceso de nacimiento puro con tasa lineal
Se trata de un proceso de nacimiento y muerte en el que las tasas de nacimiento y muerte dado que la población tiene \(n\) individuos vienen dadas por
\[\begin{align*} &\lambda_{0}=\lambda\\ &\lambda_{n} = n\lambda \qquad n\geq 1\\ &\mu_{n}=0 \qquad n\geq 1\\ \end{align*}\]Mientras más personas formen parte de la población, la tasa de nacimiento aumenta. Cada individuo en la población puede tener un hijo con tasa \(\lambda\). Este proceso de nacimiento y muerte es conocido también como un Proceso de Yule.
…Continuando con el ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: Proceso de nacimiento puro con tasa lineal
Las probabilidades de transición en este caso pueden calcularse de la siguiente manera:
\[\begin{align*} &P_{0,1}=1\\ &P_{i,i+1} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{i\lambda}{i\lambda+0}=1 \qquad i > 0\\ &P_{i,i-1} = \frac{\mu_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{0}{i\lambda+0}=0 \qquad i > 0 \end{align*}\]Ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: Modelo de crecimiento poblacional lineal
Se trata de un proceso de nacimiento y muerte en el que las tasas de nacimiento y muerte dado que la población tiene \(n\) individuos vienen dadas por
\[\begin{align*} &\lambda_{0}=\lambda\\ &\lambda_{n} = n\lambda \qquad \forall n\geq 0\\ &\mu_{n} = n\mu \qquad \forall n\geq 1\\ \end{align*}\]Cada individuo en la población con \(n\) individuos nace a una tasa \(\lambda\) y muere con una tasa \(\mu\)
…Continuando con el ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: Modelo de crecimiento poblacional con tasas lineales
Las probabilidades de transición en este caso pueden calcularse de la siguiente manera:
\[\begin{align*} &P_{0,1}=1\\ &P_{i,i+1} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{i\lambda}{i\lambda+i\mu}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu} \qquad i > 0\\ &P_{i,i-1} = \frac{\mu_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{i\mu}{i\lambda+i\mu}=\frac{\mu}{\lambda+\mu} \qquad i > 0 \end{align*}\]Ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: Modelo de crecimiento lineal con inmigración
Se trata de un proceso de nacimiento y muerte en el que las tasas de nacimiento y muerte dado que la población tiene \(n\) individuos vienen dadas por
\[\begin{align*} &\mu_{n} = n\mu \qquad \forall n\geq 1\\ &\lambda_{n} = n\lambda + \theta \qquad \forall n\geq 0 \end{align*}\]Cada individuo nace con tasa \(\lambda\) y adicionalmente hay una tasa de aumento \(\theta\) de la población debido a una fuente externa como la inmigración. Las muertes se dan con tasa \(\mu\)
…Continuando con el ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: Modelo de crecimiento poblacional con inmigración
Las probabilidades de transición en este caso pueden calcularse de la siguiente manera:
\[\begin{align*} &P_{0,1}=1\\ &P_{i,i+1} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{i\lambda+\theta}{i\lambda+\theta +i\mu} \qquad i > 0\\ &P_{i,i-1} = \frac{\mu_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{i\mu}{i\lambda+\theta +i\mu} \qquad i > 0 \end{align*}\]Ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: \(M/M/1\):
Los clientes llegan a un sistema (nacen) de servidor único de acuerdo con un Proceso de Poisson con tasa \(\lambda\). Si el servidor está ocupado, el cliente debe esperar en la cola. De lo contrario, el cliente es atendido con tiempo de servicio \(exp(\mu)\). Una vez realizado el servicio, el cliente abandona el sistema (muere)
\[\begin{align*} &\lambda_{n} = \lambda \qquad \forall n\geq 0\\ &\mu_{n} = \mu \qquad \forall n\geq 1\\ \end{align*}\]…Continuando con el ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: \(M/M/1\)
Las probabilidades de transición en este caso pueden calcularse de la siguiente manera:
\[\begin{align*} &P_{0,1}=1\\ &P_{i,i+1} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu} \qquad i > 0\\ &P_{i,i-1} = \frac{\mu_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}=\frac{\mu}{\lambda+\mu} \qquad i > 0 \end{align*}\]Ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: \(M/M/c\)
Considere un sistema de cola exponencial en el que hay \(c\) servidores disponibles, cada uno sirviendo a tasa \(\mu\). Un cliente que ingresa primero espera en la fila y luego va al primer servidor libre.
\[\begin{align*} &\mu_{n} = \begin{cases}n\mu & \text{ si } 1\leq n\leq c\\ c\mu & \text{ si } n > c \end{cases}\\\\ &\lambda_{n} = \lambda \qquad \forall n\geq 0 \end{align*}\]…Continuando con el ejemplo de procesos de nacimiento y muerte: \(M/M/c\)
Las probabilidades de transición en este caso pueden calcularse de la siguiente manera:
\[\begin{align*} &P_{0,1}=1\\ &P_{i,i+1} = \frac{\lambda_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}= \begin{cases} \frac{\lambda}{\lambda+i\mu} & \qquad 1\leq i\leq c \\ \frac{\lambda}{\lambda+c\mu} & \qquad i > c \end{cases}\\ &P_{i,i-1} = \frac{\mu_{i}}{\lambda_{i} + \mu_{i}}= \begin{cases} \frac{i\mu}{\lambda+i\mu} & \qquad 1\leq i\leq c \\ \frac{c\mu}{\lambda+c\mu} & \qquad i > c \end{cases}\\ \end{align*}\]¿Qué aprendimos hoy?
Investigación de Operaciones II: Modelos Probabilísticos