\[X \sim bernoulli(p), \ \ \ f(x) = p^x (1-p)^{1-x}, x= 0,1\]
\(X\)：執行 \(n\)
次獨立伯努力試驗中，成功的次數。
\[X \sim binomial(n, p), \ \ \ f(x) =
\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \ \ x = 0,1, \dots, n\]
Ex: 小寶是一隻很特別的猴子, 具有用手指選擇 A、B、C、D 的能力, 只不過這些答案都是牠隨機亂猜的結果。 動物星球廣告公司為了噱頭, 讓小寶和幾位大學生一起參加 2024 CACA 資料分析證照考試的學科部分, 合格可取得證照。 題目為選擇題 20 題, 每題有四個選項, 答對可得 5 分, 試求小寶: (1) 得 0 分的機率 (2) 得 100 分的機率 (3) 通過學科取得證照的機率 ( 得分 70 分或以上) (4) 得分 20 分或以下的機率
sol. 若隨機變數 X 代表猴子小寶答對的題數
# (1) P(x=0)
dbinom(0,20,1/4)## [1] 0.003171212# (2) P(X=20)
dbinom(20,20,1/4)## [1] 9.094947e-13# (3) P(X >= 14)
1-pbinom(13,20,1/4)## [1] 2.951175e-05# (4) P(X <= 4)
pbinom(4,20,1/4)## [1] 0.4148415\[\binom{n}{x_1 ,x_2,\dots, x_k} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}, \ \ x_1+x_2+\cdots+x_k=n\]
Ex: 籤筒裡有 50 隻籤, 其中標示著 “大吉”、“讚”、“普通”、“不妙”、慘” 的籤各有 10 隻， 小明抽了10 次籤, 結果 (1) “大吉”、“讚”、“普通”、“不妙”、慘” 的籤分別抽到 2、3、3、1、1 次的機率為何? (2) 沒抽到 “大吉” 籤的機率為何? (3) “大吉”、“讚” 分別抽 4次、6次 , 其他籤沒抽到的機率為何?
dmultinom(c(2,3,3,1,1), 10, prob=c(rep(10/50,5)))## [1] 0.00516096dbinom(0,10,10/50)## [1] 0.1073742dmultinom(c(4,6,0), 10, prob=c(1/5,1/5,3/5))## [1] 2.1504e-05\(X\)：直至第 1 次成功所需執行之獨立伯努力試驗的次數。
\[X \sim geometric(x; p) , \ \ \ f(x)=p(1-p)^{x-1}=pq^{x-1}, x=1,2,3, \dots\]
Ex: 不透明箱中有大小材質重量皆相同的黑球9顆，紅球1顆，小明以抽後放回方式抽球，試問 (1) 直至抽第五次才抽到紅球的機率? (2) 前十次都沒抽到紅球的機率?
dgeom(4,1/10) # 注意 R 中 dgeom 輸入的第一個參數值 "x" 指的是 "失敗的次數" ## [1] 0.06561(1/10)*(9/10)^4 # 也可以用機率函數計算## [1] 0.065611 - pgeom(9,1/10) # 注意 dgeom(9,1/10) 是小明在第10次成功的機率## [1] 0.34867841 - sum(dgeom(0:9,1/10)) # 另一種算法## [1] 0.3486784\(X\)：直至第 \(k\) 次成功所需執行之獨立伯努力試驗的次數。
\[X \sim nb(x; k,p) , \ \ \ f(x)= \binom{x-1}{k-1} p^k (1-p)^{x-k}, \ x=k, \ k+1, \ k+2, \ \dots\]
Ex: 不透明箱中有大小規格材質重量皆相同的普通卡4張，特赦卡1張，小明因觸犯家規，需獲得三次特赦的加持方能除罪，故他以抽後放回方式抽卡，試問 (1) 抽卡第五次即順利除罪的機率? (2) 抽卡十次仍無法除罪的機率?
dnbinom(2,3,1/5) # 注意 R 中 nbinom 輸入的第一個參數值 "x" 指的是 "失敗的次數" , 第二個參數值 "size" 指的是 "需要達到的成功次數"## [1] 0.03072choose(4,2)*(1/5)^3*(4/5)^2 # 也可以用機率函數計算## [1] 0.030721 - pnbinom(7,3,1/5) # 注意 dnbinom(7,3,1/５) 是小明在第10次成功的機率## [1] 0.67779951 - sum(dnbinom(0:7,3,1/5)) # 另一種算法## [1] 0.6777995\[\frac{\binom{k}{x} \binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \ \ x=0,1, \dots , Min(n, k)\]
Ex: 從一副撲克牌 (52張) 中抽出13張, 求其中有7張紅牌、6張黑牌的機率。
取後放回 (二項分配):
dbinom(7, 13, 0.5)## [1] 0.2094727取後不放回 (超幾何分配):
dhyper(7,26,26,13)## [1] 0.2384914\[\frac{\binom{a_1}{x_1} \binom{a_2}{x_2} \cdots \binom{a_k}{x_k}}{\binom{N}{n}} , \ \ a_1+a_2+ \cdots a_k = N, \ \ x_1+x_2+ \cdots x_k = n\]
Ex: 從一副撲克牌 (52 張) 中抽出 13 張, 求其中有 3 張 ♠ 、4 張 ♢ 、4 張 ♡ 、2 張 ♣ 的機率。
choose(13,3)*choose(13,4)*choose(13,4)*choose(13,2)/choose(52,13)## [1] 0.01795931\(X\)：在一段長度的時間區間或特定的可度量範圍內,波松事件發生的次數。
\[X \sim p(x; \lambda t) , \ \ \ f(x)= \frac{(\lambda t)^x e^{-\lambda t}}{x!}, \ x=0,1,2,3, \ \dots\]
● 波松過程 (Poisson Process) 的特性
Ex: 小明畢業後在都會區開了一家餐館，閒暇時研究餐館的來客數，發現顧客在用餐時間進入餐館的人數大致服從 \(\lambda = 5\) (位 / 30分鐘) 的波松分配。目前恰好是用餐時間，試求: (1) 接下來20分鐘都沒有顧客進入的機率。 (2) 接下來一個小時有超過20位顧客進入的機率。
dpois(0, 10/3) # 注意 lambda = 5(位/30分鐘) = 10/3 (位/20分鐘) = 1/6 (位/30分鐘) = 10 (位/小時)## [1] 0.03567399(10/3)^0 *exp(-10/3)/factorial(0) # 也可以用機率函數計算## [1] 0.035673991 - ppois(20, 10) # 超過20位代表來客21位或以上## [1] 0.0015882611 - sum(dpois(0:20,10)) # 另一種算法## [1] 0.001588261