Di bab ini, kita akan membahas cara menghitung luas di bawah kurva menggunakan metode numerik atau simbolik. Pendekatan numerik melibatkan estimasi luas daerah dengan membaginya menjadi segmen-segmen geometris yang mudah dihitung, seperti persegi panjang atau trapesium. Sementara itu, pendekatan simbolik menggunakan metode analitik untuk menemukan fungsi yang nilainya sama dengan luas daerah tersebut berdasarkan aturan-aturan integrasi.

Selain perhitungan luas, bab ini juga mencakup beberapa teorema dan aplikasi integral. Salah satu teorema penting adalah teorema nilai rata-rata untuk integral, yang berguna untuk menemukan nilai rata-rata fungsi pada interval tertentu dan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi. Aplikasi integral mencakup berbagai fenomena fisika, biologi, ekonomi, seperti gerak lurus berubah-ubah, luas permukaan revolusi, volume benda padat, tekanan hidrostatis, dan pertumbuhan populasi. Ini menggambarkan bagaimana integral memiliki peran penting dalam pemodelan berbagai aspek kehidupan nyata.

library(ggplot2)

# Langkah pertama - Menentukan fungsi yang ingin diintegrasikan
f <- function(x) {
  x^2 + 3*x - 2
}

# Langkah kedua
# Menghitung luas di bawah kurva f(x) pada interval [0, 2] dengan metode numerik menggunakan Riemann sum
# Menentukan jumlah subinterval yang digunakan
n <- 10

# Langkah ketiga - Menghitung lebar setiap subinterval
dx <- (2 - 0) / n

# Langkah keempat - Menghitung titik-titik tengah setiap subinterval
x_mid <- seq(0 + dx/2, 2 - dx/2, by = dx)

# Langkah kelima - Menghitung nilai fungsi f(x) di titik-titik tengah tersebut
y_mid <- f(x_mid)

# Langkah keenam - Menghitung luas segmen-segmen persegi panjang 
#yang mendekati luas daerah dengan menggunakan rumus Riemann sum
area <- sum(y_mid * dx)

# Langkah ketujuh - Menampilkan hasil perhitungan luas daerah
cat("Luas di bawah kurva adalah:", area, "\n")
## Luas di bawah kurva adalah: 4.66
# Langkah kedelapan - Membuat plot dari fungsi f(x) dan segmen-segmen persegi panjang yang mendekati luas daerah
data <- data.frame(x = x_mid, y = y_mid)
ggplot(data, aes(x, y)) +
  geom_bar(stat = "identity", width = dx, fill = "green") +
  geom_point(aes(x, y), color = "black") +
  xlim(0, 2) +
  ylim(-2, 10)

Berikut ini adalah penjelasan dari setiap langkah kode diatas:

Langkah pertama: Kita mendefinisikan fungsi f(x) yang akan kita integrasikan. Dalam contoh ini, f(x) adalah fungsi kuadrat x^2 + 3*x - 2.

Langkah kedua: Kita menentukan jumlah subinterval yang akan digunakan dalam pendekatan Riemann sum. Dalam contoh ini, Kita menggunakan 10 subinterval.

Langkah ketiga: kita menghitung lebar setiap subinterval dengan membagi panjang interval [0, 2] dengan jumlah subinterval (n).

Langkah keempat: kita menghitung titik-titik tengah setiap subinterval dengan membuat urutan dari nilai-nilai x yang berada di tengah-tengah subinterval.

Langkah kelima: kita menghitung nilai fungsi f(x) pada setiap titik tengah subinterval, sehingga kita memiliki ketinggian segmen-segmen persegi panjang.

Langkah keenam: kita menghitung luas daerah di bawah kurva dengan menjumlahkan produk tinggi segmen-segmen persegi panjang (y_mid) dan lebar masing-masing segmen (dx).

Langkah ketujuh: kita mencetak hasil perhitungan luas daerah ke layar.

Langkah kedelapan: kita menggunakan paket ggplot2 untuk membuat plot yang menggambarkan segmen-segmen persegi panjang dan titik-titik yang mewakili nilai fungsi pada titik tengah subinterval.