Integrasi per bagian (presentasi standar)

Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Nama dan NIM : Abbiyi Qobus Syamsid (230605110087)

Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

`Jika Anda banyak melakukan antidiferensiasi simbolik, Anda akan sering menemukan fungsi yang tidak Anda kenali sebagai turunan dari fungsi yang sudah diketahui. Pertimbangkan, misalnya,

$$\int x\cos (x)dx.$$

Meskipun integral dan$x\cos (x)$ adalah produk sederhana dari dua fungsi buku pola, kemungkinan besar ini bukan fungsi yang sebelumnya Anda hasilkan melalui diferensiasi. Oleh karena itu, ini belum ada dalam buku harian anti-turunan Anda. Tujuan integrasi per bagian adalah untuk menyediakan cara standar untuk mengatur ulang anti-derivatif seperti $\int x\cos (x)dx$ , dimana integr dan merupakan hasil kali dua fungsi sederhana, ke dalam bentuk lain. Mampu melakukan hal ini bukan jaminan bahwa bentuk lain akan menjadi sesuatu yang dapat Anda anti-bedakan, namun ada baiknya Anda melempar dadu untuk melihat apakah Anda beruntung.

Aturan reorganisasi didasarkan pada dua sifat mendasar yaitu diferensiasi dan anti-diferensiasi.

1. $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)$ Ini tidak lebih dari sekedar jika $f^{\prime }(x)$ adalah turunan dari $f(x)$ , Kemudian $f(x)$ harus merupakan anti-turunan dari $f^{\prime }(x)$ .

2. ${\partial }_x[u(x)\cdot v(x)]=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+v^{\prime }(x)\cdot u(x)$ : aturan diferensiasi produk.

Mari kita integrasikan kedua sisi pernyataan aturan hasil kali. Untuk ruas kiri, dengan menerapkan aturan (i), kita mendapatkan hasil sederhana:

$$\int \left[{\partial }_x[u(x)\cdot v(x)]\right]dx=u(x)\cdot v(x)$$

Sedangkan untuk sisi kanan, yang kita dapatkan hanyalah dua anti-turunan: $$dx =

dx + dx$$ Menggabungkan dua ekspresi sebelumnya dan mengatur ulang menghasilkan:

$$\int u(x)\cdot v^{\prime }(x)dx=u(x)\cdot v(x)-\int v(x)\cdot u^{\prime }(x)dx\text{parts re-arrangment}$$

Sekarang, pertimbangkan masalah seperti $\int x\cdot \cos (x)dx$ yang kita belum tahu bagaimana menyelesaikannya. Mari kita kaitkan soal ini dengan ruas kiri persamaan penataan ulang bagian-bagiannya. Jika beruntung, kita akan mengenali suatu masalah yang kita akan tahu bagaimana menyelesaikannya di sisi kanan.

Untuk menerapkan pengaturan ulang, kita perlu membagi anti-turunan kita yang belum diketahui menjadi dua bagian: $u(x)$ Dan $v^{\prime }(x)dx$ . Ada banyak cara yang mungkin untuk melakukan hal ini tetapi yang paling jelas adalah

$$\int \underset{u(x)}{\underbrace{x}}\cdot \underset{v^{\prime }(x)dx}{\underbrace{\cos (x)dx}}$$

Menurut usulan pemisahan ini, kita punya $u(x)=x$ Dan $v^{\prime }(x)dx=\cos (x)dx$ . Untuk menyambungkan benda-benda ke sisi kanan penataan ulang bagian-bagian yang perlu kita temukan $v(x)$ Dan $u^{\prime }(x)dx$ . Sejak kita tahu $u(x)=x$ mudah untuk mengambil diferensial, $du=dx$ . Demikian pula, kita tahu $v^{\prime }(x)dx=\cos (x)dx$ jadi kita bisa mengintegrasikan kedua sisi:

$$v(x)=\underset{\text{from }{v}^{\prime }(x)dx=\cos (x)dx}{\underbrace{\int v^{\prime }(x)dx=\int \cos (x)dx}}=\sin (x)$$

Sekarang kita tahu $v(x)$ yang konsisten dengan pemisahan awal anti-turunan menjadi $\int u(x)\cdot v^{\prime }(x)dx$ kita dapat memasukkan hasil kita ke sisi kanan persamaan penataan ulang bagian-bagian tersebut:

$$\int x\cdot \cos (x)dx=x\sin (x)-\int \underset{v(x)}{\underbrace{\sin (x)}}\underset{u^{\prime }(x)dx}{\underbrace{1dx}}$$

Kami beruntung! Kita sudah mengetahui antiderivatifnya $\int \sin (x)dx=-\cos (x)$ . Mengganti hasil ini untuk $\int v(x)u^{\prime }(x)dx$ istilahnya, kita sampai pada

$$\int x\cdot \cos (x)dx=x\sin (x)+\cos (x).$$

Langkah kreatif utama dalam menggunakan integrasi per bagian secara efektif adalah dengan memilih pemisahan yang berguna dari integral asli ke dalam bagian-bagiannya. $u(x)$ Dan $v^{\prime }(x)dx$ bagian. Hal ini biasanya didasarkan pada pengetahuan yang kuat tentang turunan dan antiturunan dari fungsi dasar serta wawasan tentang konsekuensi hilir dari setiap pilihan. Dalam hal ini, memilih $u(x)$ Dan $v^{\prime }(x)dx$ seperti melakukan gerakan dalam catur. Beberapa pemain dapat melihat dua atau tiga langkah ke depan sehingga dapat memilih langkah pertama untuk memperbaiki posisi mereka. Tanpa tinjauan ke masa depan, hal terbaik yang bisa dilakukan kebanyakan orang adalah memilih langkah pertama yang terlihat menarik dan menerima bahwa nasib mereka mungkin berupa kemenangan atau skakmat.

Bagi siswa kalkulus yang mempelajari integrasi per bagian, terdapat sebuah ironi. Mendapatkan pengalaman yang cukup untuk membuat pilihan yang baik $u(x)$ Dan $v^{\prime }(x)dx$ berarti Anda akan memecahkan, atau membaca tentang pemecahan, banyak masalah anti-diferensiasi. Anda tentu saja dapat memasukkan solusi-solusi tersebut ke dalam buku harian anti-derivatif Anda, sehingga menghilangkan kebutuhan untuk melakukan integrasi per bagian di masa depan.

Referensi https://dtkaplan.github.io/MC2/Accumulation/31-symbolic.html#integration-by-parts-standard-presentation