36.4 Integral dari bawah ke atas

Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Nama dan NIM : Abbiyi Qobus Syamsid (230605110087)

Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Batas-batas integrasi muncul dalam pengaturan yang berbeda. Tak satu pun dari ini sulit untuk diturunkan dari bentuk-bentuk dasar:

-Hubungan antara integral dan fungsi anti-turunannya yang sesuai:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Hubungan ini memiliki nama yang terdengar mewah: teorema dasar kedua kalkulus. -Akumulasi dari nilai awal

$$\mathbf{F}(b)=\mathbf{F}(a)+{\int }_a^{b}f(x)dx=\mathbf{F}(a)+F(b)-F(a)$$

Untuk banyak situasi pemodelan, $a$ dan $b$ adalah jumlah tetap, jadi $F(a)$ dan $F(b)$ juga kuantitas; output dari fungsi anti-turunan pada input $a$ dan $b$ . Tetapi batas bawah atau batas atas dapat menjadi nama input, seperti pada

$${\int }_0^{t}f(x)dx=F(t)-F(0)$$

Perhatikan bahwa $F(t)$ bukanlah kuantitas tetapi fungsi dari $t$ .

Kadang-kadang, Anda akan melihat formulir seperti ${\int }_t^{0}f(x)dx$ . Anda dapat memikirkan ini dengan salah satu dari dua cara:

1.Akumulasi dari suatu waktu $t$ kurang dari 0 hingga 0. 2.Akumulasi terbalik dari 0 hingga waktu $t$ . Akumulasi terbalik bisa menjadi konsep yang rumit karena melanggar intuisi sehari-hari. Misalkan Anda memanen sederet stroberi matang. Anda mulai dari awal baris—posisi nol. Kemudian Anda bergerak ke bawah barisan, memetik stroberi dan menempatkannya di keranjang Anda. Ketika Anda telah mencapai posisi $B$ keranjang Anda menyimpan akumulasi ${\int }_0^{B}s(x)dx$ mana $s(x)$ adalah kepadatan lineal stroberi — unit: beri per meter baris.

Tetapi misalkan Anda pergi ke arah lain, dimulai dengan keranjang kosong di posisi $B$ dan bekerja kembali ke posisi 0. Akal sehat mengatakan keranjang Anda akan terisi dengan jumlah yang sama seperti ke arah depan, dan memang inilah masalahnya. Tetapi integral bekerja secara berbeda. Integral ${\int }_B^{0}s(x)dx$ akan menjadi negatif dari ${\int }_0^{B}s(x)dx$ . Anda dapat melihat ini dari hubungan antara integral dan anti-turunan:

$${\int }_B^{0}s(x)dx=S(0)-S(B)=-[S(B)-S(0)]=-{\int }_0^{B}s(x)dx$$

Ini bukan untuk mengatakan bahwa ada yang namanya stroberi negatif. Sebaliknya, itu berarti bahwa memanen stroberi mirip dengan integral dalam beberapa hal (akumulasi) tetapi tidak dengan cara lain. Dalam bertani, panen dari 0 hingga $B$ hampir sama dengan memanen dari $B$ ke 0, tetapi integral tidak bekerja dengan cara ini.

Sifat integral lainnya adalah interval antara batas-batas integrasi dapat dipecah menjadi beberapa bagian. Misalnya:

$${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$$

You can confirm this by noting that

$${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx=[F(b)-F(a)]+[F(c)-F(b)]=F(c)-F(a)={\int }_a^{c}f(x)dx.$$

Akhirnya, pertimbangkan fungsi ini $t$ :

$${\partial }_t{\int }_a^{t}f(x)dx.$$

Pertama, bagaimana kita tahu itu adalah fungsi dari $t$ ? ${\int }_a^{t}f(x)dx$ adalah integral yang pasti dan memiliki nilai

$${\int }_a^{t}f(x)dx=F(t)-F(a).$$

Mengikuti konvensi kami, $a$ adalah parameter dan singkatan dari nilai numerik tertentu, jadi $F(a)$ adalah output dari $F()$ untuk input tertentu. Tetapi menurut konvensi $t$ adalah nama input. Jadi $F(t)$ adalah fungsi yang outputnya bergantung pada $t$ . Membedakan fungsi $F(t)$ , seperti halnya setiap fungsi lainnya, menghasilkan fungsi baru.

Kedua, ada jalan pintas untuk menghitung ${\partial }_t{\int }_a^{t}f(x)dx$ :

$${\partial }_t{\int }_a^{t}f(x)dx={\partial }_t[F(t)-F(a)].$$

Sejak $F(a)$ adalah kuantitas dan bukan fungsi, ${\partial }_{t}F(a)=0$ . Itu menyiratkan banyak hal. Lebih baik lagi, kita tahu bahwa turunan dari $F(t)$ sederhana $f(t)$ : Itu hanya sifat hubungan turunan / anti-turunan antara $f(t)$ dan $F(t)$ . Secara keseluruhan, kami memiliki:

$${\partial }_t{\int }_a^{t}f(x)dx=f(t).$$

Identitas yang tampak rumit ini memiliki nama mewah: teorema dasar pertama kalkulus.