19.4 Notasi untuk Diferensiasi

Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Nama dan NIM : Abbiyi Qobus Syamsid (230605110087)

Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Ada banyak notasi yang digunakan secara luas untuk diferensiasi. Dalam buku ini, kita akan menunjukkan diferensiasi dengan cara memiliki analogi yang dekat dalam notasi komputer.

Kami akan menulis turunan dari $f(x)$ sebagai ${\partial }_{x}f(x)$ . Jika kita memiliki fungsi $g(t)$ dengan $t$ menjadi nama input, turunannya adalah ${\partial }_{t}g(t)$ . Karena tidak ada yang istimewa tentang nama input dalam fungsi dengan satu input, kita juga bisa menulis fungsi satu-input yang merupakan turunan dari $g()$ sehubungan dengan masukannya sebagai ${\partial }_{x}g(x)$ atau ${\partial }_{z}g(z)$ atau bahkan ${\partial }_{zebra}g(zebra)$ . Untuk fungsi dengan hanya satu input, notasi skeptis mungkin berpendapat bahwa tidak perlu subskrip pada $\partial$ , karena akan selalu mencocokkan nama input dengan fungsi yang dibedakan.

Pada awal sejarah kalkulus, matematikawan Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) mengusulkan notasi yang lebih kompak untuk turunan fungsi dengan input tunggal. Daripada ${\partial }_{x}f(x)$ , Lagrange menulis $f^{\prime }$ . Kami mengucapkan ini “f-prime.” Notasi ini masih banyak digunakan dalam buku teks kalkulus karena kompak. Tapi itu bukan notasi yang layak untuk fungsi yang digunakan dalam pemodelan karena fungsi-fungsi tersebut sering memiliki lebih dari satu input.

Sebelum Lagrange, Newton menggunakan notasi yang sangat kompak. Sejarawan perlu berhati-hati, karena Newton tidak menggunakan istilah “turunan” atau istilah “fungsi.” Sebaliknya, Newton menulis tentang “kuantitas mengalir,” yaitu kuantitas yang berubah seiring waktu. Untuk Newton, nama-nama khas untuk jumlah yang mengalir seperti itu adalah $x$ dan $y$ . Dia tidak menggunakan tanda kurung yang sekarang kita kaitkan dengan fungsi, hanya nama kosong. Newton menggunakan “fasih” untuk menamai kuantitas yang mengalir seperti itu. Newton fasih kurang lebih apa yang kita sebut hari ini “fungsi waktu.” Apa yang sekarang kita sebut “turunan,” Newton menyebutnya “fluks.” Kalau $x$ adalah fasih, maka Newton menulis $\dot{x}$ untuk berdiri untuk fluks. Ini diucapkan “x-dot.” Seperti notasi prima kompak Lagrange, notasi titik Newton masih digunakan, terutama dalam fisika.

Matematikawan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) adalah seorang kontemporer Newton. Leibniz mengembangkan notasinya sendiri untuk kalkulus, yang lebih mudah dipahami daripada Newton. Dalam notasi Leibniz, turunannya (sehubungan dengan $x$ ) dari $f(x)$ ditulis

$$\frac{df}{dx}.$$

Si kecil $d$ singkatan dari “a little bit of” atau “a little change in,” jadi $\frac{df}{dx}$ menjelaskan bahwa turunannya adalah rasio dua bit kecil. Dalam penyebut, $dx$ mengacu pada perubahan sangat kecil dalam nilai input $x$ . Dalam pembilang, $df$ menamai perubahan yang sesuai dalam output dari $f()$ ketika input diubah.

Notasi Leibniz sejauh ini adalah yang paling banyak digunakan dalam kalkulus pengantar. Ini memiliki banyak keunggulan dibandingkan dengan notasi Newton atau Lagrange. Misalnya, ini memberikan kesempatan untuk memberi nama masukan dengan-hormat-untuk. Ini juga memberikan notasi yang bagus untuk operasi yang disebut “anti-diferensiasi” yang akan kita temui di Bagian ?sec-accumulation-part. Dan banyak mahasiswa fisika atau teknik telah diajarkan untuk mengobati $dx$ seolah-olah itu adalah angka ketika melakukan manipulasi aljabar.

Masalah dengan notasi Leibniz, dari perspektif buku ini, adalah bahwa notasi itu tidak diterjemahkan dengan baik ke dalam notasi komputer. Pernyataan seperti: df/dx <- x^2 + 3*x

adalah non-starter karena karakter tidak diperbolehkan dalam nama di sebagian besar bahasa komputer, termasuk R./

Untuk fungsi dengan beberapa input, misalnya, $h(x,y,z)$ , diferensiasi dapat dilakukan sehubungan dengan masukan apa pun. Notasi Leibniz mungkin dapat digunakan untuk menunjukkan input mana yang merupakan input dengan-hormat-untuk; Tiga turunan dari $h()$ akan ditulis $dh/dx$ dan $dh/dy$ dan $dh/dz$ . Namun, notasi matematika tidak mengarah ke arah ini. Sebaliknya, untuk fungsi dengan beberapa input, tiga turunan paling sering ditulis $\partial h/\partial x$ dan $\partial h/partialy$ dan $\partial h/\partial z$ . Dalam ekspresi, $\partial h/\partial y$ , simbol $\partial$ diucapkan “parsial,” Tiga turunan yang berbeda $\partial h/\partial x$ ,$\partial y/\partial y$ dan $\partial h/\partial z$ disebut “turunan parsial” dan merupakan subjek dari Bab 25.

Buku ini menggunakan ${\partial }_{x}h$ ,${\partial }_{y}h$ dan ${\partial }_{z}h$ untuk menunjukkan derivatif parsial. Ini cukup mengidentifikasi input dengan-hormat-untuk dan memiliki analog dekat dalam notasi komputer. Misalnya, jika telah didefinisikan, pernyataan berikut sepenuhnya valid:f(x,y,z)

dz_f <- D(f(x,y,z) ~ z)
dy_f <- D(f(x,y,z) ~ y)

Sudah lebih dari 300 tahun sejak kematian Leibniz. Pada titik ini kalkulus adalah sehingga kita akan menetapkan bahwa kita tidak memerlukan notasi $df/dx$ Untuk mengingatkan kita bahwa turunan adalah “sedikit dari $f$ dibagi dengan sedikit $x$ .”

Ada beberapa notasi tradisional untuk diferensiasi fungsi input tunggal bernama $f()$ . Berikut daftar beberapa di antaranya, bersama dengan nama yang terkait dengan masing-masing:

-Leibnitz: $\frac{df}{dx}$

-Parsial: $\frac{\partial f}{\partial x}$

-Newton (atau “titik”): $\dot{f}$

-Lagrange (atau “prime”): $f^{\prime }$

-Satu baris (digunakan dalam buku ini): ${\partial }_{x}f$

Untuk membaca kalkulus dengan lancar, Anda harus mengenali masing-masing notasi ini. Untuk fungsi dengan satu input, semuanya memiliki arti yang sama. Tetapi ketika fungsi memiliki banyak input, pilihannya adalah antara gaya $\partial f/\partial x$ dan ${\partial }_{x}f$ . Kami menggunakan nanti karena dapat dengan mudah dimasukkan ke dalam perintah komputer.