Menghitung Urutan Besaran

Dosen: Prof. Dr. Suhartono, S.Si., M.Kom_196805192003121001

Fakultas: Sains dan Teknologi

Program Studi: Teknik Informatika

Kelas: C

BESARAN

Orang-orang menyelesaikan tugas matematika yang familiar dengan sedikit usaha mental: membandingkan dua angka untuk menentukan mana yang lebih besar. Hal ini mudah karena kami telah mengadopsi sistem penulisan angka yang memudahkannya. Bagi bangsa Romawi dan Eropa hingga abad ke-13, angka merupakan hal yang sulit untuk dihitung. Misalnya, manakah di antara ketiga angka berikut yang lebih besar?

Anda dapat melihat jawabannya secara sekilas. Algoritmenya mudah: pilih angka dengan jumlah digit terbesar. Jika ada seri, lihat angka pertama. Jika masih ada seri, lihat digit berikutnya. Sebaliknya, dibutuhkan lebih banyak pekerjaan dengan angka Romawi. Misalnya, IC berukuran sekitar lima belas kali lebih besar dari VI, meskipun I jauh lebih kecil dari V.

URUTAN BESARNYA

Kita akan menyebut menilai besar kecilnya suatu bilangan berdasarkan jumlah digitnya sebagai membaca besarnya suatu bilangan. Untuk memulainya, pertimbangkan angka-angka yang dimulai dengan 1 diikuti dengan angka nol, misalnya 100 atau 1000. Kita akan menghitung besaran sebagai jumlah angka nol: 100 memiliki besaran 2 dan 1000 memiliki besaran 3. Dalam membandingkan angka-angka berdasarkan besarnya, kita mengatakan hal-hal seperti, “1000 adalah satuan besarnya lebih besar dari 100,” atau “1.000.000” adalah lima kali lipat lebih besar dari 10.

Banyak fenomena dan besaran yang lebih dipahami dalam kaitannya dengan besaran dibandingkan dengan jumlah. Contohnya: Hewan, termasuk manusia, berkeliling dunia dalam kondisi pencahayaan yang berbeda-beda, mulai dari sinar matahari yang cerah di tengah hari hingga bayangan redup di bulan sabit. Untuk dapat melihat dalam kondisi yang beragam, mata perlu merespons intensitas cahaya dalam berbagai besaran.

Lux adalah satuan pencahayaan dalam Systeme internasional . Tabel 1 ini menunjukkan iluminasi dalam berbagai pengaturan luar ruangan yang lazim:

Untuk makhluk yang aktif siang dan malam, mata harus peka terhadap 7 kali lipat iluminasi. Untuk mencapai hal ini, mata menggunakan beberapa mekanisme: kontraksi atau pelebaran pupil berjumlah sekitar 1 kali lipat, fotopik (warna, kerucut) versus skotopik (hitam-putih, batang, malam hari) mencakup sekitar 3 kali lipat, adaptasi selama beberapa menit (1 pesanan), menyipitkan mata (1 pesanan).

Yang lebih mengesankan, persepsi manusia terhadap suara mencakup lebih dari 16 kali lipat dalam hal energi yang mengenai gendang telinga. Kepadatan energi suara yang terlihat berkisar dari ambang pendengaran sebesar 0,000000000001 Watt per meter persegi hingga tingkat percakapan 0,000001 W/m 2 hingga 0,1 W/m 2 di barisan depan konser rock. Namun dalam kaitannya dengan persepsi subjektif kita terhadap kenyaringan, setiap perubahan besaran dirasakan dengan cara yang sama, baik dari lalu lintas jalan raya ke penyedot debu atau dari bisikan ke percakapan normal. (Satuan pengukuran suara adalah desibel (dB), dengan 10 desibel sesuai dengan urutan besarnya kepadatan energi suara.)

6, 60, 600, dan 6000 mil per jam adalah besaran yang ukurannya berbeda berdasarkan besarnya . Perbedaan-perbedaan tersebut sering kali menunjukkan adanya perubahan konteks yang substansial. Sebuah lari adalah 6 mph, sebuah mobil di jalan raya melaju dengan kecepatan 60 mph, sebuah jet komersial melaju dengan kecepatan 600 mph, dan sebuah roket melaju dengan kecepatan 6000 mph dalam perjalanannya menuju kecepatan orbit. Dari merangkak bayi hingga menjelajah jalan raya memiliki kecepatan 2 kali lipat.

Tentu saja, banyak fenomena yang tidak terwakili dengan baik dalam urutan besarannya. Misalnya, perbedaan suhu tubuh normal dan demam tinggi adalah 0,01 lipat suhu. 2 Peningkatan tekanan darah sebesar 1 kali lipat dari tingkat normal akan menyebabkan kematian seketika! Perbedaan antara orang dewasa yang sangat tinggi dan orang dewasa yang sangat pendek adalah sekitar 1/4 besarnya.

Urutan besarnya digunakan jika perbandingan yang relevan adalah rasio . “Mobil 10 kali lebih cepat dari manusia,” mengacu pada rasio kecepatan. Sebaliknya, besaran seperti suhu tubuh, tekanan darah, dan tinggi badan orang dewasa dibandingkan menggunakan perbedaan . Demam adalah 2${}^{\circ }$C suhunya lebih tinggi dari biasanya. Peningkatan tekanan darah sebesar 30 mmHg kemungkinan besar berhubungan dengan berkembangnya hipertensi. Orang dewasa yang sangat tinggi dan sangat pendek berbeda sekitar 2 kaki.

Salah satu petunjuk bahwa berpikir dalam tatanan besaran adalah tepat adalah ketika Anda bekerja dengan sekumpulan objek yang kisaran ukurannya mencakup satu atau banyak faktor 2. Membandingkan pemain baseball dan bola basket? Mungkin tidak perlu urutan besarnya. Membandingkan bayi, anak-anak, dan orang dewasa dalam hal tinggi dan berat badan? Urutan besarnya mungkin berguna. Membandingkan sepeda? Kebanyakan mereka cocok dalam kisaran 2 dalam hal ukuran, berat, dan kecepatan (tetapi bukan biaya!). Membandingkan mobil, SUV, dan truk? Perbedaan sebesar faktor 2 adalah hal yang biasa, jadi berpikir dalam urutan besarnya mungkin merupakan hal yang tepat.

Petunjuk lainnya adalah apakah “nol” berarti “tidak ada”. Suhu harian di musim dingin seringkali mendekati “nol” pada skala Fahrenheit atau Celcius, namun hal ini tidak berarti tidak ada panas sama sekali. Skala tersebut bersifat arbitrer. Cara lain untuk memikirkan petunjuk ini adalah apakah nilai-nilai negatif itu bermakna. Jika demikian, berpikir dalam kerangka besaran kemungkinan besar tidak akan berguna.

MENGHITUNG ANGKA

Bayangkan memiliki fungsi penghitungan digit yang disebut digit(). Dibutuhkan angka sebagai masukan dan menghasilkan angka sebagai keluaran. Kami tidak memiliki rumus untuk digit(), namun untuk beberapa masukan, keluarannya dapat dihitung hanya dengan menghitung. Misalnya:

~angka(10)$\equiv$1

~angka(100)$\equiv$2

~angka(1000)$\equiv$3

~… dan seterusnya … ~angka (1.000.000)$\equiv$6

Fungsi digit() dapat dengan mudah diterapkan pada perkalian dua bilangan. Contohnya:

angka (1000$\times$100) = angka(1000) + angka(100) = 3 + 2 = 5. ~Demikian pula, menerapkan angka() pada suatu rasio akan menghasilkan selisih angka pembilang dan penyebut, seperti ini:

~angka (1.000.000$÷$10) = ~angka(1.000.000) - angka(10) = 6 - 1 = 4 Dalam praktiknya, digit() sangat berguna sehingga bisa menjadi salah satu fungsi pemodelan dasar kita:$$\text{digit(x)}=2.302585\ln (x)$$ atau, dalam R, log10(). Kami memilih logaritma natural$\ln ()$daripada digit() karena alasan yang akan terlihat saat kita mempelajari diferensiasi .

Anda mungkin sudah menebak bahwa digits()ini berguna untuk menghitung perbedaan dalam urutan besarnya. Begini caranya:

1. Pastikan besarannya dinyatakan dalam satuan yang sama .
2. Hitung perbedaan antara digits()bagian numerik kuantitas.

Berapakah perbedaan kecepatan antara siput dan manusia berjalan? Seekor siput meluncur dengan kecepatan sekitar 1 mm/detik, manusia berjalan dengan kecepatan sekitar 5 km per jam. Menempatkan kecepatan manusia dalam satuan yang sama dengan kecepatan siput:

$$\begin{array}{rcl}5\frac{km}{hr}=\left[\frac{1}{3600}\frac{hr}{sec}\right]5\frac{km}{hr}& =& \\ \left[{10}^6\frac{mm}{km}\right]\left[\frac{1}{3600}\frac{hr}{sec}\right]5\frac{km}{hr}& =& 1390\frac{mm}{sec}\end{array}$$ Menghitung selisih digits()antara 1 dan 1390:

log10(1390) - log10(1)

## [1] 3.143015

## [1] 3.143015

Jadi, perbedaan kecepatannya sekitar 3 kali lipat. Bagi seekor siput, manusia yang berjalan pasti tampak seperti roket yang sedang menuju orbit!

Penggunaan faktor 10 dalam menghitung orde besarnya bersifat arbitrer. Orang yang berjalan kaki dan orang yang jogging berada di ambang perbedaan kualitatif, meskipun kecepatan keduanya hanya berbeda 2 kali lipat. Pesawat terbang yang melaju dengan kecepatan 600 mph dan 1200 mph memiliki desain yang berbeda secara kualitatif, meskipun kecepatannya hanya merupakan faktor 2 terpisah. Seorang pemain bola basket profesional (tinggi 2 meter atau lebih) secara kualitatif berbeda dengan siswa kelas tiga (tinggi sekitar 1 meter).