Optimasi : Optimasi Numerik untuk Menghasilkan Nilai Maksimum

Dosen Pengampu : Prof. Dr.Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Kelas : (C) Kalkulus

NIM : 230605110080

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

library(ggplot2)

OPTIMASI NUMERIK

Optimasi numerik adalah suatu cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan pengembangan dan implementasi metode matematika untuk menemukan solusi terbaik dalam konteks suatu masalah. Tujuan utama dari optimasi numerik adalah mencari nilai optimal dari suatu fungsi objektif di dalam ruang parameter tertentu. Fungsi objektif ini dapat merepresentasikan berbagai hal, seperti maksimalkan keuntungan, minimalkan biaya, atau mencari nilai terbaik dalam suatu konteks tertentu.

CONTOH

Misal terdapat fungsi sebagai berikut:

f(x) = −2x^2 + 8x − 5

Ingin mencari nilai x yang membuat f(x) mencapai nilai maksimum.

Langkah pertama adalah mendefinisikan fungsi tersebut:

f(x)= −2x^2 + 8x − 5

Langkah kedua adalah mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, dan menyeimbangkan dengan nol untuk menemukan titik kritis:

f(x)= −4x + 8

Setelah itu, set turunan pertama sama dengan nol dan selesaikan untuk x:

−4x + 8 = 0

−4x = −8

x = 2

Sehingga, didapatkan bahwa x = 2 sebagai titik kritis.

Langkah ketiga adalah mengevaluasi turunan kedua untuk memastikan bahwa memiliki titik maksimum dan bukan minimum. Turunan kedua dari f(x) adalah:

f′′(x) = −4

Karena f′′(x) konstan dan negatif, kita tahu bahwa x=2 adalah titik maksimum.

Jadi, x = 2 adalah nilai yang membuat f(x) mencapai nilai maksimum. Untuk menemukan nilai maksimumnya, substitusi x=2 ke dalam fungsi f(x):

f(2) = −2(2)^2 + 8(2) − 5

f(2) = −8 + 16 − 5

f(2) = 3

Jadi, nilai maksimum dari fungsi f(x) adalah f(2) = 3, dan x = 2 adalah nilai x yang memberikan maksimum tersebut.

# Install dan load paket ggplot2 (jika belum diinstal)
# install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)

# Fungsi
f <- function(x) -2*x^2 + 8*x - 5

# Data frame untuk grafik fungsi
df <- data.frame(x = seq(0, 4, by = 0.1),
                 y = f(seq(0, 4, by = 0.1)))

# Titik maksimum
max_point <- data.frame(x = 2, y = f(2))

# Grafik fungsi
p <- ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_point(data = max_point, aes(x, y), color = "red", size = 3) +
  geom_text(data = max_point, aes(x, y, label = paste("Maksimum\n(x = 2, y = 3)")),
            vjust = -1, hjust = 1.5, color = "red") +
  labs(title = "Grafik Fungsi",
       x = "x",
       y = "f(x)")

# Tampilkan grafik
print(p)