Intervalos de confiança para médias e proporções

Introdução

Considere uma população normal com média desconhecida $\mu$, que se deseja estimar e variância $\sigma^2$ conhecida, ou seja, $X\sim N(?,\sigma^2)$.

Toma-se uma amostra de tamanho $n$ dessa população. Temos então os elementos $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$. Logo, podemos calcular a média amostral $\overline{x}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}$. Dizemos que $\overline{x}$ é o estimador da média populacional $\mu$.

O valor obtido para $\overline{x}$ varia de uma amostra para outra (lembremos que o processo é aleatório). Vejamos alguns exemplos gerados no RStudio considerando uma amostra de tamanho $n=30$ de uma população com média $\mu=100$ e variância $\sigma^2=25$:

## Medias:

## Media 1= 99.76448     Media 2= 100.8917   Media 3= 100.1221

Note que, a amostra pode conter ou não o verdadeiro parâmetro desconhecido. O valor calculado para a média da amostra constitui a estimativa pontual do parâmetro. Cada uma das médias constitui uma estimativa pontual da verdadeira média populacional. Neste caso, como conhecemos a média ($\mu=100$), verificamos que nem todas as amostras contêm esse valor. Daí a importância de se contruir um intervalo de confiança para o verdadeiro valor do parâmetro.

Estimação intervalar

A estimação pontual de um parâmetro não possui uma medida do possível erro cometido na estimação. Uma maneira de expressar a precisão da estimação é estabelecer limites, que com certa probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro populacional. Esses limites são chamados limites de confiança. Eles determinam um intervalo de confiança, no qual deverá estar o verdadeiro valor do parâmetro, com certa probabilidade especificada.

Logo, a estimação por intervalo consiste na fixação de dois valores tais que $(1-\alpha)$ seja a probabilidade de que o intervalo, por eles determinado, contenha o verdadeiro valor do parâmetro.

$\alpha$: nível de incerteza ou grau de desconfiança.

$1-\alpha$: nível de confiança.

Portanto, $\alpha$ nos dá a medida da incerteza dessa inferência(nível de significância). Logo, a partir da informação da amostra, devemos calcular os limites $\hat{\theta}_{I}$ e $\hat{\theta}_{S}$ de um intervalo, os chamados valores críticos, que em $100(1-\alpha)\%$ dos casos inclua o valor do parãmetro a estimar e em $100\alpha\%$ dos casos não inclua o valor do parâmetro. Assim, quando $\alpha=0,05$, temos um intervalo de confiança de $95\%$; quando $\alpha=0,01$, temos um intervalo de confiança de $99\%$. Quanto mais amplo o intervalo de confiança, mais confiantes podemos estar de que o intervalo fornecido contém o parâmetro desconhecido.

Em linguagem prática, um intervalo de confiança de $95\%$, por exemplo, significa que de cada 100 amostras, 95 conterão o verdadeiro valor do parâmetro, enquanto que 5 não conterão.

Intervalos de confiança para a média $\mu$ de uma população normal com variância $\sigma^2$ conhecida

Como já foi dito na introdução, seja uma população normal com média desconhecida $\mu$, que se deseja estimar e variância $\sigma^2$ conhecida, ou seja, $X\sim N(?,\sigma^2)$.

Procedimento para a construção do IC:

Retiramos uma amostra casual simples de tamanho $n$.
Calculamos a média da amostra $\overline{x}$.
Calculamos o desvio padrão da média amostral $\sigma_{\bar{x}}=\sqrt{\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}}=\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Fixamos o nível de significância $\alpha$ e encontramos $z_{\alpha/2}$.

$z_{\alpha}$

Denotamos por $z_{\alpha}$ o valor de $z$ acima do qual existe uma área igual a $\alpha$. Por exemplo, $z_{0,05}=1,64$, pois a área acima de 1,64 vale 0,05. Ou, de forma equivalente, a área abaixo de 1,64 vale 0,95. Temos $z_{0.25}=1.96$. Ou, de forma equivalente, a área abaixo de 1,96 vale 0,975.

No R esses quantis podem ser encontrados pelos comandos:

#z_0.05
qnorm(0.95)

## [1] 1.644854

#z_0.25
qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Isto é ilustrado na figura abaixo.

E o que é $z_{\alpha/2}$?

Para construir um IC precisamos encontrar os valores $-z_{\alpha/2}$ e $z_{\alpha/2}$ tais que a área entre eles seja $1-\alpha$.

Daí,temos $Z=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ e \[\mathbb P\Big(-z_{\alpha/2}<\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<z_{\alpha/2}\Big)=1-\alpha\]

Multiplicando cada termo da desigualdade por $\sigma/\sqrt{n}$ e depois subtraindo $\bar{X}$ de cada termo e multiplicando por $-1$ (revertendo o sentido das desigualdades), obtemos

\[\mathbb P\Big(\overline{X}-(z_{\alpha/2})\cdot\sigma/\sqrt{n}<\mu<\overline{X}+(z_{\alpha/2})\cdot\sigma/\sqrt{n}\Big)=1-\alpha\]

A sentença acima fornece um intervalo de confiança de $100(1-\alpha)\%$ para a média de uma população com variância $\sigma^{2}$ conhecida.

Os valores $\overline{X}-(z_{\alpha/2})\cdot\sigma/\sqrt{n}$ e $\overline{X}+(z_{\alpha/2})\cdot\sigma/\sqrt{n}$ são os limites $\hat{\theta}_{I}$ e $\hat{\theta}_{S}$, respectivamente do intervalo.

O valor $(z_{\alpha/2})\cdot\sigma/\sqrt{n}$ é denominado erro de estimação.

Usando uma notação simplificada, temos:

$IC(\mu,(1-\alpha)100\%)=(\hat{\theta}_{I},\hat{\theta}_{S})$.

Exemplo 1: De uma população normal $X$, com $\sigma^{2}=9$, extraímos uma amostra de 25 observações obtendo $\sum_{i=1}^{25}=152$. Determine um IC de limites de 90% para $\mu$.

Resolução: $\alpha=90\%,\mbox{ } \sum_{i=1}^{25}=152$.

$\overline{x}=\dfrac{152}{25}=6,08$

$\sigma_{\overline{x}}=\sqrt{\dfrac{\sigma^{2}}{n}}=\dfrac{9}{25}=0.6$

$\alpha=0.10\Rightarrow \alpha/2=0.05\Rightarrow z_{0.05}=1.64$

No RStudio:

alpha=0.10
alpha/2

## [1] 0.05

zalphasobre2<-qnorm(1-alpha/2)
zalphasobre2

## [1] 1.644854

Logo,

$\hat{\theta}_{I}=\overline{X}-(z_{\alpha/2})\cdot\sigma/\sqrt{n}=6.08-1.64\cdot0.6=5.096$

$\hat{\theta}_{S}=\overline{X}+(z_{\alpha/2})\cdot\sigma/\sqrt{n}=6.08+1.64\cdot0.6=7.064$

$IC(\mu,90\%)=(5.096,7.064)$

Podemos resolver o exercício diretamente no RStudio? SIM.

mean=6.08
sd=0.6
ene=25
#sdmean=0.6/25
alpha=0.10
liminf<-mean-(qnorm(1-(alpha/2))*(sd))
limsup<-mean+(qnorm(1-(alpha/2))*(sd))
cat("alpha:", alpha,"\t\n")

## alpha: 0.1

cat("IC (1-alpha)100%:", liminf,limsup,"\n")

## IC (1-alpha)100%: 5.093088 7.066912

Exemplo 2: De uma população normal com $\sigma=5$, retiramos uma amostra de tamanho $n=50$ e obtivemos $\overline{x}=42$.

Construir um IC para a média ao nível de 5%.
Qual o erro de estimação ao nível de 5%?
Para que o erro de estimação seja menor ou igual a 1, qual deve ser o tamanho da amostra?

Resolução: (a)

mean=42
sd=0.71
ene=50
alpha=0.05
liminf<-mean-(qnorm(1-(alpha/2))*(sd))
limsup<-mean+(qnorm(1-(alpha/2))*(sd))
cat("alpha:", alpha,"\t\n")

## alpha: 0.05

1-alpha

## [1] 0.95

cat("IC 95%:", liminf,limsup,"\n")

## IC 95%: 40.60843 43.39157

O erro de estimação é dado por $e=\overline(x)-\mu$.

Mas, $\overline{x}=z_{\alpha/2}.\sigma_{\overline{x}}$. Logo, $e=z_{\alpha/2}\cdot \sigma_{\overline{x}}$.

$e=(z_{\alpha/2})\cdot\sigma/\sqrt{n}=(1.96)*0.71=1.39$

Para que o erro de estimação não ultrapasse 1, devemos calcular $n$ utilizando sua definição. $e=(z_{\alpha/2})\cdot \sqrt{\dfrac{\sigma^{2}}{n}}$. Explicitando o valor de $n$, temos:

$e=(z_{\alpha/2})\cdot \sqrt{\dfrac{\sigma^{2}}{n}}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{e}{z_{\alpha/2}}=\sqrt{\dfrac{\sigma^{2}}{n}}$

Elevando ambos os membros ao quadrado: $\Big(\displaystyle\frac{e}{z_{\alpha/2}}\Big)^{2}={\dfrac{\sigma^{2}}{n}}\therefore n=\Big(\displaystyle\frac{z_{\alpha/2}\cdot \sigma}{e}\Big)^{2}$.

No caso, $n=(1.96*5)^{2}=96.04$. Logo, para que o erro de estimação não ultrapasse 1, devemos ter $n\geq 96$ elementos.

Estimação de proporções ou Intervalos de confiança para proporções

Sabe-se que quando a proporção populacional $p$ é conhecida, $\hat{p}=\displaystyle\frac{x}{n}\sim N\Big(p,\displaystyle\frac{pq}{n}\Big)$.

Para construir um IC para $p$ desconhecida, determina-se $\hat{p_{0}}$ na amostra e considera-se $\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\displaystyle\frac{\hat{p_{0}}\hat{q_{0}}}{n}}$

E um IC para a proporção populacional é

$IC (1-\alpha)\%)=(\hat{p_{0}}-z_{\alpha/2}\cdot\sigma_{\hat{p_{0}}}\leq p \leq\hat{p_{0}}+z_{\alpha/2}\cdot\sigma_{\hat{p_{0}}})$

Exemplo 3: Retiramos de uma população uma amostra de 100 elementos e encontramos 20 sucessos. Ao nível de 1%, construir um intervalo de confiança para a verdadeira porporção de sucessos na população.

Resolvendo no RStudio:

x=20
ene=100
p0hat=x/ene
p0hat

## [1] 0.2

q0hat=1-p0hat
q0hat

## [1] 0.8

sigmap=sqrt((p0hat*q0hat)/ene)
sigmap

## [1] 0.04

alpha=0.01
alpha2=alpha/2
alpha2

## [1] 0.005

zalphasobre2=qnorm(0.995)
zalphasobre2

## [1] 2.575829

liminf=round(100*(p0hat-(zalphasobre2)*sigmap),2)
liminf

## [1] 9.7

limsup=round(100*(p0hat+(zalphasobre2)*sigmap),2)
limsup

## [1] 30.3

cat("alpha:", alpha,"\t\n")

## alpha: 0.01

1-alpha

## [1] 0.99

cat("IC 99%:", liminf,limsup,"\n")

## IC 99%: 9.7 30.3

POrtanto, corremos um risco de 1% de que a verdadeira porporção populacional não pertença ao intervalo

## IC 99%: 9.7 30.3

ou então nossa confiança de que $p$ pertença ao IC determinado é de 99%.

Exemplo 4: Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à mudança do currículo escolar, tomou-se uma amostra de tamnanho 100, dos quais 80 foram favoráveis.

Construir um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao nível de 4%.
Qual o valor do erro de estimação cometido no item (a)?

Resolução:

x=80
ene=100
p0hat=x/ene
p0hat

## [1] 0.8

q0hat=1-p0hat
q0hat

## [1] 0.2

sigmap=sqrt((p0hat*q0hat)/ene)
sigmap

## [1] 0.04

alpha=0.04
alpha2=alpha/2
alpha2

## [1] 0.02

zalphasobre2=qnorm(1-alpha2)
zalphasobre2

## [1] 2.053749

liminf=round(100*(p0hat-(zalphasobre2)*sigmap),2)
liminf

## [1] 71.79

limsup=round(100*(p0hat+(zalphasobre2)*sigmap),2)
limsup

## [1] 88.21

cat("alpha:", alpha,"\t\n")

## alpha: 0.04

1-alpha

## [1] 0.96

cat("IC 96%:", liminf,limsup,"\n")

## IC 96%: 71.79 88.21

$z_{\alpha/2}=\displaystyle\frac{\hat{p_{0}}\hat{q_{0}}}{\sigma_{\hat{p}}}\Rightarrow e=z_{\alpha/2}\cdot \sigma_{\hat{p}}\therefore e=(2.05)(0.04)=0.082=8.2\%$.

O erro de estimação cometido em (a) é de 8.2% para 96% de confiança e uma amostra de tamanho 100.

Intervalos de confiança para a média de populações normais com variâncias desconhecidas

Se $n\leq 30$, então usamos a distribuição t de Student.
Se $n>30$, então usamos a distribuição normal com $s^{2}$ como estimador de $\sigma^{2}$

\[\mathbb P\Big(-z_{\alpha/2}<\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}<z_{\alpha/2}\Big)=1-\alpha\] Os valores $\overline{X}-(z_{\alpha/2})\cdot s/\sqrt{n}$ e $\overline{X}+(z_{\alpha/2})\cdot s/\sqrt{n}$ são os limites $\hat{\theta}_{I}$ e $\hat{\theta}_{S}$, respectivamente do intervalo.

Assim, $IC(\mu,(1-\alpha)100\%)=(\hat{\theta}_{I},\hat{\theta}_{S})$.

Exemplo 5: De uma população normal com parâmetros desconhecidos, extraímos uma amostra de tamanho 100, obtendo-se $\overline{x}=112$ e $s=11$. Determine um IC para $\mu$ ao nível de 10%.

ene=100
xbarra=112
s=11
alpha=0.10
alpha2=alpha/2
zalphasobre2=qnorm(1-alpha2)
zalphasobre2

## [1] 1.644854

liminf=(xbarra-(zalphasobre2)*(s)/sqrt(ene))
liminf

## [1] 110.1907

limsup=(xbarra+(zalphasobre2)*(s)/sqrt(ene))
limsup

## [1] 113.8093

cat("alpha:", alpha,"\t\n")

## alpha: 0.1

1-alpha

## [1] 0.9

cat("IC 90%:", liminf,limsup,"\n")

## IC 90%: 110.1907 113.8093

No segundo caso, isto é, quando $n<30$, substituímos o quantil da normal pelo quantil da distribuição t com $\phi$ graus de liberdade.

A variável $Z=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{x}}}$ tem distribuição normal. Quando não é conhecida variância $\sigma^{2}$, devemos usar $s^{2}$ como estimador de $\sigma^{2}$. Assim, temos $s_{\overline{x}}=\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}$.

A variável definida como $t_{\phi}=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu}{s_{\overline{x}}}$ é denominada variável com distribuição t de Student com $\phi$ graus de liberdade.

Quando $n$ é grande, $s^{2}$ se aproxima bastante de $\sigma^{2}$, fazendo com que a variável $t_{\phi}$ se aproxime da normal $Z$.

Uso da tabela t de Student

A tabela fornece o valor de $t_{\alpha}$ tal que $\mathbb P(t>t_{\alpha})=\alpha$.

Exemplos

$\phi=15; \alpha=5\% \Rightarrow \mathbb P(t>t_{\alpha})=0.05$

Pela tabela obtemos $t_{\phi;\alpha}=t_{15;0.05}=1.753$.

Tabela t com gl=15 e alpha=5%

$\phi=20; \alpha=2.5\% \Rightarrow \mathbb P(t<-t_\alpha)=0.025$.

Pela tabela obtemos $t_{\phi;\alpha}=t_{20;0.025}=2.086$.

Tabela t com gl=20 e alpha=2,5%

$\mathbb P(|t|>t_{\alpha})=0.10;\phi=18$

Neste caso precisamos trabalhar com $\alpha/2=0.05$. Logo, pela tabela obtemos $t_{\phi;\alpha/2}=t_{18;0.05}=1.734$.

Tabela t com gl=18 e alpha/2=5%

Observação:

No uso da tabela t para estimar média os graus de liberdade são determinados por $\phi=n-1$.

Exemplo 6: De uma população normal com parâmetros desconhecidos, foi retirada uma amostra de 25 elementos para se determinar $\mu$, tendo-se obtido $\overline{x}=15$ e $s^{2}=36$. Determine um IC para a média ao nível de 5%.

ene=25
xbarra=15
s2=36
sxbarra=sqrt(s2/ene)
sxbarra

## [1] 1.2

phi=ene-1
alpha=0.05
alphasobre2=alpha/2
t=qt((1-alphasobre2),phi)
t

## [1] 2.063899

liminf=round(xbarra-t*sxbarra,3)
liminf

## [1] 12.523

limsup=round(xbarra+t*sxbarra,3)
limsup

## [1] 17.477

dados<-c(alpha,1-alpha,liminf,limsup)
cat("alpha,1-alpha,liminf,limsup:",paste(dados),fill=TRUE,labels=paste0("{",1:4, "}"))

## {1} alpha,1-alpha,liminf,limsup: 0.05 0.95 12.523 17.477

Exemplo 7: Seja $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$. Uma amostra dessa população forneceu os valores $\tilde{x}=10,12,14,15,9,16,11,8,13$. Construir um IC para $\mu$ ao nível de 5%.

x<-c(10,12,14,15,9,12,16,11,8,13)
sum(x)

## [1] 120

xbarra=mean(x)
xbarra

## [1] 12

x2<-x^2
x2

##  [1] 100 144 196 225  81 144 256 121  64 169

s2=(1/(length(x)-1))*(sum(x2)-(sum(x)^2)/length(x))
s2

## [1] 6.666667

sxbarra=sqrt(s2/length(x))
sxbarra

## [1] 0.8164966

alpha=0.05
alphasobre2=alpha/2
phi=length(x)-1
t=qt((1-alphasobre2),phi)
t

## [1] 2.262157

liminf=round(xbarra-t*sxbarra,3)
limsup=round(xbarra+t*sxbarra,3)
dados<-c(alpha,1-alpha,liminf,limsup)
cat("alpha,1-alpha,liminf,limsup:",paste(dados),
    fill=TRUE,labels=paste0("{",1:4, "}"))

## {1} alpha,1-alpha,liminf,limsup: 0.05 0.95 10.153 13.847

Pela tabela t obtemos

$t_{\phi;\alpha/2}=t_{9;0.025}=2.262$.$

Tabela t com gl=9 e alpha/2=2.5%

Anexo: tabela t de Student

Tabela t de Student

Intervalo de confiança II

Nilson L. C. Brito¹

2023-11-27

Intervalos de confiança para médias e proporções

Introdução

Estimação intervalar

Intervalos de confiança para a média \(\mu\) de uma população normal com variância \(\sigma^2\) conhecida

Procedimento para a construção do IC:

\(z_{\alpha}\)

E o que é \(z_{\alpha/2}\)?

Estimação de proporções ou Intervalos de confiança para proporções

Intervalos de confiança para a média de populações normais com variâncias desconhecidas

Uso da tabela t de Student

Exemplos

Anexo: tabela t de Student

Intervalo de confiança II

Nilson L. C. Brito1

2023-11-27

Intervalos de confiança para médias e proporções

Introdução

Estimação intervalar

Intervalos de confiança para a média \(\mu\) de uma população normal com variância \(\sigma^2\) conhecida

Procedimento para a construção do IC:

\(z_{\alpha}\)

E o que é \(z_{\alpha/2}\)?

Estimação de proporções ou Intervalos de confiança para proporções

Intervalos de confiança para a média de populações normais com variâncias desconhecidas

Uso da tabela t de Student

Exemplos

Anexo: tabela t de Student

Nilson L. C. Brito¹