Pruebas de Hipótesis para una sóla Muestra (Parte 2)

En el siguiente RMD se encuentran definiciones y ejemplos adaptados a su uso en R, del libro guía del curso “APPLIED STATISTICS AND PROBABILITY FOR ENGINEERS” por Douglas C. Montogomery

Pruebas sobre la media de una distribución normal, varianza desconocida.

Cuando no se conoce la varianza de la población, podemos utilizar la estadística t en lugar de la estadística z para realizar pruebas de hipótesis sobre la media poblacional. Esto se aplica especialmente cuando el tamaño de la muestra es pequeño. La fórmula para la estadística de prueba t es similar a la de z, pero utilizando la desviación estándar de la muestra (\(s\)) en lugar de la desviación estándar de la población (\(\theta\)): \[t = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\] donde
- \(\bar{x}\) es la media de la muestra
- \(\mu\) la media bajo la hipótesis nula
- \(s\) es la desviación estándar de la muestra
- \(n\) es el tamaño de la muestra

Ejemplo

Usaremos la función t.test() que realiza una prueba t para la media.

# Generamos una muestra aleatoria con una media verdadera de 100 y una desviación estándar de 15
set.seed(42)
datos_muestra <- rnorm(30, mean = 100, sd = 15)

# Realizamos una prueba t bilateral para comprobar si la media de la población es 100
# dado que por defecto viene para bilateral. Si se quiere unilateral, agrega el parametro
# alternative = "greater", o alternative = "less"
hipotesis_nula <- 100
resultado_ttest <- t.test(datos_muestra, mu = hipotesis_nula)

# Mostramos los resultados
print(resultado_ttest$p.value)

## [1] 0.7668243

Error de Tipo II y Elección del Tamaño de la Muestra

Como ya hemos visto anteriormente, el error de tipo II es la probabilidad de aceptar erróneamente la hipótesis nula cuando es falsa. Está relacionado con la potencia estadística.

Ejemplo

Podemos demostrar la relación entre el tamaño de la muestra y la potencia estadística en R. Para ello, podemos realizar una serie de simulaciones, variando el tamaño de la muestra, y trazar cómo la potencia cambia con el tamaño de la muestra, como sigue a continuación :

# Parámetros
media_verdadera <- 5 # o valor media original
media_hipotesis_nula <- 0 # o valor nulo
desviacion_estandar <- 10
alpha <- 0.05
simulaciones <- 1000
tamanos_muestra <- seq(10, 500, by = 10)

# Función para realizar una simulación
simulacion <- function(tamano_muestra) {
  resultados <- replicate(simulaciones, {
    muestra <- rnorm(tamano_muestra, mean = media_verdadera, sd = desviacion_estandar)
    resultado_ttest <- t.test(muestra, mu = media_hipotesis_nula)
    return(resultado_ttest$p.value < alpha)
  })
  potencia <- mean(resultados)
  return(potencia)
}

# Calcular la potencia para diferentes tamaños de muestra
potencias <- sapply(tamanos_muestra, simulacion)

# Graficar
plot(tamanos_muestra, potencias, type="l", xlab="Tamaño de la muestra", ylab="Potencia", main="Relación entre Tamaño de Muestra y Potencia")

Pruebas sobre la varianza y la desviación estándar de una distribución normal.

Pruebas de Hipótesis sobre la Varianza

Para probar si una varianza poblacional es igual a un valor específico, podemos utilizar la prueba chi-cuadrado. La fórmula del estadístico de prueba es: \[X^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\] donde,

n es el tamño de la muestra
\(S^2\) la varianzsa de la muestra, y \(\sigma^2_0\) la varianzaz poblacional bajo la hipótesis nula

y la hipótesis nula es : \(H_0 : \sigma^2 = \sigma^2_0\)

Ejemplo

Para probar la varianza en R, puedes usar la prueba de chi-cuadrado junto con la función chisq.test.:

muestra <- c(2.3, 3.5, 4.1, 3.9, 2.8) # Tu muestra
n <- length(muestra)
s2 <- var(muestra) # Varianza de la muestra
sigma2_0 <- 4 # Varianza bajo la hipótesis nula

X2 <- (n - 1) * s2 / sigma2_0

p_valor <- 2 * min(pchisq(X2, df = n - 1), 1 - pchisq(X2, df = n - 1))
print(p_valor)

## [1] 0.06775255

El valor de \(df = n - 1\) representa los grados de libertad, que en este caso son igual a \(n - 1\), donde \(n\) es el tamaño de la muestra.

Error de Tipo II y Elección del Tamaño de la Muestra

No es por querer ser repetitivo, pero hay que ver el caso a caso, para el caso de la prueba sobre la varianza, el tamaño de la muestra afectará tanto la potencia como la probabilidad de cometer errores de tipo I y II. Un tamaño de muestra más grande generalmente aumenta la potencia y reduce la probabilidad de errores.

Para calcular el tamaño de la muestra necesario para lograr una potencia deseada en una prueba sobre la varianza, puedes utilizar técnicas de simulación similares a las que se describieron anteriormente para la media. Deberás simular muestras con la varianza alternativa, realizar la prueba chi-cuadrado en cada una, y calcular la proporción de veces que rechazas la hipótesis nula.