Introducción a las Probabilidades (Parte I)
1. Estimación Puntual
Para esta sección se debe de tener en cuenta dos nociones, parámetro y estadístico, donde parámetro es un “resumen” de cierta población que puede ser la media, mediana, entre otros, y el estadístico es también un “resumen” pero para el caso de una muestra.
Ahora con estas nociones se puede decir que, el estadístico es un estimador puntual de un parámetro, es decir, dado que un parámetro caracteriza de una forma a toda la población, entonces un estadístico es la caracterización de la muestra en la cual es puntualmente cierto sub-grupo de la población el cual fue elegido aleatoriamente( o por lo general son elegidos al azar).
Es por esto que el valor del estimador puntual varia al cambiar la muestra que se use para obtenerlo. Este estimador se puede aproximar mucho a los valores de los parámetros de la población, pero es muy poco probable que sea idéntico. Pero se debe de considerar que gracias a la Ley de los Grandes Números (invito a que investiguen un poco al respecto), al aumentar \(\uparrow\) el tamaño de la población de la cual se están extrayendo la muestras, aumenta \(\uparrow\) la presición del estimador puntual. En el siguiente script observamos como se calculan estimadores puntuales de una población generada de manera aleatoria :
#Se establece una seed para mostrar ciertos valores especificos al tomar muestras aleatorias
set.seed(2812)
# Se genera la población de manera aleatoria con una media y desviación estandar fija
# Además se señala que sea de un tamaño relativamente considerable para mejorar la presición
# de los estimadores puntuales con respecto a los parámetros
poblacion <- rnorm(n = 10000, mean = 10, sd = 2)
mediaPoblacional <- mean(poblacion)
mediaPoblacional## [1] 9.994572# Ahora para el estimador puntual
muestra <- sample(poblacion, 1000)
m_muestra <- mean(muestra)
m_muestra## [1] 9.997957# Calcularemos la media para cada tamaño de muestra de la muestra tomada recien
# Y lo graficaremos para observar como se acerca más a la media poblacional
# a medida que aumenta el tamaño de la muestra
n <- seq(along = muestra)
media <- cumsum (muestra)/n
datos <- data.frame(n,media)
g <- ggline(data = datos,
x = "n",
y = "media",
plot_type = "l",
color = "blue",
main = "Media movil",
xlab = "Tamaño Muestra",
ylab = "Media muestral")
g <- g + geom_hline(aes(yintercept = mediaPoblacional), color = "red", linetype = 2)
print(g)
2. Distribuciones Muestrales y el Teorema del Límite Central
Si queremos determinar que tan adecuado es un estimador puntual(como para saber si es pertienente o no utilizarlo), se debe verificar cuanto puede llegar a variar entre diferentes muestras, si es muy grande esta variación entre muestra y muestra, será evidente que ese estimador puntual no es de fiar para los estudios que se quisieran realizar. Para poder determinar esta variabilidad utilizaremos la Distribución Muestral, que será la distribución de cierto estimador puntual(el que queremos estudiar su variabilidad) con una cantidad de muestras del mismo tamaño y de la misma población. A continuación un script que efectua la verificación de la media muestral :
#Se establece una seed para mostrar ciertos valores especificos al tomar muestras aleatorias
set.seed(2812)
# Se genera la población de manera aleatoria con una media y desviación estandar fija
# Además se señala que sea de un tamaño relativamente considerable para mejorar la presición
# de los estimadores puntuales con respecto a los parámetros
poblacion <- rnorm(n = 10000, mean = 10, sd = 2)
mediaPoblacional <- mean(poblacion)
#Ahora para la distribucion muestral primero , debemos tomar una n cantidad de muestras de tamaño n2
n<-10000
n2<-100
muestras <- replicate(n,sample(poblacion,n2))
# Calculamos la media muestral de cada una
medias <- colMeans(muestras)
medias <- as.data.frame(medias)
# Graficamos para ver la distribución de las medias muestrales
g <- gghistogram(data = medias,
x = "medias",
bins = 50,
title = "Distribución de las medias muestrales",
xlab = "Media",
ylab = "Frecuencia",
color = "black",
fill = "white",
alpha = 0.2)
# Agregamos linea que corresponde a media poblacional
g <- g + geom_vline(aes(xintercept = mediaPoblacional), color = "red", linetype = 2)
print(g)
Teorema del límite central.
Este teorema dice que cuando se suman o promedian muchas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, su distribución se acerca a una distribución normal. Esto aplica a que las muestras del script anterior al graficar la distribución muestral, está se acerca mucho a una distribución normal.
3. Conceptos Generales Estimación Puntual
3.1 Estimadores Insesgados
Explicados de manera poco formal pero más entendible, el sesgo es cuanto se aleja el valor real del estimador al “esperado”. Entonces cuando se tiene que el valor esperado osea \(E(\Theta)\) es igual al valor real del estimador \(\theta\) entonces se puede considerar que el estimador es no sesgado o insesgado y de esto mismo se desprende que : \[ E(\Theta) = \theta \Leftrightarrow E(\Theta) - \theta = 0 \] Ahora en el caso que es sesgado, es decir, cuando hay diferencias entre el valor esperado y el valor real del estimador se tiene que lo siguiente : \[E(\Theta) \neq \theta \Leftrightarrow E(\Theta) - \theta \neq 0\] De todas formas aquí dejo un script bastante breve de como conseguir el valor esperado para un estimador puntual
poblacion <- rnorm(n = 10000, mean = 10, sd = 2)
n<-10000
n2<-100
muestras <- replicate(n,sample(poblacion,n2))
# Calculamos la media muestral de cada una
estimadores_cada_muestra <- colMeans(muestras)
valor_esperado <- mean(estimadores_cada_muestra)
print(valor_esperado)## [1] 9.951618
3.2 Varianza de un Estimador Puntual
La varianza en este caso hace referencia a la varianza del en la cual, si tenemos 2 muestras y calculamos sus varianzas, se considerará más eficiente aquella muestra cuyo estimador tenga una varianza menor, por lo cual ese estimador (que debe ser insesgado) es más apto para estimar el parámetro de la población original. A continuación se realiza una comparación entre dos muestras para determinar cual de ellas es más consistente con la población de la cual se extrajeron las muestras.
De los resultados podemos notar que la varianza de la primera muestra es menor por lo cual, es más consistente y le podemos llamar
3.3 Error Estándar : Informar una Estimación Puntual
El error estandar, normalmente denotado por \(SE(\Theta)\), corresponde a la desviación estándar de la distribución de un estimador muestral de un parámetro. Por ejemplo el error estándar de la media, es decir la desviación estándar de la distribución de las medias de todas las posibles muestras de n observaciones independientes, se calcula como : \[SE_\theta = \frac{\sigma}{ \sqrt{n}}\] donde \(\sigma\) es la des estandar de la población y \(n\) es el tamaño de la muestra. Por lo cual se puede concluir que mientras más grande sea el tamaño de la población menor sera el error estándar. A continuación se muestra un script que calcula el error estándar de la media muestral de una población.
#Se establece una seed para mostrar ciertos valores especificos al tomar muestras aleatorias
set.seed(2812)
poblacion <- rnorm(n = 10000, mean = 10, sd = 2)
desviacion <- sd(poblacion)
error_estandar <- desviacion/sqrt(10000)
print(error_estandar)## [1] 0.0198305
3.4 Error Cuadrático Medio de un Estimador
Este sirve para calcular la calidad de un estimador puntual, incluso si este es sesgado. Este se calcula como el cuadrado la diferencias entre los valores estimados y los valores reales, y luego se promedia. \[ECM(\Theta) = E[(\Theta - \theta)^2]\] A continuación se muestra un script que calcula el ECM de la media muestral de una población.
# Generar una muestra de datos
set.seed(123) # Establecer semilla para reproducibilidad
muestra <- rnorm(n = 100, mean = 10, sd = 2)
# Estimar la varianza usando la varianza muestral
varianza_estimada <- var(muestra)
# Calcular el ECM
varianza_verdadera <- 4 # Supongamos que la varianza verdadera es 4
ecm <- mean((varianza_estimada - varianza_verdadera)^2)
# Mostrar el ECM
print(ecm)## [1] 0.4449806