CUADERNO DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL
E3-002
2023-11-12
VECTORES.
Se representa como una recta numérica, los elementos (a,b) se asocian con puntos de un plano, cada (a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y)
plot(2,2, xlim=c(0,4), ylim=c(0,4), xlab="a", ylab="b", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
arrows(0,2,2,2,col="blue",lty=4)
arrows(2,0,2,2,col="blue",lty=4)
text(2.2,2.2, "(a,b)", col = "black")
Operaciones básicas entre vectores en el plano.
Las operaciones de suma, resta y multiplicación de vectores se definen de manera diferente de las operaciones correspondientes con números reales.
Suma:
Se suman componente a componente
\[ A=(a1,a2) B=(b1,b2) \]
\[ A+B=(a1+b1, a2+b2) \]
- Ejercicio 1:
\(A=(1,4) , B=(2,5)\)
A <- c(1,4)
B <- c(2,5)
(suma1<-A+B)## [1] 3 9plot(1,4, xlim=c(0,4), ylim=c(0,10), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
arrows(0,0,1,4,col='red',lwd = 4)
points(2,5,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,2,5,col='blue',lwd = 2)
points(3,9,lwd=3,col='green')
arrows(0,0,3,9,col='green',lwd = 2)
arrows(1,4,3,9,col='red',lty=3,lwd = 2)
arrows(2,5,3,9,col='blue',lty=3,lwd = 2)
text(0.5, 4, labels = "A", pos = 2)
text(1.5, 2, labels = "B", pos = 2)
text(1.5, 4.9, labels = "A+B", pos = 2)
- Ejercicio 2:
\(C=(2,3) , D=(-1,1)\)
C <- c(2,3)
D <- c(-1,1)
(suma2<-C+D)## [1] 1 4plot(2,3, xlim=c(-2,5), ylim=c(-2,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
arrows(0,0,2,3,col='red',lwd = 4)
points(-1,1,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,-1,1,col='blue',lwd = 2)
points(1,4,lwd=3,col='green')
arrows(0,0,1,4,col='green',lwd = 2)
arrows(2,3,1,4,col='red',lty=3,lwd = 2)
arrows(-1,1,1,4,col='blue',lty=3,lwd = 2)
text(1.5, 1.5, labels = "C", pos = 2)
text(-0.5, 0.5, labels = "D", pos = 2)
text(0.5, 2, labels = "C+D", pos = 2)
- Ejercicio 3:
\(E=(4, 3) , G=(2, 5)\)
E <- c(4, 3)
G <- c(2, 5)
(suma3<-E+G)## [1] 6 8plot(4,3, xlim=c(0,8), ylim=c(0,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
arrows(0,0,4,3,col='red',lwd = 4)
points(2,5,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,2,5,col='blue',lwd = 2)
points(6,8,lwd=3,col='green')
arrows(0,0,6,8,col='green',lwd = 2)
arrows(2,5,6,8,col='red',lty=3,lwd = 2)
arrows(4,3,6,8,col='blue',lty=3,lwd = 2)
text(3.5, 1, labels = "E", pos = 2)
text(1.5,4.4, labels = "G", pos = 2)
text(3, 3, labels = "E+G", pos = 2)
- Ejercicio 4:
\(H=(-1, 4) , I=(3, 6)\)
H<- c(-1, 4)
I<- c(3, 6)
(suma4<-H+I)## [1] 2 10plot(-1,4, xlim=c(-3,7), ylim=c(-3,13), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
arrows(0,0,-1,4,col='red',lwd = 4)
points(3,6,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,3,6,col='blue',lwd = 2)
points(2,10,lwd=3,col='green')
arrows(0,0,2,10,col='green',lwd = 2)
arrows(-1,4,2,10,col='red',lty=3,lwd = 2)
arrows(3,6,2,10,col='blue',lty=3,lwd = 2)
text(-1, 4, labels = "H", pos = 2)
text(2,4, labels = "I", pos = 2)
text(2, 7, labels = "H+I", pos = 2)
- Ejercicio 5:
\(L=(3, 1) , M=(1, 3)\)
L<- c(3,1)
M<- c(1,3)
(suma5<- L+M)## [1] 4 4plot(3,1, xlim=c(0,5), ylim=c(0,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
arrows(0,0,3,1,col='red',lwd = 2)
points(1,3,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,1,3,col='blue',lwd = 2)
points(4,4,lwd=3,col='green')
arrows(0,0,4,4,col='green',lwd = 2)
arrows(1,3,4,4,col='red',lty=3,lwd = 2)
arrows(3,1,4,4,col='blue',lty=3,lwd = 2)
text(2, 1, labels = "L", pos = 2)
text(0.5,3, labels = "M", pos = 2)
text(2, 2, labels = "L+M", pos = 2)
Resta:
Se resta componente a componente
\[ A=(a1,a2) B=(b1,b2) \]
\[ A-B=(a1-b1, a2-b2) \]
- Ejercicio 1:
\(C=(-2,5) , D=(3,-1)\)
C <- c(-2,5)
D <- c(3,-1)
(resta1<-C-D)## [1] -5 6plot(-2,5, xlim=c(-2,4), ylim=c(-2,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3,col='red',
bty='n')
arrows(0,0,-2,5,col='red',lwd = 4)
points(3,-1,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,3,-1,col='blue',lwd = 2)
arrows(3,-1,-2,5,col='green',lwd = 2)
text(-1, 2, labels = "C", pos = 2)
text(1,-1.5, labels = "D", pos = 2)
text(1.5, 3, labels = "C-D", pos = 2)
- Ejercicio 2:
\(A=(-3,4) , B=(5,-2)\)
A <- c(-3,4)
B <- c(5,-2)
(resta2<-A-B)## [1] -8 6plot(-3,4, xlim=c(-4,6), ylim=c(-3,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3,col='red',
bty='n')
arrows(0,0,-3,4,col='red',lwd = 4)
points(5,-2,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,5,-2,col='blue',lwd = 2)
arrows(5,-2,-3,4,col='green',lwd = 2)
text(-1,0, labels = "A", pos = 2)
text(3,-2, labels = "B", pos = 2)
text(1.5, 3, labels = "A-B", pos = 2)
- Ejercicio 3:
\(E=(5,2,4) , G=(-3,5,9)\)
E <- c(5,2,4)
G <- c(-3,5,9)
(resta3<-E-G)## [1] 8 -3 -5- Ejercicio 4:
\(V = (1, 3, 4) , W = (3, 1, 4)\)
V <- c(1, 3, 4)
W <- c(3, 1, 4)
(resta4<-V-W)## [1] -2 2 0- Ejercicio 5:
\(H = (2,4) , I = (6,-3)\)
H <- c(6,4)
I <- c(2,3)
(resta5<-H-I)## [1] 4 1plot(6,4, xlim=c(0,8), ylim=c(0,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3,col='red',
bty='n')
arrows(0,0,6,4,col='red',lwd = 4)
points(2,3,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,2,3,col='blue',lwd = 2)
arrows(6,4,2,3,col='green',lwd = 2)
text(5, 2, labels = "C", pos = 2)
text(1,2, labels = "D", pos = 2)
text(4, 4, labels = "C-D", pos = 2)
Producto Escalar:
Se multiplica componente a componente y despues el resultado
de ambos se suman
\[A=(a1,a2), B=(b1,b2)\] \[A*B=(a1*b1)+(a2*b2)\]
Ejemplo 1:
\[A=(1,3,-2) ; B=(-1,4,-3)\] \[A*B=(1*-1)+(3*4)+(-2*-3)\]
a<- c(1,3,-2)
b<- c(-1,4,-3)
(respuesta1<- a*b)## [1] -1 12 6(respuesta<- sum(respuesta1))## [1] 17Propiedades
1) Tenemos que AB= BA 2)Si A,B y C
son tres vectores, entonces
\[A*(B+C)=A*B+A*C=(B+C)*A\] 3)
Si x es un número, entonces \[(xA)*B= x(A*B)\] \[A*(xB)=x(A*B)\] **4) Si A=0 es el vector
nulo, entonces A*A=0 Y, si no lo es, entonces: \[A*A>0\] Si A es perpendicular
a B, entonces** \[A*B=0\]
A practicar - Grupal # 1
1. Representar gráficamente los siguientes vectores :
\[a=(-2,1); b=(4,7);c=(1,0), d=(-3,-4); e=(5,-2)\]
plot(-2,1, xlim=c(-4,10), ylim=c(-5,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',bty='n')
arrows(0,0,-2.1,4,col='red',lwd = 4)
text(-2.2,2.2, "a", col = "red")
points(4,7,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,4,7,col='blue',lwd = 4)
text(3.8,7.9, "b", col = "blue")
points(1,0,lwd=3,col='black')
arrows(0,0,1,0,col='black',lwd = 4)
text(1.5,2.2, "c", col = "black")
points(-3,-4,lwd=3,col='purple')
arrows(0,0,-3,-4,col='purple',lwd = 4)
text(-3.5,-4, "d", col = "purple")
points(5,-2,lwd=3,col='green')
arrows(0,0,5,-2,col='green',lwd = 4)
text(5.9,-1.2, "e", col = "green")
2. Para los vectores del ejercicio anterior hallar el vector resultante de cada una de las siguientes operaciones: \[1. 2a+5b \]
a<- c(-2,1)
b<- c(4,7)
(respuesta1<- 2*a+5*b)## [1] 16 37\[2.4c-7b+3d\]
c<- c(1,0)
b<- c(4,7)
d<- c(-3,-4)
(respuesta2<- 4*c-7*b+3*d)## [1] -33 -61\[ 3.3c-5d\]
c<- c(1,0)
d<- c(-3,-4)
(respuesta3<- 3*c-5*d)## [1] 18 20\[ 4.-2a+b-6d \]
a<- c(-2,1)
b<- c(4,7)
d<- c(-3,-4)
(respuesta4<- -2*a+b-6*d)## [1] 26 29\[ 5. 3(a*b)\]
a<- c(-2,1)
b<- c(4,7)
(respuesta5<- 3*(a*b))## [1] -24 21\[ 6. b*(-b*c) \] En RStudio no se distingue cuando la multiplicación es por un número o por un vector, por lo que se va hacer por partes el procedimiento corregir el ejercicio 6 y 7
b<- c(4,7)
c<- c(1,0)
(respuesta6<-b*(-b*c) )## [1] -16 0\[ 7.(c*b)*d \]
b<- c(4,7)
c<- c(1,0)
d<- c(-3,-4)
(respuesta7<- (c*b))## [1] 4 0(respuesta7<- respuesta7*d)## [1] -12 03. Hallar los COMPONENTES de los vectores cuyos origenes y extremos son:
\[ 1) P.Origen:(-2,8); P.Extremo: (0,5)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(-2,8)
p<- c(0,5)
(respuesta<- (p-o))## [1] 2 -3plot(-2,8, xlim=c(-2,5), ylim=c(-5,10), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
points(0,5,lwd=3,col='blue')
arrows(-2,8,0,5,col='green',lwd = 2)
points(2,-3,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,2,-3,col='tomato',lwd = 2)
text(-2,8, labels = "A", pos = 2)
text(0,5, labels = "B", pos = 2)
text(0,0, labels = "o", pos = 2)
text(2.5,-3, labels = "a", pos = 2)
\[ 2) P.Origen:(-6,2); P.Extremo: (-1,3)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(-6,2)
p<- c(-1,3)
(respuesta<- (p-o))## [1] 5 1plot(-6,2, xlim=c(-6,6), ylim=c(-5,10), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
points(-1,3,lwd=3,col='blue')
arrows(-6,2,-1,3,col='green',lwd = 2)
points(5,1,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,5,1,col='tomato',lwd = 2)
text(-6,2, labels = "A", pos = 2)
text(-1,3, labels = "B", pos = 2)
text(0,0, labels = "o", pos = 2)
text(6,1, labels = "a", pos = 2)
\[ 3) P.Origen:(6,-5); P.Extremo: (3,7)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(6,-5)
p<- c(3,7)
(respuesta<- (p-o))## [1] -3 12plot(6,-5, xlim=c(-6,6), ylim=c(-5,14), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
points(3,7,lwd=3,col='blue')
arrows(6,-5,3,7,col='green',lwd = 2)
points(-3,12,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,-3,12,col='tomato',lwd = 2)
text(6,-5, labels = "A", pos = 2)
text(3,7, labels = "B", pos = 2)
text(0,0, labels = "o", pos = 2)
text(-3,12, labels = "a", pos = 2)
\[ 4) P.Origen:(3,-8); P.Extremo: (-4,-4)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(3,-8)
p<- c(-4,-4)
(respuesta<- (p-o))## [1] -7 4plot(3,-8, xlim=c(-9,4), ylim=c(-10,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
points(-4,-4,lwd=3,col='blue')
arrows(3,-8,-4,-4,col='green',lwd = 2)
points(-7,4,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,-7,4,col='tomato',lwd = 2)
text(3,-8, labels = "A", pos = 2)
text(-4,-4, labels = "B", pos = 2)
text(0,-1.9, labels = "o", pos = 2)
text(-7,4, labels = "a", pos = 2)
\[ 5) P.Origen:(8,-3); P.Extremo: (8,4)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(8,-3)
p<- c(8,4)
(respuesta<- (p-o))## [1] 0 7plot(8,-3, xlim=c(-1,10), ylim=c(-4,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red', bty='n')
points(8,4,lwd=3,col='blue')
arrows(8,-3,8,4,col='green',lwd = 2)
points(0,7,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,0,7,col='tomato',lwd = 2)
text(8,-3, labels = "A", pos = 2)
text(8,4, labels = "B", pos = 2)
text(0,0, labels = "o", pos = 2)
text(0,7, labels = "a", pos = 2)
\[ 6) P.Origen:(-4,-1); P.Extremo: (-9,1)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(-4,-1)
p<- c(-9,1)
(respuesta<- (p-o))## [1] -5 2plot(-4,-1, xlim=c(-10,0), ylim=c(-4,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red', bty='n')
points(-9,1,lwd=3,col='blue')
arrows(-4,-1,-9,1,col='green',lwd = 2)
points(-5,2,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,-5,2,col='tomato',lwd = 2)
text(-4,-1, labels = "A", pos = 2)
text(-9,1, labels = "B", pos = 2)
text(0,-0.5, labels = "o", pos = 2)
text(-5,2, labels = "a", pos = 2)
4.Identifique los vectores equipolentes del siguiente grupo de vectores:
Nota:Los vectores equipolentes son aquellos que tienen el mismo módulo, la misma dirección e igual sentido
\[ 1) A(-1,3) , B(7,2)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(-1,3)
p<- c(7,2)
o2<-c(0,0)
#AB=
(respuesta<- (p-o))## [1] 8 -1#Oa=
(respuesta2<-respuesta-o2 )## [1] 8 -1plot(-1,3, xlim=c(-2,9), ylim=c(-4,6), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red', bty='n')
points(7,2,lwd=3,col='blue')
arrows(-1,3,7,2,col='green',lwd = 2)
points(8,-1,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,8,-1,col='tomato',lwd = 2)
text(-1,3, labels = "A", pos = 2)
text(7,2, labels = "B", pos = 2)
text(0,-0.5, labels = "o", pos = 2)
text(8,-1, labels = "a", pos = 2)
Sí son equipolentes
\[ 2) A(-2,-9) , B(1,-8)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(-2,-9)
p<- c(1,-8)
o2<-c(0,0)
#AB=
(respuesta<- (p-o))## [1] 3 1#Oa=
(respuesta2<-respuesta-o2 )## [1] 3 1plot(-2,-9, xlim=c(-4,9), ylim=c(-10,4), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red', bty='n')
points(1,-8,lwd=3,col='blue')
arrows(-2,-9,1,-8,col='green',lwd = 2)
points(3,1,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,3,1,col='tomato',lwd = 2)
text(-2,-9, labels = "A", pos = 2)
text(1,-8, labels = "B", pos = 2)
text(0,-0.5, labels = "o", pos = 2)
text(3.5,1.5, labels = "a", pos = 2)
Sí son equipolentes
\[ 3) A(0,-7) , B(8,-8)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(0,-7)
p<- c(8,-8)
o2<-c(0,0)
#AB=
(respuesta<- (p-o))## [1] 8 -1#Oa=
(respuesta2<-respuesta-o2 )## [1] 8 -1plot(0,-7, xlim=c(0,9), ylim=c(-10,2), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red', bty='n')
points(8,-8,lwd=3,col='blue')
arrows(0,-7,8,-8,col='green',lwd = 2)
points(8,-1,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,8,-1,col='tomato',lwd = 2)
text(0,-7, labels = "A", pos = 2)
text(8,-8, labels = "B", pos = 2)
text(0,0, labels = "o", pos = 2)
text(8,-1, labels = "a", pos = 2)
Sí son equipolentes
\[ 4) A(5,-5) , B(-3,-2)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(5,-5)
p<- c(-3,-2)
o2<-c(0,0)
#AB=
(respuesta<- (p-o))## [1] -8 3#Oa=
(respuesta2<-respuesta-o2 )## [1] -8 3plot(5,-5, xlim=c(-8,6), ylim=c(-6,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red', bty='n')
points(-3,-2,lwd=3,col='blue')
arrows(5,-5,-3,-2,col='green',lwd = 2)
points(-8,3,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,-8,3,col='tomato',lwd = 2)
text(5,-5, labels = "A", pos = 2)
text(-3,-2, labels = "B", pos = 2)
text(0,0, labels = "o", pos = 2)
text(-8,3, labels = "a", pos = 2)
Sí son equipolentes
\[ 5) A(-8,9) , B(0,8)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]
o<- c(-8,9)
p<- c(0,8)
o2<-c(0,0)
#AB=
(respuesta<- (p-o))## [1] 8 -1#Oa=
(respuesta2<-respuesta-o2 )## [1] 8 -1plot(-8,9, xlim=c(-8,13), ylim=c(-3,10), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red', bty='n')
points(0,8,lwd=3,col='blue')
arrows(-8,9,0,8,col='green',lwd = 2)
points(8,-1,lwd=3,col='pink')
arrows(0,0,8,-1,col='tomato',lwd = 2)
text(-8,9, labels = "A", pos = 2)
text(0,8, labels = "B", pos = 2)
text(0,0, labels = "o", pos = 2)
text(8,-1, labels = "a", pos = 2)
Sí son equipolentes
5. Dado los vectores:
\[ a=(3,-1), b=(-5,8), c=(4,0)\] efectuar las operaciones indicadas \[ c(a+b)\]
a<-c(3,-1)
b<-c(-5,8)
c<-c(4,0)
(Respuesta<-c*(a+b))## [1] -8 0Al ser un vector escalar la respuesta sería solo -8
\[ c*a+c*b\]
a<-c(3,-1)
b<-c(-5,8)
c<-c(4,0)
(Respuesta<-c*a+c*b)## [1] -8 0Al ser un vector escalar la respuesta sería solo -8
\[ (c*a)*b\]
a<-c(3,-1)
b<-c(-5,8)
c<-c(4,0)
(respuesta<-(c*a)*b)## [1] -60 05. Encuentre A+B, A-B, 3A, -2B, en cada una de los siguientes
casos. Marque los puntos que aparecen en los ejercicios 1 y
2
\[ A=(2,-1), B=(-1,1)\] \[A+B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(a+b))## [1] 1 0\[A-B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(a-b))## [1] 3 -2\[3A\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(3*a))## [1] 6 -3\[-2B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(-2*b))## [1] 2 -2\[ A=(2,-1,5), B=(-1,1,1)\] \[A+B\]
a<-c(2,-1,5)
b<-c(-1,1,1)
(respuesta<-(a+b))## [1] 1 0 6\[A-B\]
a<-c(2,-1,5)
b<-c(-1,1,1)
(respuesta<-(a-b))## [1] 3 -2 4\[3A\]
a<-c(2,-1,5)
b<-c(-1,1,1)
(respuesta<-(3*a))## [1] 6 -3 15\[-2B\]
a<-c(2,-1,5)
b<-c(-1,1,1)
(respuesta<-(-2*b))## [1] 2 -2 -2\[ A=(-1,3), B=(0,4)\]
\[A+B\]
a<-c(-1,3)
b<-c(0,4)
(respuesta<-(a+b))## [1] -1 7\[A-B\]
a<-c(-1,3)
b<-c(0,4)
(respuesta<-(a-b))## [1] -1 -1\[3A\]
a<-c(-1,3)
b<-c(0,4)
(respuesta<-(3*a))## [1] -3 9\[-2B\]
a<-c(-1,3)
b<-c(0,4)
(respuesta<-(-2*b))## [1] 0 -8\[ A=(-1,-2,3), B=(-1,3,-4)\] \[ A+B\]
a<-c(-1,-2,3)
b<-c(-1,3,-4)
(respuesta<-(a+b))## [1] -2 1 -1\[ A-B\]
a<-c(-1,-2,3)
b<-c(-1,3,-4)
(respuesta<-(a-b))## [1] 0 -5 7\[ 3A\]
a<-c(-1,-2,3)
b<-c(-1,3,-4)
(respuesta<-(3*a))## [1] -3 -6 9\[ -2B\]
a<-c(-1,-2,3)
b<-c(-1,3,-4)
(respuesta<-(-2*b))## [1] 2 -6 86.Sea A=(1,2) y B=(3,1), graficar A+B, A+2B,
A+3B,A-B,A-2B,A-3B
\[A=(1,2) , B=(3,1)\] \[ A+B\]
a<-c(1,2)
b<-c(3,1)
(respuesta<-(a+b))## [1] 4 3\[A+2B\]
a<-c(1,2)
b<-c(3,1)
(respuesta<-(a+2*b))## [1] 7 4\[A+3B\]
a<-c(1,2)
b<-c(3,1)
(respuesta<-(a+3*b))## [1] 10 5\[ A-B\]
a<-c(1,2)
b<-c(3,1)
(respuesta<-(a-b))## [1] -2 1\[A-2B\]
a<-c(1,2)
b<-c(3,1)
(respuesta<-(a-2*b))## [1] -5 0\[A-3B\]
a<-c(1,2)
b<-c(3,1)
(respuesta<-(a-3*b))## [1] -8 -1plot(-8,-1, xlim=c(-10,10), ylim=c(-2,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(-8,-1, labels = "A-3B", pos = 2)
points(4,3,lwd=3,col='pink')
text(4,3, labels = "A+B", pos = 2)
points(7,4,lwd=3,col='black')
text(7,4, labels = "A+2B", pos = 2)
points(10,5,lwd=3,col='tomato')
text(10,5, labels = "A+3B", pos = 2)
points(-2,1,lwd=3,col='yellow')
text(-2,1, labels = "A-B", pos = 2)
points(-5,0,lwd=3,col='purple')
text(-5,0, labels = "A-2B", pos = 2)
points(-8,-1,lwd=3,col='skyblue')
arrows(-8,-1,10,5,col='tomato',lwd = 2)
7. Sea A=(2,-1) y B=(-1,1) graficar los puntos A+2B, A+3B,A-B,A-2B,A-3B,A+1/2B \[A=(2,-1) ; B=(-1,1)\] \[A+2B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(a+2*b))## [1] 0 1\[A+3B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(a+3*b))## [1] -1 2\[A-B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(a-b))## [1] 3 -2\[A-2B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(a-2*b))## [1] 4 -3\[A-3B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(a-3*b))## [1] 5 -4\[A+1/2*B\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-(a+((1/2)*b)))## [1] 1.5 -0.5plot(0,1, xlim=c(-10,10), ylim=c(-2,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(0,1, labels = "A+2B", pos = 2)
points(3,-2,lwd=3,col='pink')
text(3,-2, labels = "A-B", pos = 2)
points(4,-3,lwd=3,col='black')
text(4,-3, labels = "A-2B", pos = 2)
points(5,4,lwd=3,col='tomato')
text(5,4, labels = "A-3B", pos = 2)
points(1.5,-0.5,lwd=3,col='yellow')
text(1.5,-0.5, labels = "A-B", pos = 2)
A practicar - Grupal # 2
1.En cada uno de los siguientes casos determine cuales vectores anclados PQ y AB son equivalentes
Nota:Los vectores anclados son equivalente si, B-A=D-C, Geometricamente las longitudes y “direcciones” en que apuntan son las mismas. \[Formula:\] \[PQ=(Q1,Q2)-(P1,P2)\] \[AB=(B1,B2)-(A1,A2)\] \[1)P=(1,-1),Q=(4,3), A=(-1,5),B=(5,2)\] \[PQ=(4,3)-(1,-1)\]
p<-c(1,-1)
q<-c(4,3)
(respuesta<-q-p)## [1] 3 4\[AB=(5,2)-(-1,5)\]
a<-c(-1,5)
b<-c(5,2)
(respuesta<-b-a)## [1] 6 -3No son equivalentes \[2)P=(1,4),Q=(-3,5), A=(5,7),B=(1,8)\] \[PQ=(-3,5)-(1,4)\]
p<-c(1,4)
q<-c(-3,5)
(respuesta<-q-p)## [1] -4 1\[AB=(1,8)-(5,7)\]
a<-c(5,7)
b<-c(1,8)
(respuesta<-b-a)## [1] -4 1Sí son equivalentes \[3)P=(1,-1,5),Q=(-2,3,-4), A=(3,1,1),B=(0,5,10)\] \[PQ=(-2,3,-4)-(1,-1,5)\]
p<-c(1,-1,5)
q<-c(-2,3,-4)
(respuesta<-q-p)## [1] -3 4 -9\[AB=(0,5,10)-(3,1,1)\]
a<-c(3,1,1)
b<-c(0,5,10)
(respuesta<-b-a)## [1] -3 4 9No son equivalentes
\[4)P=(2,3,-4),Q=(-1,3,5),
A=(-2,3,-1),B=(-5,3,8)\] \[PQ=(-1,3,5)-(2,3,-4)\]
p<-c(2,3,-4)
q<-c(-1,3,5)
(respuesta<-q-p)## [1] -3 0 9\[AB=(-5,3,8)-(-2,3,-1)\]
a<-c(-2,3,-1)
b<-c(-5,3,8)
(respuesta<-b-a)## [1] -3 0 9Sí son equivalentes
2.En cada uno de los siguientes casos determine cuales
vectores anclados PQ y AB son paralelos
Nota:Los vectores anclados
son paralelos cuando uno es el múltiplo escalar de otro. .
\[1)P=(-1,-1),Q=(4,3), A=(-1,5),B=(7,1)\] \[PQ=(4,3)-(-1,-1)\]
p<-c(-1,-1)
q<-c(4,3)
(respuesta<-q-p)## [1] 5 4\[AB=(7,1)-(-1,5)\]
a<-c(-1,5)
b<-c(7,1)
(respuesta<-b-a)## [1] 8 -4No son paralelos
\[2)P=(1,4),Q=(-3,5),
A=(5,7),B=(5,6)\] \[PQ=(-3,5)-(1,4)\]
p<-c(1,4)
q<-c(-3,5)
(respuesta<-q-p)## [1] -4 1\[AB=(5,6)-(5,7)\]
a<-c(5,7)
b<-c(5,6)
(respuesta<-b-a)## [1] 0 -1No son paralelos
\[3)P=(1,-1,5),Q=(-2,3,-4),
A=(3,1,1),B=(-3,9,-17)\] \[PQ=(-2,3,-4)-(1,-1,5)\]
p<-c(1,-1,5)
q<-c(-2,3,-4)
(respuesta<-q-p)## [1] -3 4 -9\[AB=(-3,9,-17)-(3,1,1)\]
a<-c(3,1,1)
b<-c(-3,9,-17)
(respuesta<-b-a)## [1] -6 8 -18Sí son paralelos, debido que tiene la misma direccion y tiene 3(B-A)
\[4)P=(2,3,-4),Q=(-1,3,5), A=(-2,3,-1),B=(-11,3,-28)\] \[PQ=(-1,3,5)-(2,3,-4)\]
p<-c(2,3,-4)
q<-c(-1,3,5)
(respuesta<-q-p)## [1] -3 0 9\[AB=(-11,3,-28)-(-2,3,-1)\]
a<-c(-2,3,-1)
b<-c(-11,3,-28)
(respuesta<-b-a)## [1] -9 0 -27No son paralelos
3.Para cada una de las n-tuplas siguientes encuentre
A.A
\[1) A=(2,-1), B=(-1,1)\]
a<-c(2,-1)
(respuesta<-a*a)## [1] 4 1(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 5\[ 2)A=(2,-1,5), B=(-1,1,1)\]
a<-c(2,-1,5)
(respuesta<-a*a)## [1] 4 1 25(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 30\[ 3)A=(-1,3), B=(0,4)\]
a<-c(-1,3)
(respuesta<-a*a)## [1] 1 9(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 10\[ 4)A=(-1,-2,3), B=(-1,3,-4)\]
a<-c(-1,-2,3)
(respuesta<-a*a)## [1] 1 4 9(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 14**4.Encuentre A*B para las n-tuplas del anterior ejercicio**
\[1) A=(2,-1), B=(-1,1)\]
a<-c(2,-1)
b<-c(-1,1)
(respuesta<-a*b)## [1] -2 -1(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] -3\[ 2)A=(2,-1,5), B=(-1,1,1)\]
a<-c(2,-1,5)
b<-c(-1,1,1)
(respuesta<-a*b)## [1] -2 -1 5(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 2\[ 3)A=(-1,3), B=(0,4)\]
a<-c(-1,3)
b<-c(0,4)
(respuesta<-a*b)## [1] 0 12(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 12\[ 4)A=(-1,-2,3), B=(-1,3,-4)\]
a<-c(-1,-2,3)
b<-c(-1,3,-4)
(respuesta<-a*b)## [1] 1 -6 -12(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] -175.¿Cuáles de las siguientes parejas de vectores son
perpendiculares entre sí?
\[1. (1,-1,1); (2,1,5)\]
a<-c(1,-1,1)
b<-c(2,1,5)
(respuesta<-a*b)## [1] 2 -1 5(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 6No son perpendiculares \[2. (1,-1,1); (2,3,1)\]
a<-c(1,-1,1)
b<-c(2,3,1)
(respuesta<-a*b)## [1] 2 -3 1(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 0Sí son perpendiculares
\[3. (-5,2,7); (3,-1,2)\]
a<-c(-5,2,7)
b<-c(3,-1,2)
(respuesta<-a*b)## [1] -15 -2 14(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] -3No son perpendiculares \[4.(pi,2,1);(2,-pi,0)\]
a<-c(pi,2,1)
b<-c(2,-pi,0)
(respuesta<-a*b)## [1] 6.283185 -6.283185 0.000000(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 0Sì es perpendicular
6.Determine las cantidades usando los vectores \[u=(-1,2); v=(4,6),
w=(3,-1,-5);x=(6,-2,3)\] \[1.
\frac{1}{w*w}w\]
u<-c(-1,2)
v<-c(4,6)
w<-c(3,-1,-5)
x<-c(6,-2,3)
(respuesta<-(1/(w*w))*w)## [1] 0.3333333 -1.0000000 -0.2000000(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] -0.8666667\[2. \frac{1}{u*u}u\]
u<-c(-1,2)
v<-c(4,6)
w<-c(3,-1,-5)
x<-c(6,-2,3)
(respuesta<-(1/(u*u))*u)## [1] -1.0 0.5(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] -0.5\[3. \frac{u*v}{v*v}v\]
u<-c(-1,2)
v<-c(4,6)
w<-c(3,-1,-5)
x<-c(6,-2,3)
(respuesta<-(u*v/(v*v))*v)## [1] -1 2(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 1\[4. \frac{x*w}{x*x}x\]
u<-c(-1,2)
v<-c(4,6)
w<-c(3,-1,-5)
x<-c(6,-2,3)
(respuesta<-(u*v/(v*v))*v)## [1] -1 2(respuesta2<-sum(respuesta))## [1] 17.Encuentre el vector unitario en la dirección del vector dado
\[Formula: \frac{v}{||\vec{v}||}\]
\[1. [-30,40]\] \[||v||=\sqrt{(-30)^2+(40)^2} \]
v<-c(-30,40)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 50(vector_unitario<-v/norma)## [1] -0.6 0.8\[2. [-6,4,-3]\] \[||v||=\sqrt{(-6)^2+(4)^2+(-3)^2} \]
v<-c(-6,4,-3)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 7.81025(vector_unitario<-v/norma)## [1] -0.7682213 0.5121475 -0.3841106\[3. \frac{7}{4},\frac{1}{2}, 1\]
\[||v||=\sqrt{(\frac{7}{4})^2,(\frac{1}{2})^2, 1^2} \]
v<-c((7/4),(1/2),1)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 2.076656(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.8427010 0.2407717 0.4815434\[4. \frac{8}{3},2\]
\[||v||=\sqrt{(\frac{8}{3})^2,2^2} \]
v<-c((8/3),2)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 3.333333(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.8 0.68.Encuentre la distancia
\[Distancia: \sqrt{(B1-A1)^2+(B2-A2)^2}
\]
1.Encuentre la distancia entre: \[x=(10,-3); y=(-1,-5)\]
x<-c(10,-3)
y<-c(-1,-5)
xy<-y-x
(distancia<-sqrt(sum(xy^2)))## [1] 11.180341.Encuentre la distancia entre: \[u=(0,-5,2): z=(-4,-1,8)\]
x<-c(0,-5,2)
y<-c(-4,-1,8)
xy<-y-x
(distancia<-sqrt(sum(xy^2)))## [1] 8.2462119.Determine cuáles pares de vectores en los ejercicios son ortogonales: \[Formula: A*B=0\] \[1. a=(8,-5), b=(-2,-3)\]
a<-c(8,-5)
b<-c(-2,-3)
(ab<-sum(a*b))## [1] -1No son ortogonales \[2. a=(12,3,-5); b=(2,-3,3)\]
a<-c(12,3,-5)
b<-c(2,-3,3)
(ab<-sum(a*b))## [1] 0Son ortogonales \[3. a=(3,2,-5,0); b=(-4,1,-2,6)\]
a<-c(3,2,-5,0)
b<-c(-4,1,-2,6)
(ab<-sum(a*b))## [1] 0Son ortogonales
A practicar - Grupal # 3
1.Sea P el vector dibujado del origen al primer punto y Q el
vector dibujado del origen al segundo punto. Encuentre, en forma de
componentes, P,Q,PQ, P+Q y P-Q. Encuentre la longitud o magnitud de P en
cada caso, dibuje los vectores
\[1.P(3,2); Q(5,-4)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(5-3),(-4-2)\]
p<-c(3,2)
q<-c(5,-4)
(ab<-q-p)## [1] 2 -6\[A-B=(3,2)-(5,-4)\]
p<-c(3,2)
q<-c(5,-4)
(ab<-p-q)## [1] -2 6\[A+B=(3,2)+(5,-4)\]
p<-c(3,2)
q<-c(5,-4)
(ab<-p+q)## [1] 8 -2\[Magnitud_p:\sqrt{3^2+2^2}\]
p<-c(3,2)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 3.605551p<-c(3,2)
q<-c(5,-4)
plot(3,2, xlim=c(0,6), ylim=c(-5,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(2,3, labels = "P", pos = 2)
arrows(0,0,3,2,col='red',lwd = 2)
points(5,-4,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,5,-4,col='blue',lwd = 2)
text(5.5,-3, labels = "Q", pos = 2)
arrows(0,0,5,-4,col='blue',lwd = 2)
arrows(3,2,5,-4,col='purple',lwd = 2)
text(4,1, labels = "P+Q", pos = 2)
\[2.P(4,0); Q(0,5)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(0-4),(5-0)\]
p<-c(4,0)
q<-c(0,5)
(ab<-q-p)## [1] -4 5\[A-B=(4,0)-(0,5)\]
p<-c(4,0)
q<-c(0,5)
(ab<-p-q)## [1] 4 -5\[A+B=(4,0)+(0,5)\]
p<-c(4,0)
q<-c(0,5)
(ab<-p+q)## [1] 4 5\[Magnitud_p:\sqrt{4^2+0^2}\]
p<-c(4,0)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 4p<-c(4,0)
q<-c(0,5)
plot(4,0, xlim=c(0,6), ylim=c(0,10), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(4,2, labels = "P", pos = 2)
arrows(0,0,4,0,col='red',lwd = 2)
points(0,5,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,0,5,col='blue',lwd = 2)
text(0,5, labels = "Q", pos = 2)
arrows(0,0,0,5,col='blue',lwd = 2)
arrows(4,0,0,5,col='purple',lwd = 2)
text(2,4, labels = "P+Q", pos = 2)
\[3.P(-4,5); Q(-2,-3)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(-2-(-4)),(-3-5)\]
p<-c(-4,5)
q<-c(-2,-3)
(ab<-q-p)## [1] 2 -8\[A-B=(-4,5)-(-2,-3)\]
p<-c(-4,5)
q<-c(-2,-3)
(ab<-q-p)## [1] 2 -8\[A+B=(-4,5)+(-2,-3)\]
p<-c(-4,5)
q<-c(-2,-3)
(ab<-p+q)## [1] -6 2\[Magnitud_p:\sqrt{(-4)^2+5^2}\]
p<-c(-4,5)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 6.403124p<-c(-4,5)
q<-c(-2,-3)
plot(-4,5, xlim=c(-5,0), ylim=c(-5,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(-4,5, labels = "P", pos = 2)
arrows(0,0,-4,5,col='red',lwd = 2)
points(-2,-3,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,-2,-3,col='blue',lwd = 2)
text(-2,-3, labels = "Q", pos = 2)
arrows(0,0,-2,-3,col='blue',lwd = 2)
arrows(-4,5,-2,-3,col='purple',lwd = 2)
text(-3,1, labels = "P+Q", pos = 2)
\[4.P(5,6); Q(-3,-3)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(-3-5),(-3-6)\]
p<-c(5,6)
q<-c(-3,-3)
(ab<-q-p)## [1] -8 -9\[A-B=(5,6)-(-3,-3)\]
p<-c(5,6)
q<-c(-3,-3)
(ab<-p-q)## [1] 8 9\[A+B=(5,6)+(-3,-3)\]
p<-c(5,6)
q<-c(-3,-3)
(ab<-p+q)## [1] 2 3\[Magnitud_p:\sqrt{(5)^2+6^2}\]
p<-c(5,6)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 7.81025p<-c(5,6)
q<-c(-3,-3)
plot(5,6, xlim=c(-4,6), ylim=c(-5,6), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(5,6, labels = "P", pos = 2)
arrows(0,0,5,6,col='red',lwd = 2)
points(-3,-3,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,-3,-3,col='blue',lwd = 2)
text(-3,-3, labels = "Q", pos = 2)
arrows(0,0,-3,-3,col='blue',lwd = 2)
arrows(5,6,-3,-3,col='purple',lwd = 2)
text(-3,1, labels = "P+Q", pos = 2)
\[5.P(0,3); Q(-4,-2)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(-4-0),(-2-3)\]
p<-c(0,3)
q<-c(-4,-2)
(ab<-q-p)## [1] -4 -5\[A-B=(0,3)-(-4,-2)\]
p<-c(0,3)
q<-c(-4,-2)
(ab<-p-q)## [1] 4 5\[A+B=(0,3)+(-4,-2)\]
p<-c(0,3)
q<-c(-4,-2)
(ab<-p+q)## [1] -4 1\[Magnitud_p:\sqrt{0^2+3^2}\]
p<-c(0,3)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 3p<-c(0,3)
q<-c(-4,-2)
plot(0,3, xlim=c(-4,0), ylim=c(-5,4), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(0,3, labels = "P", pos = 2)
arrows(0,0,0,3,col='red',lwd = 2)
points(-4,-2,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,-4,-2,col='blue',lwd = 2)
text(-4,-2, labels = "Q", pos = 2)
arrows(0,0,-4,-2,col='blue',lwd = 2)
arrows(0,3,-4,-2,col='purple',lwd = 2)
text(-3,1, labels = "P+Q", pos = 2)
\[6.P(-1,7); Q(2,-3)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(2-(-1)),(-3-7)\]
p<-c(-1,7)
q<-c(2,-3)
(ab<-q-p)## [1] 3 -10\[A-B=(-1,7)-(2,-3)\]
p<-c(-1,7)
q<-c(2,-3)
(ab<-p-q)## [1] -3 10\[A+B=(-1,7)+(2,-3)\]
p<-c(-1,7)
q<-c(2,-3)
(ab<-p+q)## [1] 1 4\[Magnitud_p:\sqrt{(-1)^2+7^2}\]
p<-c(-1,7)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 7.071068p<-c(-1,7)
q<-c(2,-3)
plot(-1,7, xlim=c(-2,4), ylim=c(-4,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(-1,7, labels = "P", pos = 2)
arrows(0,0,-1,7,col='red',lwd = 2)
points(2,-3,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,2,-3,col='blue',lwd = 2)
text(2,-3, labels = "Q", pos = 2)
arrows(0,0,2,-3,col='blue',lwd = 2)
arrows(-1,7,2,-3,col='purple',lwd = 2)
text(1,3, labels = "P+Q", pos = 2)
\[7.P(-1,-3); Q(3,4)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(3-(-1)),(4-(-3))\]
p<-c(-1,-3)
q<-c(3,4)
(ab<-q-p)## [1] 4 7\[A-B=(-1,-3)-(3,4)\]
p<-c(-1,-3)
q<-c(3,4)
(ab<-p-q)## [1] -4 -7\[A+B=(-1,-3)+(3,4)\]
p<-c(-1,-3)
q<-c(3,4)
(ab<-p+q)## [1] 2 1\[Magnitud_p:\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}\]
p<-c(-1,-3)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 3.162278p<-c(-1,-3)
q<-c(3,4)
plot(-1,-3, xlim=c(-2,4), ylim=c(-4,8), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(-1,-3, labels = "P", pos = 2)
arrows(0,0,-1,-3,col='red',lwd = 2)
points(3,4,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,3,4,col='blue',lwd = 2)
text(3,5, labels = "Q", pos = 2)
arrows(0,0,3,4,col='blue',lwd = 2)
arrows(-1,-3,3,4,col='purple',lwd = 2)
text(1,-2, labels = "P+Q", pos = 2)
arrows(0,0,4,7,col='green',lwd = 2)
text(4,7, labels = "P-Q", pos = 2)
\[8.P(3,-12); Q(4,-1)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(4-3),(-1-(-12)\]
p<-c(3,-12)
q<-c(4,-1)
(ab<-q-p)## [1] 1 11\[A-B=(3,-12)-(4,-1)\]
p<-c(3,-12)
q<-c(4,-1)
(ab<-p-q)## [1] -1 -11\[A+B=(3,-12)+(4,-1)\]
p<-c(3,-12)
q<-c(4,-1)
(ab<-p+q)## [1] 7 -13\[Magnitud_p:\sqrt{(3)^2+(-12)^2}\]
p<-c(3,-12)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 12.36932p<-c(3,-12)
q<-c(4,-1)
plot(3,-12, xlim=c(0,6), ylim=c(-12,5), xlab="x", ylab="y", lwd=3, ,col='red',
bty='n')
text(3,-12, labels = "P", pos = 2)
arrows(0,0,3,-12,col='red',lwd = 2)
points(4,-1,lwd=3,col='blue')
arrows(0,0,4,-1,col='blue',lwd = 2)
text(4,-1, labels = "Q", pos = 2)
arrows(0,0,4,-1,col='blue',lwd = 2)
arrows(3,-12,4,-1,col='purple',lwd = 2)
text(4.5,-5, labels = "P+Q", pos = 2)
2. Determine un vector unitario que tenga la dirección del vector
\[V.unitario: =\frac{a}{|\vec{a}|}\]
\[1. 4i-3j\]
\[\vec{u}=\sqrt{(4)^2+(-3)^2}\]
v<-c(4,-3)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 5(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.8 -0.6\[2. 5i+12j\]
\[\vec{u}=\sqrt{(5)^2+(12)^2}\]
v<-c(5,12)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 13(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.3846154 0.9230769\[3. i+5j\]
\[\vec{u}=\sqrt{(1)^2+(5)^2}\]
v<-c(1,5)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 5.09902(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.1961161 0.9805807\[4. -i-7j\]
\[\vec{u}=\sqrt{(-1)^2+(-7)^2}\]
v<-c(-1,-7)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 7.071068(vector_unitario<-v/-norma)## [1] 0.1414214 0.98994953.Determine un vector que tenga la dirección del vector dado
y con la longitud dada
\[\frac{longitud}{|v|} * v\] \[3i+4j. longitud=|v|=8\] \[\frac{8}{\sqrt{3^2+4^2}} * (3i+4j)\]
v<-c(3,4)
(longitud<-8)## [1] 8(v2<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 5(respuesta<-(longitud/v2)*v)## [1] 4.8 6.4\[-5i+12j. longitud=15\] \[\frac{15}{\sqrt{(-5)^2+12^2}} * (-5i+12j)\]
v<-c(-5,12)
(longitud<-15)## [1] 15(v2<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 13(respuesta<-(longitud/v2)*v)## [1] -5.769231 13.846154\[i-j. longitud=5\] \[\frac{5}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} * (1i-1j)\]
v<-c(1,-1)
(longitud<-5)## [1] 5(v2<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 1.414214(respuesta<-(longitud/v2)*v)## [1] 3.535534 -3.535534\[2i-3j. longitud=10\] \[\frac{10}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} * (2i-3j)\]
v<-c(2,-3)
(longitud<-10)## [1] 10(v2<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 3.605551(respuesta<-(longitud/v2)*v)## [1] 5.547002 -8.3205033. Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une a P y Q \[1. P(2,3), Q(6,-5)\] \[A=2i+3j\] \[B=8i+2j\] \[B-A=\]
a<- c(2,3)
b<- c(6,-5)
(respuesta<-b-a)## [1] 4 -8\[V=A+\frac{1}{2}(B-A)\] \[V=(2i+3j)+\frac{1}{2}(4i,-8j)\]
a<- c(2,3)
b<- c(6,-5)
respuesta<-b-a
(v<-a+1/2*(respuesta))## [1] 4 -1\[2. P(3,8), Q(-7,2)\] \[A=3i+8j\] \[B=-7i+2j\] \[B-A=\]
a<- c(3,8)
b<- c(-7,2)
(respuesta<-b-a)## [1] -10 -6\[V=A+\frac{1}{2}(B-A)\] \[V=(3i+8j)+\frac{1}{2}(-10i-6j)\]
a<- c(3,8)
b<- c(-7,2)
respuesta<-b-a
(v<-a+1/2*(respuesta))## [1] -2 5\[3. P(-3,-2), Q(7,4)\] \[A=-3i-2j\] \[B=7i+4j\] \[B-A=\]
a<- c(-3,-2)
b<- c(7,4)
(respuesta<-b-a)## [1] 10 6\[V=A+\frac{1}{2}(B-A)\] \[V=(-3i-2j)+\frac{1}{2}(10i+6j)\]
a<- c(-3,-2)
b<- c(7,4)
respuesta<-b-a
(v<-a+1/2*(respuesta))## [1] 2 1\[4. P(a1,b1), Q(a2,b2)\] \[A=a1i+b1j\] \[B=a2i+b2j\] \[B-A=(a2i-a1i,b2j-b1j)\] \[V=A+\frac{1}{2}(B-A)\] \[V=(a1i+b1j)+\frac{1}{2}(a2i-a1i,b2j-b1j)\] \[V=(\frac{a1+a2}{2},\frac{b1+b2}{2})\] 4. Encontrar las coordenadas de los puntos de trisección de los segmentos de recta que unen P y Q \[Formula:V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\]
\[1. P(-4,-4), Q(5,2)\]
a<- c(-4,-4)
b<- c(5,2)
(respuesta<-b-a)## [1] 9 6\[V_1=(-4i-4j)+\frac{1}{3}(9i+6j)\]
a<- c(-4,-4)
b<- c(5,2)
respuesta<-b-a
(v<-a+1/3*(respuesta))## [1] -1 -2\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(-4i-4j)+\frac{2}{3}(9i+6j)\]
a<- c(-4,-4)
b<- c(5,2)
respuesta<-b-a
(v<-a+2/3*(respuesta))## [1] 2 0\[Respuesta: (-1,-2),(2,0)\]
\[2. P(-8,5), Q(1,-7)\] \[A=-8i+5j\] \[B=(1i-7j)\] \[B-A=\]
a<- c(-8,5)
b<- c(1,-7)
(respuesta<-b-a)## [1] 9 -12\[V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_1=(-8i+5j)+\frac{1}{3}(9i-12j)\]
a<- c(-8,5)
b<- c(1,-7)
respuesta<-b-a
(v<-a+1/3*(respuesta))## [1] -5 1\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(-8i+5j)+\frac{2}{3}(9i-12j)\]
a<- c(-8,5)
b<- c(1,-7)
respuesta<-b-a
(v<-a+2/3*(respuesta))## [1] -2 -3\[Respuesta: (-5,1),(-2,-3)\] \[3. P(3,3), Q(-6,-3)\] \[A=3i+3j\] \[B=-6i-3j\] \[B-A=\]
a<- c(3,3)
b<- c(-6,-3)
(respuesta<-b-a)## [1] -9 -6\[V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_1=(3i+3j)+\frac{1}{3}(-9i-6j)\]
a<- c(3,3)
b<- c(-6,-3)
respuesta<-b-a
(v<-a+1/3*(respuesta))## [1] 0 1\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(3i+3j)+\frac{2}{3}(-9i-6j)\]
a<- c(3,3)
b<- c(-6,-3)
respuesta<-b-a
(v<-a+2/3*(respuesta))## [1] -3 -1\[Respuesta: (0,1),(-3,-1)\]
\[4. P(a1,b1), Q(a2,b2)\] \[A=a1i+b1j\] \[B=a2i-b2j\] \[V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_1=(a1i+b1j)+\frac{1}{3}(a1i-a2j,b1i-b2j)\]
\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(a1i+b1j)+\frac{2}{3}(a1i-a2j,b1i-b2j)\] 5.Encuentre la representación parametrica del vector que va del origen a la recta que pasas por P y Q \[Formula: V=A+t(B-A)\] \[1. P(-4,-4); Q(5,2)\]
a<- c(-4,-4)
b<- c(5,2)
(respuesta<-b-a)## [1] 9 6\[V=(-4i-4j)+t(9i+6j)\] \[Respuesta:V=(-4+9t)i,(-4+6t)j\] \[2. P(3,8); Q(-7,2)\]
a<- c(3,8)
b<- c(-7,2)
(respuesta<-b-a)## [1] -10 -6\[V=(3i+8j)+t(-10i-6j)\] \[V=(3-10t)i,(8-6t)j \] \[3. P(0,1); Q(-3,-2)\]
a<- c(0,1)
b<- c(-3,-2)
(respuesta<-b-a)## [1] -3 -3\[V=(0i+1j)+t(-3i-3j)\] \[V=(0-3t)i,(1-3t)j \] \[4. P(0,a); Q(b,0)\] \[V=(0i+aj)+t(bi+aj)\] \[V=(bt)i,(a+at)j \] 6.Una fuerza se representa con 2i+8j y una segunda fuerza se representa con 3i+4j. Encuentre el vector que representa la fuerza resultante y el ángulo(al grado más próximo) que forma con la dirección de la segunda fuerza
7.La resultante de dos fuerzas está dada por 9i+15j. Si una fuerza está dada ´pr 4i+3j, encuéntrese un vector para la segunda fuerza y el ángulo (al grado más próximo) entre las direcciones positivas de las dos fuerzas componentes
8.Encuentrese, en forma de componente P,Q,PQ, P+Q y P-Q, encuentrese la longitud de P
\[1. P(1,2,2); Q(1,-4,-2)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(1-1),(-4-2),(-2-2)\]
p<-c(1,2,2)
q<-c(1,-4,-2)
(ab<-q-p)## [1] 0 -6 -4\[A+B=(1,2,2)+(1,-4,-2)\]
p<-c(1,2,2)
q<-c(1,-4,-2)
(ab<-p+q)## [1] 2 -2 0\[A-B=(1,2,2)+(1,-4,-2)\]
p<-c(1,2,2)
q<-c(1,-4,-2)
(ab<-p-q)## [1] 0 6 4\[Magnitud_p:\sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}\]
p<-c(1,2,2)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 3\[2. P(3,0,4); Q(0,7,8)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(0-3),(7-0),(8-4)\]
p<-c(3,0,4)
q<-c(0,7,8)
(ab<-q-p)## [1] -3 7 4\[A+B=(3,0,4)+(0,7,8)\]
p<-c(3,0,4)
q<-c(0,7,8)
(ab<-p+q)## [1] 3 7 12\[A-B=(3,0,4)-(0,7,8)\]
p<-c(3,0,4)
q<-c(0,7,8)
(ab<-p-q)## [1] 3 -7 -4\[Magnitud_p:\sqrt{(3)^2+(0)^2+(4)^2}\]
p<-c(3,0,4)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 5\[3. P(3,-2,4); Q(-1,-2,-3)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(-1-3),(-2-(-2)),(-3-4)\]
p<-c(3,-2,4)
q<-c(-1,-2,-3)
(ab<-q-p)## [1] -4 0 -7\[A+B=(3,-2,4)+(-1,-2,-3)\]
p<-c(3,-2,4)
q<-c(-1,-2,-3)
(ab<-p+q)## [1] 2 -4 1\[A-B=(3,-2,4)-(-1,-2,-3)\]
p<-c(3,-2,4)
q<-c(-1,-2,-3)
(ab<-p-q)## [1] 4 0 7\[Magnitud_p:\sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}\]
p<-c(3,-2,4)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 5.385165\[4. P(7,8,5); Q(3,-3,2)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(3-7),(-3-8),(2-5)
\vec{XX}\]
p<-c(7,8,5)
q<-c(3,-3,2)
(ab<-q-p)## [1] -4 -11 -3\[A+B=(7,8,5)+(3,-3,2)\]
p<-c(7,8,5)
q<-c(3,-3,2)
(ab<-p+q)## [1] 10 5 7\[A-B=(7,8,5)-(3,-3,2)\]
p<-c(7,8,5)
q<-c(3,-3,2)
(ab<-p-q)## [1] 4 11 3\[Magnitud_p:\sqrt{(7)^2+(8)^2+(5)^2}\]
p<-c(7,8,5)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 11.74734\[5. P(-4,-4,-4); Q(1,3,7)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(1-(-4)),(3-(-4)),(7-(-4))\]
p<-c(-4,-4,-4)
q<-c(1,3,7)
(ab<-q-p)## [1] 5 7 11\[A+B=(-4,-4,-4)+(1,3,7)\]
p<-c(-4,-4,-4)
q<-c(1,3,7)
(ab<-p+q)## [1] -3 -1 3\[A-B=(-4,-4,-4)-(1,3,7)\]
p<-c(-4,-4,-4)
q<-c(1,3,7)
(ab<-p-q)## [1] -5 -7 -11\[Magnitud_p:\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(-4)^2}\]
p<-c(-4,-4,-4)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 6.928203\[6. P(-2,1,-2); Q(5,1,0)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(5-(-2)),(1-1),(0-(-2))\]
p<-c(-2,1,-2)
q<-c(5,1,0)
(ab<-q-p)## [1] 7 0 2\[A+B=(-2,1,-2)+(5,1,0)\]
p<-c(-2,1,-2)
q<-c(5,1,0)
(ab<-p+q)## [1] 3 2 -2\[A-B=(-2,1,-2)-(5,1,0)\]
p<-c(-2,1,-2)
q<-c(5,1,0)
(ab<-p-q)## [1] -7 0 -2\[Magnitud_p:\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(-2)^2}\]
p<-c(-2,1,-2)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 3\[7. P(0,8,-6); Q(4,-3,6)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(4-0),(-3-8),(-6-6)\]
p<-c(0,8,-6)
q<-c(4,-3,6)
(ab<-q-p)## [1] 4 -11 12\[A+B=(0,8,-6)+(4,-3,6)\]
p<-c(0,8,-6)
q<-c(4,-3,6)
(ab<-p+q)## [1] 4 5 0\[A-B=(0,8,-6)-(4,-3,6)\]
p<-c(0,8,-6)
q<-c(4,-3,6)
(ab<-p-q)## [1] -4 11 -12\[Magnitud_p:\sqrt{(0)^2+(8)^2+(6)^2}\]
p<-c(0,8,6)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 10\[8. P(4,-2,-4); Q(1,9,12)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(1-4),(9-(-2)),(12-(-4))\]
p<-c(4,-2,-4)
q<-c(1,9,12)
(ab<-q-p)## [1] -3 11 16\[A+B=(4,-2,-4)+(1,9,12)\]
p<-c(4,-2,-4)
q<-c(1,9,12)
(ab<-p+q)## [1] 5 7 8\[A-B=(4,-2,-4)-(1,9,12)\]
p<-c(4,-2,-4)
q<-c(1,9,12)
(ab<-p-q)## [1] 3 -11 -16\[Magnitud_p:\sqrt{(4)^2+(-2)^2+(-4)^2}\]
p<-c(4,-2,-4)
(nagnitud<-sqrt(sum(p^2)))## [1] 69. Determine un vector unitario que tenga la dirección del
vector
\[V.unitario:
=\frac{a}{|\vec{a}|}\]
\[1. 2i-2j+k\]
\[\vec{u}=\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(1)^2}\]
v<-c(2,-2,1)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 3(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.6666667 -0.6666667 0.3333333\[2. 3i-4j+4k\]
\[\vec{u}=\sqrt{(3)^2+(-4)^2+(4)^2}\]
v<-c(3,-4,4)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 6.403124(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.4685213 -0.6246950 0.6246950\[3. 0i+3j-4k\]
\[\vec{u}=\sqrt{(0)^2+(3)^2+(-4)^2}\]
v<-c(0,3,-4)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 5(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.0 0.6 -0.8\[4. i-5j-2k\]
\[\vec{u}=\sqrt{(1)^2+(-5)^2+(-2)^2}\]
v<-c(1,-5,-2)
(norma<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 5.477226(vector_unitario<-v/norma)## [1] 0.1825742 -0.9128709 -0.365148410. Determine un vector que tenga la direcciòn del vector dado y con la longitud dada
\[\frac{longitud}{|v|} * v\] \[1i+2j-2k. longitud=|v|=12\] \[\frac{12}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} * (1i+2j-2k)\]
v<-c(1,2,-2)
(longitud<-12)## [1] 12(v2<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 3(respuesta<-(longitud/v2)*v)## [1] 4 8 -8\[i+3j-4k. longitud=3\] \[\frac{3}{\sqrt{(1)^2+3^2+(-4)^2}} * (i+3j-4k)\]
v<-c(1,3,-4)
(longitud<-3)## [1] 3(v2<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 5.09902(respuesta<-(longitud/v2)*v)## [1] 0.5883484 1.7650452 -2.3533936\[5i+6j+7k. longitud=5\] \[\frac{5}{\sqrt{5^2+6^2+7^2}} * (5i+6j+7k)\]
v<-c(5,6,7)
(longitud<-5)## [1] 5(v2<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 10.48809(respuesta<-(longitud/v2)*v)## [1] 2.383656 2.860388 3.337119\[2i-3j-4k. longitud=10\] \[\frac{10}{\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(-4)^2}} * (2i-3j-4k)\]
v<-c(2,-3,-4)
(longitud<-10)## [1] 10(v2<-sqrt(sum(v^2)))## [1] 5.385165(respuesta<-(longitud/v2)*v)## [1] 3.713907 -5.570860 -7.42781411. Encontrar los vectores del origen a los puntos de trisección de los segmentos de recta que unen P y Q \[Formula:V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\]
\[1. P(5,1,-1), Q(11,10,5)\]
a<- c(5,1,-1)
b<- c(11,10,5)
(respuesta<-b-a)## [1] 6 9 6\[V_1=(5i+1j-1k)+\frac{1}{3}(6i+9j+6k)\]
a<- c(5,1,-1)
b<- c(11,10,5)
respuesta<-b-a
(v<-a+1/3*(respuesta))## [1] 7 4 1\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(5i+1j-1k)+\frac{2}{3}(7i+4j+1k)\]
a<- c(5,1,-1)
b<- c(11,10,5)
respuesta<-b-a
(v<-a+2/3*(respuesta))## [1] 9 7 3\[Respuesta: (7,4,1),(9,7,3)\]
\[2. P(-2,3,-4), Q(-8,15,14)\]
a<- c(-2,3,-4)
b<- c(-8,15,14)
(respuesta<-b-a)## [1] -6 12 18\[V_1=(-2i+3j-4k)+\frac{1}{3}(-6i+12j+18k)\]
a<- c(-2,3,-4)
b<- c(-8,15,14)
respuesta<-b-a
(v<-a+1/3*(respuesta))## [1] -4 7 2\[V_2=(-2i+3j-4k)+\frac{2}{3}(-4i+7j+2k)\]
a<- c(-2,3,-4)
b<- c(-8,15,14)
respuesta<-b-a
(v<-a+2/3*(respuesta))## [1] -6 11 8\[Respuesta: (-4,7,2),(-6,11,8)\]
12. Encuentrese la representación paramétrica de un vector del origen a la recta que pasa por P y Q
\[Formula: V=A+t(B-A)\] \[1. P(3,5,6); Q(7,1,4)\]
a<- c(3,5,6)
b<- c(7,1,4)
(respuesta<-b-a)## [1] 4 -4 -2\[V=(3i+5j+6k)+t(4i-4j-2k)\] \[Respuesta:V=(3+4t)i,(5-4t)j,(6-2t)k\] \[2. P(a,b,c); Q(d,e,f)\] \[V=(ai+bj+ck)+t((d-a)i+(e-b)j+(f-c)k)\] \[V=(d)i,(e)j,(f)k \]
13. El segmento de recta de P(-2,3,5) a Q(1,2,-2) se prolonga por cada extremo en una cantidad igual a su longitud. Usense vectores para encontrar las coordenadas de los nuevos extremos
14. Pruebe que los vectores son paralelos \[A=2i-3j-4k; B=-6i+9j+12k\] Producto escalar: \[A*B=(2*-6)+(-3*9)+(-4*12)\]
a<- c(2,-3,-4)
b<- c(-6,9,12)
(respuesta<-sum(a*b))## [1] -87\[|A|=\sqrt{2^2+(-3)^2+(-4)^2}\]
a<- c(2,-3,-4)
(respuesta1<-sqrt(sum(a^2)))## [1] 5.385165\[|A|=\sqrt{(-6)^2+(9)^2+(12)^2}\]
b<- c(-6,9,12)
(respuest2<-sqrt(sum(b^2)))## [1] 16.15549\[|A||B|=\]
(respuesta<-5.385*16.155)## [1] 86.99468