Universidad de El Salvador Faculdad de ciencias económicas escuela de economía

Metodos para el analisis económico Docente: Carlos Ademir Perez Alas Grupo teorico: “02” Tema de investigación: Cointegración y Causalidad. Integrantes

Apellidos	Nombres	DUE	Participación
Álvarez Pineda	Heidy Judith	AP18017	100%
Hernández García	Estefany Azucena	HG20004	100%
Hernandez Gutierrez	German Alejandro	HG19046	100%
Mendez Carrillo	Jairo Rodrigo	MC19167	100%
Lemus Perez	Elias Amilcar	LP16016	100%

Fecha de entrega: 07 de enero de 2024 Ciudad universitaria, San Salvador, El Salvador

1. Prueba de Raíz Unitaria de Dickey & Fuller.

Proposito de la prueba

Llamada de esta forma por los estadísticos estadounidenses David Dickey y Wayne Fuller. Esta prueba de raíz única, detecta estadísticamente la presencia de conducta tendencial que estocástica en las series temporales de las variables a través de contrastar las hipótesis.

Este contraste permite saber o conocer si existe presencia significativa de tendencia en las series temporales de las variables.

Paula Rodó, 30 de julio, 2019 Contraste de Dickey-Fuller.Economipedia.com.

En otras palabras, la prueba se utiliza para determinar si una raíz unitaria se encuentra presente en un modelo autorregresivo.

Es importante destacar que, los mismos estadísticos ampliaron su prueba básica de raíz unitaria autorregresiva, para que pudiera adaptarse a modelos con mayor complejidad (Prueba Dickey-Fuller aumentada), que es la que prueba una raíz unitaria en una muestra de serie temporal.

Hipótesis de la prueba

Una variable simple autorregresiva tiene la forma $\ xt=α x(t−1)+εt$ Si sustraemos $ (t−1)$ de ambos lados el resultado es:

\[Δxt=(α−1)x(t−1)+εt\]

La cual es la base de la prueba Dickey-Fuller, el cual es el modelo más simple para evaluar la presencia de raíz unitaria.

Como hipótesis nula se plantea la presencia de tendencia estocástica en las observaciones, para la hipótesis alternativa, se establece no tendencia estocástica en las observaciones.

$\ Ho: α=1$; proceso no estacionario $\ H1: α<1$;proceso estacionario

Sintaxis de implementacion en R

Paso 1: EStructura y preparacion de dato.

Para realizar la Prueba de Dickey-Fuller Aumentada se debe realizar la respectiva carga de datos que correspondan a una serie de tiempo.

Paso 2: Comprobar si la serie de tiempo es estacionaria

En el contexto de la prueba Dickey-Fuller hay dos condiciones para que la serie de tiempo sea estacionaria:

Rechazar la hipótesis nula.
Que el estimador alfa sea negativo.

Esto se hace mediante el estadistico de prueba:

Prob de rechazo <0.05 $\ t̂ α̂ =α̂ /SE(α̂ )<0$

Paso 3: Comprobar si la estacionariedad de la serie de tiempo mediante la prueba de Dickey-Fuller Aumentada

Se genera un modelo de regresion con las dos variables utilizando el comando (lm)y tambien se generan los residuales (errores) que son con los que trabajaremos en la prueba de ADF.

Luego de que se genra el modelo con el cual se trabajara, se procede a la aplicacion de la prueba mediante el comando adf.test de la libreria tseries, pasando como objeto los residuales, en donde muestra los resultados para el analisis correspondiente como el estadistico de prueba y valor critico.

Estadistico de Prueba

El estadístico de prueba es el $\ estadístico t$ sobre la variable dependiente rezagada. Si $\ α > 1$ el coeficiente de la variable dependiente rezagada será positivo. Si $\ α$ es igual a la unidad, $\ (α−1)$. En ambos casos $\ xt$ será no estacionaria.

Cuando existe tendencia en una serie temporal en un modelo AR(1), el primer regresor tenderá a ser 1 o muy cercano a 1. Esto se debe a la propiedad de reversión a la media de un proceso estocástico estacionario, es decir, cuanto más cerca esté el primer coeficiente de un modelo AR(1) de 1, más tardarán las observaciones a volver al valor medio.

Criterio de Desición.

$\ Ho: α=0$, Si no puede rechazarse la hipótesis nula, significa que (p-value > 0.05), por tanto la serie es no estacionaria y tiene raíz 1 (I(1)). La serie es Random walk = no estacionaria.

$\ H1: α≠0$, si se rechaza la nula (p-valor<0.05) la serie es estacionaria y tiene una raíz 0 (I(0)). La serie es White noise = estacionaria

Ejemplo Dickey-Fuller Simple

#Para realizar la prueba de Dickey-Fuller en R se hace uso de la función ur.df() de la librería urca.

set.seed(10)
x = rnorm(100)
w = rnorm(100)
for (i in 2:100) {
x[i] <- x[i - 1] + w[i]
}

#Graficando:

plot(x,type="l")

#Analizando raíz unitaria

library(urca)
df = ur.df(x, type="none", lags = 0)
summary(df)

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.31407 -0.86346  0.07963  0.66540  2.03542 
## 
## Coefficients:
##          Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -0.009083   0.031521  -0.288    0.774
## 
## Residual standard error: 0.9757 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.0008466,  Adjusted R-squared:  -0.009349 
## F-statistic: 0.08304 on 1 and 98 DF,  p-value: 0.7738
## 
## 
## Value of test-statistic is: -0.2882 
## 
## Critical values for test statistics: 
##      1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.6 -1.95 -1.61

Interpretación: El valor calculado “t-value” es de 0.288 (menor) en términos absolutos a lo valores del estadístico tau, se llega a la conclusión en favor de no rechazar hipótesis nula, por lo tanto, existe raíz unitaria y la serie no es estacionaria.

#Otra forma es haciendo uso de la función adf.test() de la librería tseries.

library(tseries)
adf.test(x,k=0)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -1.9334, Lag order = 0, p-value = 0.6042
## alternative hypothesis: stationary

Interpretación: Dado al valor de p-value = 0.6042, y por tanto, > 0.05; existe evidencia en favor de no rechazar hipótesis nula, concluyendo así que la serie no es estacionaria.

Ejemplo Dickey Fuller Aumentada

La prueba ADF consiste en la estimación del siguiente modelo:

\[ Δxt=β0+β1t+δx(t−1)+αi∑(i=1)m▒Δx(t−i)+εt\]

Por tanto, el contraste quedaría:

$\ Ho: δ=0$ → Existe raíz unitaria, $\ xt$ no es estacionaria.

$\ H1: δ≠0$ → No existe raíz unitaria, $\ xt$ es estacionaria.

Para hacer la estimación de dicho test, se usan las mismas funciones que para el Dickey-Fuller simple, pero especificando en el número de rezagos igual a 1.

adf = ur.df(x, type="none", lags = 1)
summary(adf)

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.25453 -0.90101  0.02681  0.70255  1.97744 
## 
## Coefficients:
##            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1    -0.01413    0.03282  -0.430    0.668
## z.diff.lag  0.06424    0.10583   0.607    0.545
## 
## Residual standard error: 0.983 on 96 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.00467,    Adjusted R-squared:  -0.01607 
## F-statistic: 0.2252 on 2 and 96 DF,  p-value: 0.7988
## 
## 
## Value of test-statistic is: -0.4304 
## 
## Critical values for test statistics: 
##      1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.6 -1.95 -1.61

Interpretación: Se puede observar que en ambos casos, se encuentra evidencia en favor de no rechazar la hipótesis nula y esto da razón de la existencia de raíz unitaria en la serie, por lo tanto, esta es no estacionaria. Dado al valor de p-value = 0.7988, y por tanto, > 0.05; existe evidencia en favor de no rechazar hipótesis nula, concluyendo así que la serie no es estacionaria.