true

VECTORES.

Se representa como una recta numérica, los elementos (a,b) se asocian con puntos de un plano, cada (a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y)

Operaciones básicas entre vectores en el plano.

Las operaciones de suma, resta y multiplicación de vectores se definen de manera diferente de las operaciones correspondientes con números reales.

Suma:

Se suman componente a componente

\[ A=(a1,a2) B=(b1,b2) \]

\[ A+B=(a1+b1, a2+b2) \]

  • Ejercicio 1:

\(A=(1,4) , B=(2,5)\)

## [1] 3 9

  • Ejercicio 2:

\(C=(2,3) , D=(-1,1)\)

## [1] 1 4

  • Ejercicio 3:

\(E=(4, 3) , G=(2, 5)\)

## [1] 6 8

  • Ejercicio 4:

\(H=(-1, 4) , I=(3, 6)\)

## [1]  2 10

  • Ejercicio 5:

\(L=(3, 1) , M=(1, 3)\)

## [1] 4 4

Resta:

Se resta componente a componente

\[ A=(a1,a2) B=(b1,b2) \]

\[ A-B=(a1-b1, a2-b2) \]

  • Ejercicio 1:

\(C=(-2,5) , D=(3,-1)\)

## [1] -5  6

  • Ejercicio 2:

\(A=(-3,4) , B=(5,-2)\)

## [1] -8  6

  • Ejercicio 3:

\(E=(5,2,4) , G=(-3,5,9)\)

## [1]  8 -3 -5
  • Ejercicio 4:

\(V = (1, 3, 4) , W = (3, 1, 4)\)

## [1] -2  2  0
  • Ejercicio 5:

\(H = (2,4) , I = (6,-3)\)

## [1] 4 1

Producto Escalar:

Se multiplica componente a componente y despues el resultado de ambos se suman
\[A=(a1,a2), B=(b1,b2)\] \[A*B=(a1*b1)+(a2*b2)\]
Ejemplo 1:
\[A=(1,3,-2) ; B=(-1,4,-3)\] \[A*B=(1*-1)+(3*4)+(-2*-3)\]

## [1] -1 12  6
## [1] 17

Propiedades

1) Tenemos que AB= BA 2)Si A,B y C son tres vectores, entonces
\[A*(B+C)=A*B+A*C=(B+C)*A\]
3) Si x es un número, entonces \[(xA)*B= x(A*B)\] \[A*(xB)=x(A*B)\] **4) Si A=0 es el vector nulo, entonces A*A=0 Y, si no lo es, entonces: \[A*A>0\] Si A es perpendicular a B, entonces** \[A*B=0\]

A practicar - Grupal # 1

1. Representar gráficamente los siguientes vectores :

\[a=(-2,1); b=(4,7);c=(1,0), d=(-3,-4); e=(5,-2)\]

2. Para los vectores del ejercicio anterior hallar el vector resultante de cada una de las siguientes operaciones: \[1. 2a+5b \]

## [1] 16 37

\[2.4c-7b+3d\]

## [1] -33 -61

\[ 3.3c-5d\]

## [1] 18 20

\[ 4.-2a+b-6d \]

## [1] 26 29

\[ 5. 3(a*b)\]

## [1] -24  21

\[ 6. b*(-b*c) \] En RStudio no se distingue cuando la multiplicación es por un número o por un vector, por lo que se va hacer por partes el procedimiento corregir el ejercicio 6 y 7

## [1] -16   0

\[ 7.(c*b)*d \]

## [1] 4 0
## [1] -12   0

3. Hallar los COMPONENTES de los vectores cuyos origenes y extremos son:

\[ 1) P.Origen:(-2,8); P.Extremo: (0,5)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]

## [1]  2 -3

\[ 2) P.Origen:(-6,2); P.Extremo: (-1,3)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]

## [1] 5 1

\[ 3) P.Origen:(6,-5); P.Extremo: (3,7)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]

## [1] -3 12

\[ 4) P.Origen:(3,-8); P.Extremo: (-4,-4)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]

## [1] -7  4

\[ 5) P.Origen:(8,-3); P.Extremo: (8,4)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]

## [1] 0 7

\[ 6) P.Origen:(-4,-1); P.Extremo: (-9,1)\] \[Formula: (b1-a1,b2-a2)\]

## [1] -5  2

4.Identifique los vectores equipolentes del siguiente grupo de vectores:

Nota:Los vectores equipolentes son aquellos que tienen el mismo módulo, la misma dirección e igual sentido

\[ 1) A(-1,3) , B(7,2)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]

## [1]  8 -1
## [1]  8 -1

Sí son equipolentes

\[ 2) A(-2,-9) , B(1,-8)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]

## [1] 3 1
## [1] 3 1

Sí son equipolentes

\[ 3) A(0,-7) , B(8,-8)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]

## [1]  8 -1
## [1]  8 -1

Sí son equipolentes

\[ 4) A(5,-5) , B(-3,-2)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]

## [1] -8  3
## [1] -8  3

Sí son equipolentes

\[ 5) A(-8,9) , B(0,8)\] \[Formula:AB=(B-A)\] \[(b1-a1,b2-a2)\]

## [1]  8 -1
## [1]  8 -1

Sí son equipolentes
5. Dado los vectores:

\[ a=(3,-1), b=(-5,8), c=(4,0)\] efectuar las operaciones indicadas \[ c(a+b)\]

## [1] -8  0

Al ser un vector escalar la respuesta sería solo -8

\[ c*a+c*b\]

## [1] -8  0

Al ser un vector escalar la respuesta sería solo -8

\[ (c*a)*b\]

## [1] -60   0

5. Encuentre A+B, A-B, 3A, -2B, en cada una de los siguientes casos. Marque los puntos que aparecen en los ejercicios 1 y 2
\[ A=(2,-1), B=(-1,1)\] \[A+B\]

## [1] 1 0

\[A-B\]

## [1]  3 -2

\[3A\]

## [1]  6 -3

\[-2B\]

## [1]  2 -2

\[ A=(2,-1,5), B=(-1,1,1)\] \[A+B\]

## [1] 1 0 6

\[A-B\]

## [1]  3 -2  4

\[3A\]

## [1]  6 -3 15

\[-2B\]

## [1]  2 -2 -2

\[ A=(-1,3), B=(0,4)\]

\[A+B\]

## [1] -1  7

\[A-B\]

## [1] -1 -1

\[3A\]

## [1] -3  9

\[-2B\]

## [1]  0 -8

\[ A=(-1,-2,3), B=(-1,3,-4)\] \[ A+B\]

## [1] -2  1 -1

\[ A-B\]

## [1]  0 -5  7

\[ 3A\]

## [1] -3 -6  9

\[ -2B\]

## [1]  2 -6  8

6.Sea A=(1,2) y B=(3,1), graficar A+B, A+2B, A+3B,A-B,A-2B,A-3B
\[A=(1,2) , B=(3,1)\] \[ A+B\]

## [1] 4 3

\[A+2B\]

## [1] 7 4

\[A+3B\]

## [1] 10  5

\[ A-B\]

## [1] -2  1

\[A-2B\]

## [1] -5  0

\[A-3B\]

## [1] -8 -1

7. Sea A=(2,-1) y B=(-1,1) graficar los puntos A+2B, A+3B,A-B,A-2B,A-3B,A+1/2B \[A=(2,-1) ; B=(-1,1)\] \[A+2B\]

## [1] 0 1

\[A+3B\]

## [1] -1  2

\[A-B\]

## [1]  3 -2

\[A-2B\]

## [1]  4 -3

\[A-3B\]

## [1]  5 -4

\[A+1/2*B\]

## [1]  1.5 -0.5

A practicar - Grupal # 2

1.En cada uno de los siguientes casos determine cuales vectores anclados PQ y AB son equivalentes

Nota:Los vectores anclados son equivalente si, B-A=D-C, Geometricamente las longitudes y “direcciones” en que apuntan son las mismas. \[Formula:\] \[PQ=(Q1,Q2)-(P1,P2)\] \[AB=(B1,B2)-(A1,A2)\] \[1)P=(1,-1),Q=(4,3), A=(-1,5),B=(5,2)\] \[PQ=(4,3)-(1,-1)\]

## [1] 3 4

\[AB=(5,2)-(-1,5)\]

## [1]  6 -3

No son equivalentes \[2)P=(1,4),Q=(-3,5), A=(5,7),B=(1,8)\] \[PQ=(-3,5)-(1,4)\]

## [1] -4  1

\[AB=(1,8)-(5,7)\]

## [1] -4  1

Sí son equivalentes \[3)P=(1,-1,5),Q=(-2,3,-4), A=(3,1,1),B=(0,5,10)\] \[PQ=(-2,3,-4)-(1,-1,5)\]

## [1] -3  4 -9

\[AB=(0,5,10)-(3,1,1)\]

## [1] -3  4  9

No son equivalentes
\[4)P=(2,3,-4),Q=(-1,3,5), A=(-2,3,-1),B=(-5,3,8)\] \[PQ=(-1,3,5)-(2,3,-4)\]

## [1] -3  0  9

\[AB=(-5,3,8)-(-2,3,-1)\]

## [1] -3  0  9

Sí son equivalentes

2.En cada uno de los siguientes casos determine cuales vectores anclados PQ y AB son paralelos
Nota:Los vectores anclados son paralelos cuando uno es el múltiplo escalar de otro. .

\[1)P=(-1,-1),Q=(4,3), A=(-1,5),B=(7,1)\] \[PQ=(4,3)-(-1,-1)\]

## [1] 5 4

\[AB=(7,1)-(-1,5)\]

## [1]  8 -4

No son paralelos
\[2)P=(1,4),Q=(-3,5), A=(5,7),B=(5,6)\] \[PQ=(-3,5)-(1,4)\]

## [1] -4  1

\[AB=(5,6)-(5,7)\]

## [1]  0 -1

No son paralelos
\[3)P=(1,-1,5),Q=(-2,3,-4), A=(3,1,1),B=(-3,9,-17)\] \[PQ=(-2,3,-4)-(1,-1,5)\]

## [1] -3  4 -9

\[AB=(-3,9,-17)-(3,1,1)\]

## [1]  -6   8 -18

Sí son paralelos, debido que tiene la misma direccion y tiene 3(B-A)

\[4)P=(2,3,-4),Q=(-1,3,5), A=(-2,3,-1),B=(-11,3,-28)\] \[PQ=(-1,3,5)-(2,3,-4)\]

## [1] -3  0  9

\[AB=(-11,3,-28)-(-2,3,-1)\]

## [1]  -9   0 -27

No son paralelos
3.Para cada una de las n-tuplas siguientes encuentre A.A
\[1) A=(2,-1), B=(-1,1)\]

## [1] 4 1
## [1] 5

\[ 2)A=(2,-1,5), B=(-1,1,1)\]

## [1]  4  1 25
## [1] 30

\[ 3)A=(-1,3), B=(0,4)\]

## [1] 1 9
## [1] 10

\[ 4)A=(-1,-2,3), B=(-1,3,-4)\]

## [1] 1 4 9
## [1] 14

**4.Encuentre A*B para las n-tuplas del anterior ejercicio**
\[1) A=(2,-1), B=(-1,1)\]

## [1] -2 -1
## [1] -3

\[ 2)A=(2,-1,5), B=(-1,1,1)\]

## [1] -2 -1  5
## [1] 2

\[ 3)A=(-1,3), B=(0,4)\]

## [1]  0 12
## [1] 12

\[ 4)A=(-1,-2,3), B=(-1,3,-4)\]

## [1]   1  -6 -12
## [1] -17

5.¿Cuáles de las siguientes parejas de vectores son perpendiculares entre sí?
\[1. (1,-1,1); (2,1,5)\]

## [1]  2 -1  5
## [1] 6

No son perpendiculares \[2. (1,-1,1); (2,3,1)\]

## [1]  2 -3  1
## [1] 0

Sí son perpendiculares
\[3. (-5,2,7); (3,-1,2)\]

## [1] -15  -2  14
## [1] -3

No son perpendiculares \[4.(pi,2,1);(2,-pi,0)\]

## [1]  6.283185 -6.283185  0.000000
## [1] 0

Sì es perpendicular
6.Determine las cantidades usando los vectores \[u=(-1,2); v=(4,6), w=(3,-1,-5);x=(6,-2,3)\] \[1. \frac{1}{w*w}w\]

## [1]  0.3333333 -1.0000000 -0.2000000
## [1] -0.8666667

\[2. \frac{1}{u*u}u\]

## [1] -1.0  0.5
## [1] -0.5

\[3. \frac{u*v}{v*v}v\]

## [1] -1  2
## [1] 1

\[4. \frac{x*w}{x*x}x\]

## [1] -1  2
## [1] 1

7.Encuentre el vector unitario en la dirección del vector dado

\[Formula: \frac{v}{||\vec{v}||}\]

\[1. [-30,40]\] \[||v||=\sqrt{(-30)^2+(40)^2} \]

## [1] 50
## [1] -0.6  0.8

\[2. [-6,4,-3]\] \[||v||=\sqrt{(-6)^2+(4)^2+(-3)^2} \]

## [1] 7.81025
## [1] -0.7682213  0.5121475 -0.3841106

\[3. \frac{7}{4},\frac{1}{2}, 1\]

\[||v||=\sqrt{(\frac{7}{4})^2,(\frac{1}{2})^2, 1^2} \]

## [1] 2.076656
## [1] 0.8427010 0.2407717 0.4815434

\[4. \frac{8}{3},2\]

\[||v||=\sqrt{(\frac{8}{3})^2,2^2} \]

## [1] 3.333333
## [1] 0.8 0.6

8.Encuentre la distancia
\[Distancia: \sqrt{(B1-A1)^2+(B2-A2)^2} \]

1.Encuentre la distancia entre: \[x=(10,-3); y=(-1,-5)\]

## [1] 11.18034

1.Encuentre la distancia entre: \[u=(0,-5,2): z=(-4,-1,8)\]

## [1] 8.246211

9.Determine cuáles pares de vectores en los ejercicios son ortogonales: \[Formula: A*B=0\] \[1. a=(8,-5), b=(-2,-3)\]

## [1] -1

No son ortogonales \[2. a=(12,3,-5); b=(2,-3,3)\]

## [1] 0

Son ortogonales \[3. a=(3,2,-5,0); b=(-4,1,-2,6)\]

## [1] 0

Son ortogonales

A practicar - Grupal # 3

1.Sea P el vector dibujado del origen al primer punto y Q el vector dibujado del origen al segundo punto. Encuentre, en forma de componentes, P,Q,PQ, P+Q y P-Q. Encuentre la longitud o magnitud de P en cada caso, dibuje los vectores
\[1.P(3,2); Q(5,-4)\]

\[\overrightarrow{PQ}=(5-3),(-4-2)\]

## [1]  2 -6

\[A-B=(3,2)-(5,-4)\]

## [1] -2  6

\[A+B=(3,2)+(5,-4)\]

## [1]  8 -2

\[Magnitud_p:\sqrt{3^2+2^2}\]

## [1] 3.605551

\[2.P(4,0); Q(0,5)\]

\[\overrightarrow{PQ}=(0-4),(5-0)\]

## [1] -4  5

\[A-B=(4,0)-(0,5)\]

## [1]  4 -5

\[A+B=(4,0)+(0,5)\]

## [1] 4 5

\[Magnitud_p:\sqrt{4^2+0^2}\]

## [1] 4

\[3.P(-4,5); Q(-2,-3)\]

\[\overrightarrow{PQ}=(-2-(-4)),(-3-5)\]

## [1]  2 -8

\[A-B=(-4,5)-(-2,-3)\]

## [1]  2 -8

\[A+B=(-4,5)+(-2,-3)\]

## [1] -6  2

\[Magnitud_p:\sqrt{(-4)^2+5^2}\]

## [1] 6.403124

\[4.P(5,6); Q(-3,-3)\]

\[\overrightarrow{PQ}=(-3-5),(-3-6)\]

## [1] -8 -9

\[A-B=(5,6)-(-3,-3)\]

## [1] 8 9

\[A+B=(5,6)+(-3,-3)\]

## [1] 2 3

\[Magnitud_p:\sqrt{(5)^2+6^2}\]

## [1] 7.81025

\[5.P(0,3); Q(-4,-2)\]

\[\overrightarrow{PQ}=(-4-0),(-2-3)\]

## [1] -4 -5

\[A-B=(0,3)-(-4,-2)\]

## [1] 4 5

\[A+B=(0,3)+(-4,-2)\]

## [1] -4  1

\[Magnitud_p:\sqrt{0^2+3^2}\]

## [1] 3

\[6.P(-1,7); Q(2,-3)\]

\[\overrightarrow{PQ}=(2-(-1)),(-3-7)\]

## [1]   3 -10

\[A-B=(-1,7)-(2,-3)\]

## [1] -3 10

\[A+B=(-1,7)+(2,-3)\]

## [1] 1 4

\[Magnitud_p:\sqrt{(-1)^2+7^2}\]

## [1] 7.071068

\[7.P(-1,-3); Q(3,4)\]

\[\overrightarrow{PQ}=(3-(-1)),(4-(-3))\]

## [1] 4 7

\[A-B=(-1,-3)-(3,4)\]

## [1] -4 -7

\[A+B=(-1,-3)+(3,4)\]

## [1] 2 1

\[Magnitud_p:\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}\]

## [1] 3.162278

\[8.P(3,-12); Q(4,-1)\]

\[\overrightarrow{PQ}=(4-3),(-1-(-12)\]

## [1]  1 11

\[A-B=(3,-12)-(4,-1)\]

## [1]  -1 -11

\[A+B=(3,-12)+(4,-1)\]

## [1]   7 -13

\[Magnitud_p:\sqrt{(3)^2+(-12)^2}\]

## [1] 12.36932

2. Determine un vector unitario que tenga la dirección del vector

\[V.unitario: =\frac{a}{|\vec{a}|}\]

\[1. 4i-3j\]

\[\vec{u}=\sqrt{(4)^2+(-3)^2}\]

## [1] 5
## [1]  0.8 -0.6

\[2. 5i+12j\]

\[\vec{u}=\sqrt{(5)^2+(12)^2}\]

## [1] 13
## [1] 0.3846154 0.9230769

\[3. i+5j\]

\[\vec{u}=\sqrt{(1)^2+(5)^2}\]

## [1] 5.09902
## [1] 0.1961161 0.9805807

\[4. -i-7j\]

\[\vec{u}=\sqrt{(-1)^2+(-7)^2}\]

## [1] 7.071068
## [1] 0.1414214 0.9899495

3.Determine un vector que tenga la dirección del vector dado y con la longitud dada
\[\frac{longitud}{|v|} * v\] \[3i+4j. longitud=|v|=8\] \[\frac{8}{\sqrt{3^2+4^2}} * (3i+4j)\]

## [1] 8
## [1] 5
## [1] 4.8 6.4

\[-5i+12j. longitud=15\] \[\frac{15}{\sqrt{(-5)^2+12^2}} * (-5i+12j)\]

## [1] 15
## [1] 13
## [1] -5.769231 13.846154

\[i-j. longitud=5\] \[\frac{5}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} * (1i-1j)\]

## [1] 5
## [1] 1.414214
## [1]  3.535534 -3.535534

\[2i-3j. longitud=10\] \[\frac{10}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} * (2i-3j)\]

## [1] 10
## [1] 3.605551
## [1]  5.547002 -8.320503

3. Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une a P y Q \[1. P(2,3), Q(6,-5)\] \[A=2i+3j\] \[B=8i+2j\] \[B-A=\]

## [1]  4 -8

\[V=A+\frac{1}{2}(B-A)\] \[V=(2i+3j)+\frac{1}{2}(4i,-8j)\]

## [1]  4 -1

\[2. P(3,8), Q(-7,2)\] \[A=3i+8j\] \[B=-7i+2j\] \[B-A=\]

## [1] -10  -6

\[V=A+\frac{1}{2}(B-A)\] \[V=(3i+8j)+\frac{1}{2}(-10i-6j)\]

## [1] -2  5

\[3. P(-3,-2), Q(7,4)\] \[A=-3i-2j\] \[B=7i+4j\] \[B-A=\]

## [1] 10  6

\[V=A+\frac{1}{2}(B-A)\] \[V=(-3i-2j)+\frac{1}{2}(10i+6j)\]

## [1] 2 1

\[4. P(a1,b1), Q(a2,b2)\] \[A=a1i+b1j\] \[B=a2i+b2j\] \[B-A=(a2i-a1i,b2j-b1j)\] \[V=A+\frac{1}{2}(B-A)\] \[V=(a1i+b1j)+\frac{1}{2}(a2i-a1i,b2j-b1j)\] \[V=(\frac{a1+a2}{2},\frac{b1+b2}{2})\] 4. Encontrar las coordenadas de los puntos de trisección de los segmentos de recta que unen P y Q \[Formula:V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\]

\[1. P(-4,-4), Q(5,2)\]

## [1] 9 6

\[V_1=(-4i-4j)+\frac{1}{3}(9i+6j)\]

## [1] -1 -2

\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(-4i-4j)+\frac{2}{3}(9i+6j)\]

## [1] 2 0

\[Respuesta: (-1,-2),(2,0)\]

\[2. P(-8,5), Q(1,-7)\] \[A=-8i+5j\] \[B=(1i-7j)\] \[B-A=\]

## [1]   9 -12

\[V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_1=(-8i+5j)+\frac{1}{3}(9i-12j)\]

## [1] -5  1

\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(-8i+5j)+\frac{2}{3}(9i-12j)\]

## [1] -2 -3

\[Respuesta: (-5,1),(-2,-3)\] \[3. P(3,3), Q(-6,-3)\] \[A=3i+3j\] \[B=-6i-3j\] \[B-A=\]

## [1] -9 -6

\[V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_1=(3i+3j)+\frac{1}{3}(-9i-6j)\]

## [1] 0 1

\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(3i+3j)+\frac{2}{3}(-9i-6j)\]

## [1] -3 -1

\[Respuesta: (0,1),(-3,-1)\]

\[4. P(a1,b1), Q(a2,b2)\] \[A=a1i+b1j\] \[B=a2i-b2j\] \[V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_1=(a1i+b1j)+\frac{1}{3}(a1i-a2j,b1i-b2j)\]

\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(a1i+b1j)+\frac{2}{3}(a1i-a2j,b1i-b2j)\] 5.Encuentre la representación parametrica del vector que va del origen a la recta que pasas por P y Q \[Formula: V=A+t(B-A)\] \[1. P(-4,-4); Q(5,2)\]

## [1] 9 6

\[V=(-4i-4j)+t(9i+6j)\] \[Respuesta:V=(-4+9t)i,(-4+6t)j\] \[2. P(3,8); Q(-7,2)\]

## [1] -10  -6

\[V=(3i+8j)+t(-10i-6j)\] \[V=(3-10t)i,(8-6t)j \] \[3. P(0,1); Q(-3,-2)\]

## [1] -3 -3

\[V=(0i+1j)+t(-3i-3j)\] \[V=(0-3t)i,(1-3t)j \] \[4. P(0,a); Q(b,0)\] \[V=(0i+aj)+t(bi+aj)\] \[V=(bt)i,(a+at)j \] 6.Una fuerza se representa con 2i+8j y una segunda fuerza se representa con 3i+4j. Encuentre el vector que representa la fuerza resultante y el ángulo(al grado más próximo) que forma con la dirección de la segunda fuerza

7.La resultante de dos fuerzas está dada por 9i+15j. Si una fuerza está dada ´pr 4i+3j, encuéntrese un vector para la segunda fuerza y el ángulo (al grado más próximo) entre las direcciones positivas de las dos fuerzas componentes

8.Encuentrese, en forma de componente P,Q,PQ, P+Q y P-Q, encuentrese la longitud de P

\[1. P(1,2,2); Q(1,-4,-2)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(1-1),(-4-2),(-2-2)\]

## [1]  0 -6 -4

\[A+B=(1,2,2)+(1,-4,-2)\]

## [1]  2 -2  0

\[A-B=(1,2,2)+(1,-4,-2)\]

## [1] 0 6 4

\[Magnitud_p:\sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}\]

## [1] 3

\[2. P(3,0,4); Q(0,7,8)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(0-3),(7-0),(8-4)\]

## [1] -3  7  4

\[A+B=(3,0,4)+(0,7,8)\]

## [1]  3  7 12

\[A-B=(3,0,4)-(0,7,8)\]

## [1]  3 -7 -4

\[Magnitud_p:\sqrt{(3)^2+(0)^2+(4)^2}\]

## [1] 5

\[3. P(3,-2,4); Q(-1,-2,-3)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(-1-3),(-2-(-2)),(-3-4)\]

## [1] -4  0 -7

\[A+B=(3,-2,4)+(-1,-2,-3)\]

## [1]  2 -4  1

\[A-B=(3,-2,4)-(-1,-2,-3)\]

## [1] 4 0 7

\[Magnitud_p:\sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}\]

## [1] 5.385165

\[4. P(7,8,5); Q(3,-3,2)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(3-7),(-3-8),(2-5)\]

## [1]  -4 -11  -3

\[A+B=(7,8,5)+(3,-3,2)\]

## [1] 10  5  7

\[A-B=(7,8,5)-(3,-3,2)\]

## [1]  4 11  3

\[Magnitud_p:\sqrt{(7)^2+(8)^2+(5)^2}\]

## [1] 11.74734

\[5. P(-4,-4,-4); Q(1,3,7)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(1-(-4)),(3-(-4)),(7-(-4))\]

## [1]  5  7 11

\[A+B=(-4,-4,-4)+(1,3,7)\]

## [1] -3 -1  3

\[A-B=(-4,-4,-4)-(1,3,7)\]

## [1]  -5  -7 -11

\[Magnitud_p:\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(-4)^2}\]

## [1] 6.928203

\[6. P(-2,1,-2); Q(5,1,0)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(5-(-2)),(1-1),(0-(-2))\]

## [1] 7 0 2

\[A+B=(-2,1,-2)+(5,1,0)\]

## [1]  3  2 -2

\[A-B=(-2,1,-2)-(5,1,0)\]

## [1] -7  0 -2

\[Magnitud_p:\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(-2)^2}\]

## [1] 3

\[7. P(0,8,-6); Q(4,-3,6)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(4-0),(-3-8),(-6-6)\]

## [1]   4 -11  12

\[A+B=(0,8,-6)+(4,-3,6)\]

## [1] 4 5 0

\[A-B=(0,8,-6)-(4,-3,6)\]

## [1]  -4  11 -12

\[Magnitud_p:\sqrt{(0)^2+(8)^2+(6)^2}\]

## [1] 10

\[8. P(4,-2,-4); Q(1,9,12)\]
\[\overrightarrow{PQ}=(1-4),(9-(-2)),(12-(-4))\]

## [1] -3 11 16

\[A+B=(4,-2,-4)+(1,9,12)\]

## [1] 5 7 8

\[A-B=(4,-2,-4)-(1,9,12)\]

## [1]   3 -11 -16

\[Magnitud_p:\sqrt{(4)^2+(-2)^2+(-4)^2}\]

## [1] 6

9. Determine un vector unitario que tenga la dirección del vector
\[V.unitario: =\frac{a}{|\vec{a}|}\]

\[1. 2i-2j+k\]

\[\vec{u}=\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(1)^2}\]

## [1] 3
## [1]  0.6666667 -0.6666667  0.3333333

\[2. 3i-4j+4k\]

\[\vec{u}=\sqrt{(3)^2+(-4)^2+(4)^2}\]

## [1] 6.403124
## [1]  0.4685213 -0.6246950  0.6246950

\[3. 0i+3j-4k\]

\[\vec{u}=\sqrt{(0)^2+(3)^2+(-4)^2}\]

## [1] 5
## [1]  0.0  0.6 -0.8

\[4. i-5j-2k\]

\[\vec{u}=\sqrt{(1)^2+(-5)^2+(-2)^2}\]

## [1] 5.477226
## [1]  0.1825742 -0.9128709 -0.3651484

10. Determine un vector que tenga la direcciòn del vector dado y con la longitud dada

\[\frac{longitud}{|v|} * v\] \[1i+2j-2k. longitud=|v|=12\] \[\frac{12}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} * (1i+2j-2k)\]

## [1] 12
## [1] 3
## [1]  4  8 -8

\[i+3j-4k. longitud=3\] \[\frac{3}{\sqrt{(1)^2+3^2+(-4)^2}} * (i+3j-4k)\]

## [1] 3
## [1] 5.09902
## [1]  0.5883484  1.7650452 -2.3533936

\[5i+6j+7k. longitud=5\] \[\frac{5}{\sqrt{5^2+6^2+7^2}} * (5i+6j+7k)\]

## [1] 5
## [1] 10.48809
## [1] 2.383656 2.860388 3.337119

\[2i-3j-4k. longitud=10\] \[\frac{10}{\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(-4)^2}} * (2i-3j-4k)\]

## [1] 10
## [1] 5.385165
## [1]  3.713907 -5.570860 -7.427814

11. Encontrar los vectores del origen a los puntos de trisección de los segmentos de recta que unen P y Q \[Formula:V_1=A+\frac{1}{3}(B-A)\] \[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\]

\[1. P(5,1,-1), Q(11,10,5)\]

## [1] 6 9 6

\[V_1=(5i+1j-1k)+\frac{1}{3}(6i+9j+6k)\]

## [1] 7 4 1

\[V_2=A+\frac{2}{3}(B-A)\] \[V_2=(5i+1j-1k)+\frac{2}{3}(7i+4j+1k)\]

## [1] 9 7 3

\[Respuesta: (7,4,1),(9,7,3)\]

\[2. P(-2,3,-4), Q(-8,15,14)\]

## [1] -6 12 18

\[V_1=(-2i+3j-4k)+\frac{1}{3}(-6i+12j+18k)\]

## [1] -4  7  2

\[V_2=(-2i+3j-4k)+\frac{2}{3}(-4i+7j+2k)\]

## [1] -6 11  8

\[Respuesta: (-4,7,2),(-6,11,8)\]

12. Encuentrese la representación paramétrica de un vector del origen a la recta que pasa por P y Q

\[Formula: V=A+t(B-A)\] \[1. P(3,5,6); Q(7,1,4)\]

## [1]  4 -4 -2

\[V=(3i+5j+6k)+t(4i-4j-2k)\] \[Respuesta:V=(3+4t)i,(5-4t)j,(6-2t)k\] \[2. P(a,b,c); Q(d,e,f)\] \[V=(ai+bj+ck)+t((d-a)i+(e-b)j+(f-c)k)\] \[V=(d)i,(e)j,(f)k \]

13. El segmento de recta de P(-2,3,5) a Q(1,2,-2) se prolonga por cada extremo en una cantidad igual a su longitud. Usense vectores para encontrar las coordenadas de los nuevos extremos

14. Pruebe que los vectores son paralelos \[A=2i-3j-4k; B=-6i+9j+12k\] Producto escalar: \[A*B=(2*-6)+(-3*9)+(-4*12)\]

## [1] -87

\[|A|=\sqrt{2^2+(-3)^2+(-4)^2}\]

## [1] 5.385165

\[|A|=\sqrt{(-6)^2+(9)^2+(12)^2}\]

## [1] 16.15549

\[|A||B|=\]

## [1] 86.99468