Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Kelas : B

NIM : 230605110034

Pengertian Iterasi Dalam Kalkulus

Dalam kalkulus, iterasi merujuk pada proses pengulangan langkah-langkah tertentu untuk mendekati atau mencari solusi suatu masalah matematis. Iterasi sering digunakan untuk memecahkan persamaan atau mencari nilai-nilai yang mendekati solusi dari fungsi tertentu. Proses ini berguna ketika solusi analitis tidak dapat ditemukan secara langsung atau ketika solusi numerik diperlukan.

Sebagai contoh, pertimbangkan kasus pencarian akar suatu fungsi \(f(x) = 0\). Metode iteratif, seperti metode Newton-Raphson, adalah salah satu cara yang umum digunakan untuk mendekati solusi akar fungsi tersebut. Dalam metode ini, iterasi melibatkan langkah-langkah berikut:

Langkah-Langkah Iterasi

  1. Inisialisasi:
    • Memilih titik awal \(x_0\) sebagai tebakan awal untuk solusi.
  2. Iterasi:
    • Menggunakan rumus iteratif untuk menghitung nilai baru \(x_{n+1}\) berdasarkan nilai sebelumnya \(x_n\). Dalam metode Newton-Raphson, rumusnya adalah \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\), di mana \(f'(x_n)\) adalah turunan pertama dari \(f(x)\).
  3. Penilaian Kriteria Berhenti:
    • Memeriksa apakah solusi yang dihasilkan sudah mendekati solusi sebenarnya atau apakah suatu kriteria berhenti telah terpenuhi. Kriteria berhenti bisa berupa batasan jumlah iterasi, batasan selisih antara dua iterasi berturut-turut, atau kondisi lainnya.
  4. Penyesuaian dan Iterasi Lanjutan:
    • Jika kriteria berhenti belum terpenuhi, nilai \(x_{n+1}\) digunakan sebagai tebakan baru, dan proses iterasi diulang.

Iterasi ini terus berlanjut hingga solusi yang dihasilkan mendekati solusi yang diinginkan. Penting untuk dicatat bahwa dalam beberapa kasus, iterasi mungkin tidak konvergen atau dapat mengalami divergensi, tergantung pada metode yang digunakan dan sifat fungsi yang dihadapi.

Contoh Singkat

Mari kita ambil contoh soal iterasi dengan menggunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar dari suatu fungsi. Anggap kita ingin mencari akar dari fungsi \(f(x) = x^2 - 5\) menggunakan metode iterasi. Kita akan terapkan langkah-langkahnya dalam bahasa pemrograman R.

Contoh Soal: Cari akar dari fungsi \(f(x) = x^2 - 5\) dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Mulai dengan tebakan awal \(x_0 = 2\).

Pengimplemntasiaan Dalam Bahasa R

# Fungsi untuk menghitung nilai fungsi f(x)
f <- function(x) {
  return(x^2 - 5)
}

# Fungsi untuk menghitung turunan pertama f'(x)
f_prime <- function(x) {
  return(2 * x)
}

# Metode Newton-Raphson untuk iterasi
newton_raphson <- function(initial_guess, tolerance, max_iterations) {
  x <- initial_guess
  iteration <- 1

  while (iteration <= max_iterations) {
    fx <- f(x)
    f_prime_x <- f_prime(x)

    # Rumus iteratif Newton-Raphson
    x <- x - fx / f_prime_x

    # Cek kriteria berhenti (misalnya, toleransi)
    if (abs(fx) < tolerance) {
      break
    }

    iteration <- iteration + 1
  }

  return(list(root = x, iterations = iteration))
}

# Menjalankan iterasi dengan tebakan awal x0 = 2
result <- newton_raphson(initial_guess = 2, tolerance = 1e-6, max_iterations = 1000)

# Menampilkan hasil
cat("Akar yang diestimasi:", result$root, "\n")
## Akar yang diestimasi: 2.236068
cat("Jumlah iterasi:", result$iterations, "\n")
## Jumlah iterasi: 4

Dalam skrip R di atas, kita mendefinisikan fungsi \(f(x)\) dan turunan pertamanya \(f'(x)\). Kemudian, kita menggunakan metode Newton-Raphson dengan tebakan awal \(x_0 = 2\), toleransi \(1 \times 10^{-6}\), dan maksimum iterasi 1000. Hasilnya kemudian ditampilkan, termasuk nilai akar yang diestimasi dan jumlah iterasi yang dibutuhkan.

Kesimpulan

Jadi, dalam konteks kalkulus, iterasi sering digunakan sebagai alat untuk mendekati solusi numerik dari permasalahan matematis yang mungkin sulit atau tidak memiliki solusi analitis langsung.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.