Dosen Pengampu: Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Kampus : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Kelas : B

NIM :230605110057

#Penggunaan Optimasi seperti mencari jumlah produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum atau biaya produksi minimum. Misalnya, jika kita memiliki fungsi keuntungan sebagai fungsi dari jumlah unit produksi, kita dapat menggunakan kalkulus untuk menemukan jumlah unit produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum dengan mengambil turunan pertama dan kedua fungsi keuntungan tersebut.

Misalkan kita memiliki fungsi objektif: f(x)=3x^2−15x+6 dan kita ingin mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi ini dalam interval [1,7]. Kita juga memiliki dua kendala: 1≤x≤7 dan f’(x)≤0.

Contoh:

# Mendefinisikan fungsi objektif
f <- function(x) {
  return(3*x^2 - 15*x + 6)
}

# Mendefinisikan kendala
x_min <- 1
x_max <- 7

# Menghitung turunan fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(6*x - 24)
}

# Mencari titik kritis (tempat turunan f'(x) = 0)
critical_points <- uniroot(f_prime, interval = c(x_min, x_max))

# Mencari nilai maksimum dan minimum
x_max <- x_max
y_max <- f(x_max)
x_min <- critical_points$root
y_min <- f(x_min)

# Menampilkan hasil
cat("Nilai maksimum:", y_max, "ditemukan pada x =", x_max)
## Nilai maksimum: 48 ditemukan pada x = 7
cat("Nilai minimum:", y_min, "ditemukan pada x =", x_min)
## Nilai minimum: -6 ditemukan pada x = 4

Contoh Soal Misalkan kita memiliki fungsi objektif: f(x)=x^2−2x+2 dan kita ingin mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi ini dalam interval [0,5]. Kita juga memiliki dua kendala: 0≤x≤5 dan f′(x)≥0.

# Mendefinisikan fungsi objektif
f <- function(x) {
  return(x^2 - 2*x + 2)
}

# Mendefinisikan kendala
x_min <- 0
x_max <- 5

# Menghitung turunan fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(2*x - 8)
}

# Mencari titik kritis (tempat turunan f'(x) = 0)
critical_points <- uniroot(f_prime, interval = c(x_min, x_max))

# Mencari nilai maksimum dan minimum
x_max <- critical_points$root
y_max <- f(x_max)
x_min <- x_min
y_min <- f(x_min)

# Menampilkan hasil
cat("Nilai maksimum:", y_max, "ditemukan pada x =", x_max)
## Nilai maksimum: 10 ditemukan pada x = 4
cat("Nilai minimum:", y_min, "ditemukan pada x =", x_min)
## Nilai minimum: 2 ditemukan pada x = 0

Kesimpulan Optimasi dalam kalkulus digunakan untuk mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Contohnya termasuk menemukan jumlah produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum atau biaya produksi minimum dalam konteks ekonomi. Kesimpulannya, optimasi kalkulus membantu dalam pengambilan keputusan untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu parameter dalam suatu sistem. Sumber : Kalkulus Mosaic, https://dtkaplan.github.io/MC2/#instructors-preface