Dosen Pengampu: Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Kampus : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Kelas : B

NIM :230605110057

Pengertian Iterasi

Iterasi dalam konteks kalkulus mengacu pada proses pengulangan yang digunakan untuk mendekati solusi suatu masalah. Dalam kalkulus, metode iterasi sering digunakan untuk mendekati akar suatu fungsi atau nilai-nilai lain yang sulit atau tidak mungkin dipecahkan secara eksplisit. Metode iteratif umumnya melibatkan proses berulang, di mana nilai-nilai diperbarui berulang kali dengan harapan mendekati solusi yang diinginkan.

Contoh penerapan iterasi dalam kalkulus adalah metode Newton-Raphson untuk mencari akar suatu fungsi. Metode ini melibatkan perhitungan iteratif berdasarkan tangen garis singgung pada grafik fungsi. Dengan mengulangi proses ini, kita dapat mendekati akar fungsi dengan tingkat ketelitian yang diinginkan.

Konsep Iterasi

Beberapa konsep utama terkait iterasi dalam kalkulus melibatkan perhitungan berulang untuk mendekati nilai-nilai yang mendekati solusi yang diinginkan. Berikut adalah beberapa poin kunci terkait konsep iterasi dalam kalkulus:

  1. Pengulangan (Repetition): Iterasi melibatkan pengulangan suatu proses atau perhitungan berulang kali untuk mendekati solusi yang diinginkan. Proses ini terus diulang sampai nilai yang diperoleh mendekati nilai solusi dengan tingkat ketelitian yang diinginkan.

  2. Fungsi Iteratif: Dalam banyak metode iteratif, sebuah fungsi iteratif digunakan untuk menghasilkan nilai-nilai baru pada setiap iterasi. Fungsi ini biasanya dirancang sedemikian rupa sehingga konvergen ke solusi yang diinginkan.

  3. Kriteria Konvergensi: Penting untuk menetapkan kriteria konvergensi agar iterasi dapat dihentikan ketika solusi sudah cukup mendekati solusi sejati. Kriteria ini biasanya berupa perbedaan antara nilai-nilai berturut-turut.

  4. Metode Iteratif Tertentu: Beberapa metode iteratif khusus, seperti metode Newton-Raphson, metode biseksi, atau metode iterasi titik tetap, digunakan tergantung pada sifat masalah yang dihadapi.

Pemahaman konsep iterasi dalam kalkulus menjadi krusial dalam pemecahan masalah matematis yang melibatkan perhitungan numerik, terutama ketika solusi eksplisit tidak dapat ditemukan dengan mudah. Metode-metode iteratif ini memungkinkan pendekatan solusi yang akurat melalui langkah-langkah perhitungan berulang.

Contoh Iterasi

Dalam RStudio, Anda dapat menggunakan iterasi untuk mendekati solusi suatu masalah matematis atau statistik. Salah satu contoh penerapan iterasi adalah dalam metode iteratif Newton-Raphson untuk mencari akar suatu fungsi.

Misalnya, kita akan mencari akar dari fungsi f (x) = x^2 - 6. fungsi ini memiliki akar di x = 2 dan x = -2

# Definisikan fungsi
f <- function(x) {
  return(x^2 - 6)
}

# Metode iteratif Newton-Raphson
newton_raphson <- function(f, df, x0, tol, max_iter) {
  x <- x0
  iter <- 0
  
  repeat {
    x_new <- x - f(x) / df(x)
    iter <- iter + 1
    
    # Cek kriteria konvergensi
    if (abs(x_new - x) < tol || iter >= max_iter) {
      break
    }
    
    x <- x_new
  }
  
   return(x)
}

# Turunan pertama dari fungsi f
df <- function(x) {
  return(2 * x)
}

# Panggil metode Newton-Raphson
result <- newton_raphson(f, df, x0 = 1, tol = 1e-6, max_iter = 1000)


# Tampilkan hasil
print(paste("Akar yang ditemukan:", result))
## [1] "Akar yang ditemukan: 2.44948974278755"

Dengan menggunakan iterasi, kita dapat mendekati solusi numerik untuk masalah matematis yang sulit atau tidak dapat dipecahkan secara eksplisit, seperti mencari akar fungsi. Metode iteratif Newton-Raphson adalah salah satu contoh metode yang umum digunakan dalam kalkulus numerik.

Sumber : Kalkulus Mosaic, https://dtkaplan.github.io/MC2/#instructors-preface