Vektorové Autoregresné Modely

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Vektorové Autoregresné Modely
]
.subtitle[
## Prognózovanie
]
.author[
### Tomáš Oleš
]
.institute[
### Katedra hospodárskej politiky
]
.date[
### 2023
]

---

</style>

---
## Potrebné nástroje

```r
var_packages <- c("vars", "urca", "mFilter","tseries", "GGally", "forecast", "tidyverse", "stargazer", "xts", "svars", "bvarsv", "tsibble")                                        
not_installed <- var_packages[!(var_packages %in% installed.packages()[ , "Package"])]    
if(length(not_installed)) install.packages(not_installed) 
invisible(lapply(var_packages, library, character.only = TRUE))
```

Načitanie údajov

```r
y = read.csv("~/data/VAR_data_simulated_class.csv")
n_periods <- 400
y <- ts(y, start = 1, end = n_periods, frequency = 1)
```

---
.center[
<img src="1_week_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" width="504" />
]
---
Otestovanie stacionarity

```r
for (i in 1:3) {
  adf_result <- adf.test(y[, i])
  cat("ADF Test for Series", i, "\n")
  cat("Test Statistic:", adf_result$statistic, "\n")
  cat("P-value:", adf_result$p.value, "\n")
  cat("Critical Values:", adf_result$critical, "\n")
  cat("Is the series stationary?", adf_result$p.value < 0.05, "\n\n")
}
```

```
## ADF Test for Series 1 
## Test Statistic: -6.62849 
## P-value: 0.01 
## Critical Values: 
## Is the series stationary? TRUE 
## 
## ADF Test for Series 2 
## Test Statistic: -7.364723 
## P-value: 0.01 
## Critical Values: 
## Is the series stationary? TRUE 
## 
## ADF Test for Series 3 
## Test Statistic: -4.740779 
## P-value: 0.01 
## Critical Values: 
## Is the series stationary? TRUE
```

---

Štruktúra údajov

```r
str(y)
```

```
##  Time-Series [1:400, 1:3] from 1 to 400: 0 0 0 1.15 1.08 ...
##  - attr(*, "dimnames")=List of 2
##   ..$ : NULL
##   ..$ : chr [1:3] "y1" "y2" "y3"
```

```r
head(y)
```

```
## Time Series:
## Start = 1 
## End = 6 
## Frequency = 1 
##          y1          y2         y3
## 1 0.0000000  0.00000000 0.00000000
## 2 0.0000000  0.00000000 0.00000000
## 3 0.0000000  0.00000000 0.00000000
## 4 1.1529362 -0.02884155 0.07050839
## 5 1.0833299  0.67934843 0.14338941
## 6 0.6718484 -1.51712267 1.73957619
```

---

---
## Autoregresný proces

- jednoduchý spôsob na zobrazenie závislosti medzi dvoma nasledujucimi procesmi:

`$$y_t = \mu_o + \phi_1 y_{t-1} + \epsilon_t$$` <br> kde `$\epsilon_t$` je biely šum s konštantnou varianciou a priemerom

- tento proces nazývame:
  + jednoduchý autotoregresný proces prvého rádu (first-order)
  + `$AR(1) \rightarrow$` jedno oneskorenie (lag) `$y_t$`
  + je stacionárny ak `$\mid \phi_1 \mid <1$`
--

- vo všeobecnosti: `$$y_t = \mu_0 + \phi_1 y_{t-1}+...+\phi_p y_{t-p} + u_t$$` `$$y_t = \mu_0 + \sum_{i=1}^p\phi_iL^iy_t + u_t$$`

---
## VAR

- systém regresných modelov (viac ako jedna premenná)

- množina lineárnych dynamických rovníc, kde každá premenný je špecifikovaná ako funkcia **všetkých ostatných premenných** a **rovnakého počtu oneskoreni**

- to znamená všeky premenné sú **endogenne** (determinované v rámci systému)
---

## VAR s dvoma premennými (bi-variate)

`$$y_{1t} = \beta_{10} + \beta_{11}y_{1t-1} + \alpha_{11}y_{2t-1} + u_{1t}$$` 
`$$y_{2t} = \beta_{20} + \beta_{21}y_{2t-1} + \alpha_{22}y_{1t-1} + u_{2t}$$`
- všimnite si, že:

+ v jednopremennom `$AR(1)$`, sú 2 neznáme premenné `$\mu_0$` a `$\phi_1$`.
   
   + v dvojpremennom `$VAR(1)$`, je 6 neznámych premenných `$$\beta_{10}, \beta_{11}, \alpha_{11}$$`  `$$\beta_{20}, \beta_{21}, \alpha_{22}$$`.

---
## VAR modely vyšších rádov
- jednopremenný `$AR(p)$`
`$$y_t = \mu_0 + \phi_1 y_{t-1}+...+\phi_p y_{t-p} + \epsilon_t$$`
- dvojpremenný `$VAR(p)$`

`$$y_{1t} = \beta_{10} + \beta_{11}y_{1t-1} + \alpha_{11}y_{2t-1} + ... + \beta_{11}y_{1t-p} + \alpha_{11}y_{2t-p}  + u_{1t}$$` 
`$$y_{2t} = \beta_{20} + \beta_{21}y_{2t-1} + \alpha_{21}y_{1t-1} + ... +  \beta_{21}y_{2t-p} + \alpha_{22}y_{1t-p} + u_{2t}$$`

Je potrebné si uvedomiť, že s VAR model nemusí mať len dve premenné, s ich počtom počet parametrov rastie, čo môže viesť k **vyčerpaniu počtu stupňov voľnosti**. 
---
## VAR: maticový zápis
- dvojpremenný VAR(1) model:
`$$y_{1t} = \beta_{10} + \beta_{11}y_{1t-1} + \alpha_{11}y_{2t-1} + u_{1t}$$` 
`$$y_{2t} = \beta_{20} + \beta_{21}y_{2t-1} + \alpha_{22}y_{1t-1} + u_{2t}$$`
- v maticovej podobe
`$$\begin{pmatrix} y_{1t} \\ y_{2t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta_{10} \\ \beta_{20}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \beta_{11} & \alpha_{11}\\ \beta_{21} & \alpha_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_{1t-1} \\ y_{2t-1}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} u_{1t} \\ y_{ut}\end{pmatrix}$$`

`$$\mathbf{Y_t} = \mathbf{\beta_0} + \mathbf{\beta_1}\mathbf{Y_{t-1}} + \mathbf{u_t}$$`
---
## VAR s exogénnymi premennými

- VAR modely môžu byť špevifikované ako súčasná hodnota všetkých endogénnych premenných, v našom prípade `$y_{1t}$` a `$y_{2t}$` ako: 
  + ich vlastná história, **a**
  + súčasná a minulá hodnota exogennych premenných `$X_t$`. 
  
- VAR model prvého rádu, kde je súčastná hodnota ovplyvňovaná jedným oneskorením edogénných premenných a súčastnou hodnotou exogénnych premenných môžeme zapísať: 
`$$\mathbf{Y_t} = \mathbf{\beta_0} + \mathbf{\beta_1}\mathbf{Y_{t-1}} + \mathbf{\Omega}\mathbf{X_{t}} + \mathbf{u_t}$$`
---
## Počet pozorovaní a počet lagov

- ak je `$T$` pozorovaní pre všetky premenné, plný počet pozorovaní bude dostupný len pre `$t=p + 1$`, `$t=p + 2$`, `$...$`, `$T$`, resp. `$VAR(p) \rightarrow T-p$` na odhad všetkých neznámych parametrov, `$\beta_0, \beta_1,...,  \beta_p$`.

- počet lagov by mal byť "správny":
 + príliš málo = autokorelacia (neefektívnosť);
 + príliš veľa = nedostatok stupňov voľnosti.

- "správny" počet lagov je ten, ktorý minimalizuje AIC (goodness of fit vs. complexitou; resp. variance vs. bias tradeoff):
`$$MAIC = ln(|\hat{\sum}|) + 2k/(T-p)$$`
  + `$k$` je celkový počet parametrov vo všetkých rovniciach VAR modelu
  + `$T-p$` je počet pozorovaní použitých na odhad
  
---
## Príklad: výberu lagov

Preskúmanie variability v údajoch

```r
for (i in 1:3) {
acf(y[, i])
pacf(y[, i])
}
```
---

--- 
### Výber správneho lagov

```r
lagselect <- VARselect(y, lag.max = 10, type = "none")
lagselect$selection
```

```
## AIC(n)  HQ(n)  SC(n) FPE(n) 
##      3      3      3      3
```

---
## Stabilita VAR systému

`$$\mathbf{Y_t} = \mathbf{\beta_0} + \mathbf{\beta_1}\mathbf{Y_{t-1}} + \mathbf{u_t}$$`
- systém je stabilný len pokiaľ je koreň (root)  ( `$|\mathbf{\beta_1}- \lambda I| = 0$` ) `$\beta_1$` menší ako `$1$` v absolútnej hodnote

---
## Príklad: odhad VAR modelu

```r
estim_var <- VAR(y, p = 3, type = "none")
summary(estim_var)
```

Test stability VAR modelu ako celku

```r
roots1 <- roots(estim_var, modulus = TRUE)
summary(roots1)
```

```
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.3664  0.4477  0.4533  0.6062  0.8253  0.8896
```

---

```r
summary(estim_var[["varresult"]][["y2"]])
```

```
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ -1 + ., data = datamat)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.6432 -0.6600  0.0652  0.7183  2.5665 
## 
## Coefficients:
##        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## y1.l1 -0.055091   0.048716  -1.131   0.2588    
## y2.l1 -0.343084   0.049618  -6.914 1.94e-11 ***
## y3.l1  0.004598   0.043208   0.106   0.9153    
## y1.l2  0.372513   0.057977   6.425 3.86e-10 ***
## y2.l2  0.278253   0.047781   5.823 1.21e-08 ***
## y3.l2 -0.100953   0.043167  -2.339   0.0199 *  
## y1.l3 -0.013667   0.052853  -0.259   0.7961    
## y2.l3 -0.192446   0.045917  -4.191 3.44e-05 ***
## y3.l3 -0.028951   0.043216  -0.670   0.5033    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.9944 on 388 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5414, Adjusted R-squared:  0.5308 
## F-statistic:  50.9 on 9 and 388 DF,  p-value: < 2.2e-16
```
---
Test stability jednotlivých čašových radov

```r
structbreak1 <- stability(estim_var, type = "OLS-CUSUM")
plot(structbreak1)
```

<img src="1_week_files/figure-html/unnamed-chunk-15-1.png" width="504" />
---
## Test kauzality

Nech máme nasledovný VAR(3) model. Je náročné zistiť, ktorá premenná spôsobuje ktorú:

`$$\begin{pmatrix} y_{1t} \\ y_{2t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta_{10} \\ \beta_{20}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \beta_{11} & \beta_{11}\\ \beta_{21} & \beta_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_{1t-1} \\ y_{2t-1}\end{pmatrix} +    \begin{pmatrix} \gamma_{11} & \gamma_{11} \\ \gamma_{21} & \gamma_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1t-2} \\ y_{2t-2} \end{pmatrix} +  \\  \begin{pmatrix} \delta_{11} & \delta_{11}\\ \delta_{21} & \delta_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_{1t-3} \\ y_{2t-3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_{1t} \\ y_{ut}\end{pmatrix}$$`

Ak chceme zistiť či oneskorenia `$y_{1t}$` spôsobujú súčastnú hodnotu `$y_{2t}$`, ako vyzerá F-test?

Koľko máme všetkých kombinácií na F-test?
---
## Grangerova kauzalita:

Granger (1969)
- testuje všetky štyri hypotézy v rámci F-testu 
- Grangerova kauzalita skúma: "Spôsobujú (grager-cause) zmeny v `$y_{1}$` zmeny v `$y_{2}$`"?
- ak `$y_{1}$` grangerovo spôsobuje `$y_{2}$`, oneskorenia `$y_{1}$` by mali byť významné (aspoň jedno) resp. ak `$y_{2}$` grangerovo spôsobuje `$y_{1}$`, oneskorenia `$y_{2}$` by mali byť významné (aspoň jedno)  
- ak sú v oboch rovniciach oneskorenia významné kauzalita je obojsmerná (bi-directional)

---
## Príklad: grangerova kauzalita

```r
granger_y1 <- causality(estim_var, cause = "y1")
granger_y1
```

```
## $Granger
## 
##  Granger causality H0: y1 do not Granger-cause y2 y3
## 
## data:  VAR object estim_var
## F-Test = 12.058, df1 = 6, df2 = 1164, p-value = 3.532e-13
## 
## 
## $Instant
## 
##  H0: No instantaneous causality between: y1 and y2 y3
## 
## data:  VAR object estim_var
## Chi-squared = 1.4203, df = 2, p-value = 0.4916
```
---

```r
granger_y2 <- causality(estim_var, cause = "y2")
granger_y2
```

```
## $Granger
## 
##  Granger causality H0: y2 do not Granger-cause y1 y3
## 
## data:  VAR object estim_var
## F-Test = 0.87282, df1 = 6, df2 = 1164, p-value = 0.5142
## 
## 
## $Instant
## 
##  H0: No instantaneous causality between: y2 and y1 y3
## 
## data:  VAR object estim_var
## Chi-squared = 0.29627, df = 2, p-value = 0.8623
```
---
## Funkcia reakcie na impulz (Impulse Response Functions (IRFs))

- VAR modely sa ťažko interpretujú
- jedným z riešení je nasimulovať funkcie reakcie na impulz (IRFs) a dekompozíciu variancie
- funkcia reakcie na impulz skúma ako závislá premenná reaguje v rámci VAR systém na šok v náhodnej zložke `$u_t$` (jednotkový a kladný)
- tento rovnaký šok je simulovaný pre každú premennú s výsledky sa uložia

---
## IRFs

Uvažujme nasledovný VAR(1) model 
`$$y_{1t} = \beta_{10} + \beta_{11}y_{1t-1} + \alpha_{11}y_{2t-1} + u_{1t}$$` 
`$$y_{2t} = \beta_{20} + \beta_{21}y_{2t-1} + \alpha_{22}y_{1t-1} + u_{2t}$$`

- zmena v `$u_{1t}$` ihneď zmení `$y_{1}$`; to spôsobí zmenu oboch `$y_{1}$` a `$y_{2}$` v ďalšom období
- môžeme skúmať ako dlho, a do akej miery každá premenná ovlyvňuje celý systém premnených

---
## Príklad: IRFs

```r
y1irf <- irf(estim_var, impulse = "y1", response = "y2", n.ahead = 20, boot = TRUE)
plot (y1irf, ylab = "y2", main = "Shock to y1")
```

<img src="1_week_files/figure-html/unnamed-chunk-18-1.png" width="504" />
---
## Dekompozícia variancie

- skúma aká časť (proporcia) pohybu závislej premennej je vysvetlená vlstnými šokmi a šokmi v ostatných premenných, hovorí o relatívnej významnosti vo (prognóze) vývoji závislej premennej vo VAR modeli

---
## Príklad: dekompozícia variancie

```r
fevd_var1 <- fevd(estim_var, n.ahead=10)
plot(fevd_var1)
```

<img src="1_week_files/figure-html/unnamed-chunk-19-1.png" width="450px" />
---
## Prognózovanie s VAR modelmi

```r
forecast(estim_var) %>%
  autoplot() + xlab("Time")
```

---
## Výhody VAR modelovania

-  žiadna potreba identifikácie exogénnej a endogénnej premennej, nakoľko sú všetky endogénne

- nakoľko tam nie je žiaden člen s nulovým počtom oneskorení (contemporaneous) je možné to odhadnúť OLS estimátorom

- veľmi dobrý spôsob na prognźovanie (vs. veľké štruktúrne modely)

---
## Nevýhody VAR modelovania

- väčšina ekonomickách procesov má nestacionárny charakter*(BVAR)

- a-teoretickosť* (SR-VAR)

- výber lagov je často problematický

- príliš veľa parametrov, v prípade `$g$` premenných a `$k$` oneskorení, musíme odhadnúť `$(g+kg^2)$` parametrov

- zmiešaná povaha šokov* (SVAR)

- náročná interpretácia samotných parametrov VAR modelu (IRFs, FVD)

---

## Štruktúrne VAR modely

- Sims(1980) navrhol štrukturne VAR modely ako alternatívu k štruktúrnym makroekonomickým modelom

- výhoda SVAR modelov spočíva v tom, že dokážu presne izolovať, šoky (polík) a následne skúmať empirické regularity v makrosystéme

- zavádzajú teoretické očakávania na formulovanie krátkodobých a dlhodobých obmedzení, ktoré sú vlastne podstatou ich (správnej) identifikácie

--- 
---

## Štruktúrna forma modelu

- uvažujme, že `$y_{1,t}, y_{2,t}$` sú ovplyvnené súčasnou (contemporaneous) hodnotou a aj minulou hodnoutou druhej premennej:
`$$y_{1,t} = b_{10} - b_{12} y_{2,t} + \gamma_{11}y_{1,t-1} + \gamma_{12}y_{2,t-1} + \varepsilon_{1,t} \\
y_{2,t} = b_{20} - b_{21} y_{1,t} + \gamma_{21}y_{1,t-1} + \gamma_{22}y_{2,t-1} + \varepsilon_{2,t}$$`

- v prípade ak `$y_{1,t}$` a  `$y_{2,t}$` sú stacionárne, `$\varepsilon_{1,t}; \varepsilon_{2,t}$` sú náhodné (bielym šumom). Tak v prípade ak `$b_{12} \neq 0$` tak musí platiť, že efekt `$\varepsilon_{2,t}$` je nepriamy efekt `$\varepsilon_{2,t}$` na vývoj premennej `$\varepsilon_{1,t}$`.

- jediný problém je, že sa to nedá odhadnúť, preto musíme vytvoriť redukovanú formu modelu 
---
## Redukovana forma modelu

`$$B {\bf{y}}_t = \Gamma_0 + \Gamma_1 {\bf{y}}_{t-1} + \varepsilon_t$$`, 
kde 
`$$B =\begin{pmatrix} 1 & b_{12} \\b_{21} & 1
    \end{pmatrix}, {\bf{y}}_{t-1} = \begin{pmatrix} y_{1,t} \\
    y_{2,t} \end{pmatrix},  \Gamma_0 = \begin{pmatrix} b_{10} \\
    b_{20} \end{pmatrix}$$`
  
   `$$\Gamma_1 = \begin{pmatrix}  \gamma_{11} & \gamma_{12} \\
    \gamma_{21} & \gamma_{22} \\ \end{pmatrix}, \varepsilon_t = \begin{pmatrix} \varepsilon_{1,t} \\
    \varepsilon_{2,t}\end{pmatrix}$$`

prenásobením `$B^{-1}$` získame *redukovanu formu*:
`$${\bf{y}}_t = A_0 + A_1 {\bf{y}}_{t-1} + {\bf{u}}_t$$`
`$$y_{1,t} = a_{10} + a_{11}y_{1,t-1} + a_{12}y_{2,t-1} + u_{1,t}  \\
y_{2,t} = a_{20} + a_{21}y_{1,t-1} + a_{22}y_{2,t-1} + u_{2,t}$$`
---
dôležité je podrobne sa pozrieť na identifikované šoky, vieme že platí `${\bf{u}}_t = B^{-1}\varepsilon_t$`:
`$$\begin{pmatrix} u_{1,t} \\
    u_{2,t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & b_{12} \\
    b_{21} &1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \varepsilon_{y,t} \\
    \varepsilon_{2,t} \end{pmatrix}$$`
`$$u_{1,t} = (\varepsilon_{1,t} - b_{12}\varepsilon_{2,t})/(1-b_{12}b_{21})\\ 
u_{2,t} = (\varepsilon_{2,t} - b_{21}\varepsilon_{1,t})/(1-b_{12}b_{21})$$`

---

### Identifikácia SVAR modelu

Sims (1980) ukázal, že ak v štruktúrnej forme obmedzíme niektoré z parametrov tak je možné presne identifikovať, celý systém, skúsme teda stanoviť `$\small {b}_{21} = 0$`.

`$$y_{1,t} = b_{10} - b_{12} y_{2,t} + \gamma_{11}y_{1,t-1} + \gamma_{12}y_{2,t-1} + \varepsilon_{1,t} \\ y_{2,t} = b_{20} \hspace{1.5cm} + \gamma_{21}y_{1,t-1} + \gamma_{22}y_{2,t-1} + \varepsilon_{2,t}$$` 
kde

`$$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & - b_{12} \\
    0 &1\end{pmatrix}$$`
    
redukovaná forma je potom:

`$$\small \begin{pmatrix} y_{1,t} \\ y_{2,t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  b_{10}-b_{12}b_{20} \\ b_{20} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \gamma_{11} - b_{12} \gamma_{21} & \gamma_{12} - b_{12} \gamma_{22} \\ \gamma_{21} & \gamma_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \varepsilon_{1,t} -b_{12} \varepsilon_{2,t} \\ \varepsilon_{2,t} \end{pmatrix}$$`
všimnite si, že `$u_{2,t} = \varepsilon_{2,t}$`:

`$$\begin{pmatrix} u_{1,t} \\ u_{2,t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & b_{12} \\ 0 &1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \varepsilon_{1,t} \\ \varepsilon_{2,t}\end{pmatrix}$$` 
---
### Načitanie údajov

Uvažujme nasledovny vzťah:
`$$gdp_{t} = b_{10} - b_{12} unrate_{t} + \gamma_{11}gdp_{t-1} + \gamma_{12}unrate_{t-1} + \varepsilon_{1,t} \\
gdp_{t} = b_{20} - b_{21} gdp_{t} + \gamma_{21}unrate_{t-1} + \gamma_{22}unrate_{t-1} + \varepsilon_{2,t}$$`

```r
us <- read.csv("~/data//us_data_unemp_gdp.csv")
gdp <-  ts(us$gdp, start = c(1948,1,1),  frequency = 4)
unrate <- ts(us$unrate, start = c(1948,1,1),  frequency = 4)
us <- ts(us, start = c(1948,1,1),  frequency = 4)
```
---
## Zobrazenie údajov
.pull-left[

```r
plot(gdp)
```

<img src="1_week_files/figure-html/unnamed-chunk-23-1.png" width="400px" />
]

.pull-right[

```r
plot(unrate)
```

<img src="1_week_files/figure-html/unnamed-chunk-24-1.png" width="400px" />
]
---
Otestovanie stacionarity

```r
for (i in 1:2) {
  adf_result <- adf.test(us[, i])
  cat("ADF Test for Series", i, "\n")
  cat("Test Statistic:", adf_result$statistic, "\n")
  cat("P-value:", adf_result$p.value, "\n")
  cat("Critical Values:", adf_result$critical, "\n")
  cat("Is the series stationary?", adf_result$p.value < 0.05, "\n\n")
}
```

```
## Warning in adf.test(us[, i]): p-value smaller than printed p-value
```

```
## ADF Test for Series 1 
## Test Statistic: -6.974693 
## P-value: 0.01 
## Critical Values: 
## Is the series stationary? TRUE 
## 
## ADF Test for Series 2 
## Test Statistic: -3.497031 
## P-value: 0.04336627 
## Critical Values: 
## Is the series stationary? TRUE
```

---

# Stanovenie reštrikcie

Uvažujme, že `$unrate_t$` nemá žiaden vplyv na súčastný vývoj `$gdp_t$`

```r
amat <- diag(2)
amat
```

```
##      [,1] [,2]
## [1,]    1    0
## [2,]    0    1
```

```r
amat[1,2] <- NA
#Koeficient v hornom trojuholniku amat[1,2] bude odhadnuty, b_{21} = 0
amat
```

```
##      [,1] [,2]
## [1,]    1   NA
## [2,]    0    1
```

--- 
---

### Výber oneskorenia

```r
lagselect_svar <- VARselect(us, lag.max = 10, type = "none")
lagselect_svar$selection 
```

```
## AIC(n)  HQ(n)  SC(n) FPE(n) 
##     10      4      4     10
```
---

### Odhad modelu

```r
estim_var_reduced <- VAR(us, p=5, season = NULL, exog = NULL, type = "none")
SVARmodel <- SVAR(estim_var_reduced, Amat = amat, estmethod = c("scoring", "direct"))
SVARmodel
```

```
## 
## SVAR Estimation Results:
## ======================== 
## 
## 
## Estimated A matrix:
##        gdp  unrate
## gdp      1 0.04385
## unrate   0 1.00000
```
--- 
---

### IRFs

```r
SVARunrateirf <- irf(SVARmodel, impulse = "unrate", response = "unrate", n.ahead = 40)
plot(SVARunrateirf)
```

---

```r
SVARgdpirf <- irf(SVARmodel, impulse = "gdp", response = "unrate", n.ahead = 40)
plot(SVARgdpirf)
```

--- 
---
##TVP-VAR odkaz pre vašnivych pokračovatelov a pokračovatelky

- [The Times They Are a-Changin’: III. TVP-VAR models: Jaromir Baxa ](https://dl1.cuni.cz/pluginfile.php/1650417/mod_resource/content/1/12_C_TVPVARmodels_html.html)

.center[
<img src="img/Picture 1_Oles.png" width="400px" />
]

---

---
## TVP-VAR Okunov zákon

```r
library(bvarsv)
library(graphics)
okun_bvar_sv <- bvar.sv.tvp(us, p=2, nburn = 5000, nrep = 10000) 
```

```
## [1] "2023-11-22 22:01:31 -- now starting MCMC"
## [1] "2023-11-22 22:01:44 -- now at iteration 5000"
## [1] "2023-11-22 22:02:11 -- now at iteration 15000"
```
---

```r
irf_u_g_1964f <- impulse.responses(okun_bvar_sv, impulse.variable = 1, response.variable = 2, nhor = 20, t=84,draw.plot=FALSE)$irf #1q1964
irf_u_g_1964 <- apply(as.matrix(irf_u_g_1964f),2,median)

irf_u_g_2002f <- impulse.responses(okun_bvar_sv, impulse.variable = 1, response.variable = 2, nhor = 20, t=218,draw.plot=FALSE)$irf #2q2002
irf_u_g_2002 <- apply(as.matrix(irf_u_g_2002f),2,median)

irf_u_g_1985f <- impulse.responses(okun_bvar_sv, impulse.variable = 1, response.variable = 2, nhor = 20, t=148)  #1q1985 
lines(x = 1:20, y = irf_u_g_1964, lwd = 3, lty = 9) #bodkovana ciara je pre rok 1964
lines(x = 1:20, y = irf_u_g_2002, lwd = 3, lty = 4) #bodkovano prerusovana ciara pre 2002
```

---
## Otázky?
![](https://media.giphy.com/media/ClsJK65OpimsZhP423/giphy.gif)

---

# Referencie

- [Handbook of Research Methods and Applications in Empirical Macroeconomics: Luetkepohl, H.  ](https://cadmus.eui.eu/bitstream/handle/1814/19354/ECO_2011_30.pdf?...1)

- [Forecasting: Principles and Practice: Hyndman, R. a Athanasupoulos, G.](https://otexts.com/fpp3/advanced.html)

- [VAR and VEC Models: Abdel-Latif, H.](https://www.youtube.com/watch?v=XK3cEJw93jA&t=4391s&ab_channel=Hanomics)

- [Structural vector autoregression models: Kotzé, K.](https://kevinkotze.github.io/ts-8-svar/)
---