Seja \(\Omega=[-1,1]\), \(\mathcal{A}=\mathcal{B}[-1,1]\) e \(P\) uma probabilidade tal que \(P(\{1\})=1/3,\;P(\{-1\})=P(\{0\})=1/6\). Calcule \(EX\) no caso em que \(X=\lim_{n\to \infty}X_{n}(\omega)\), onde \(X_n(\omega)=|\omega|^{1/n}, \omega \in \Omega, \;n=2,3,\cdots.\)
Para cada \(\omega\) fixo a sequência \(\{X_n(\omega)\}_{n\geq 2}^{\infty}\) é monótona não decrecente, afinal:
Com \(n_2>n_1\), isto é, \((1/n_2 < 1/n_1 )\): \[ \text{Para cada } \; \omega \;\text{fixo},\; |\omega| \in [0,1] \implies |\omega|^{1/n_2} \geq |\omega|^{1/n_1} \implies X_{n_2}(\omega) \geq X_{n_1}(\omega). \]
Além disso \(X=lim_{n\to \infty}X_n\). Logo, pelo Teorema da Convergência Monótona (T.C.M), segue que
\[ EX=E[\lim_{n\to \infty}X_n]=\lim_{n\to \infty}E[X_n]. \]
Calculemos, agora a esperança de cada \(X_n\), para cada \(n \in \{2,3,\cdots\}\):
\[ \begin{align} E[X_{n}]&=\int\limits_{\Omega}X_{n}({\omega})dP({\omega})\\ &=\int\limits_{\Omega}|\omega|^{1/n}f_{W}(\omega)d\omega, \qquad W \sim U[-1,1].\\ &=\int\limits_{-1}^{1}|\omega|^{1/n}f_{W}(\omega)d\omega\\ &=\int\limits_{-1}^{0}(-\omega)^{1/n}\frac{1}{2}(\omega)d\omega+ \int\limits_{0}^{1}\omega^{1/n}\frac{1}{2}(\omega)d\omega\\ &=\frac{1}{2}\dfrac{(-1)^{1/n}\omega^{1/n +1}}{1/n+1}\bigg|_{\omega \to -1}^{\omega \to 0}\;\;\;+\;\; \frac{1}{2}\dfrac{\omega^{1/n +1}}{1/n+1}\bigg|_{\omega \to 0}^{\omega \to 1}\\\\ &=-\frac{1}{2}\dfrac{(-1)^{1/n}(-1)^{1/n+1}}{1/n+1} + \frac{1}{2}\dfrac{1^{1/n+1}}{1/n+1}\\\\ &=(-1)^2\frac{1}{2}\dfrac{[(-1)^2]^{1/n}}{1/n+1} + \frac{1}{2}\dfrac{1}{1/n+1}\\\\ &=\dfrac{1}{1/n+1}, \quad \forall n\in \{2,3,\cdots\}. \end{align} \]
Portanto, \[ \begin{align} E[X]&=\lim_{n\to \infty}\bigg(\dfrac{1}{1/n+1}\bigg)\\ &=1. \end{align} \]
N <- 6 # Fixando 6 omegas gerados de uma uniforme U[-1,1].
w <- runif(N, min = -1, max = 1)
# X_n(w) para cada omega e n fixos.
X_n.w <- function(n){ ( abs(w) )^(1/n) }
n <- 1e5 # tamanho da amostra
EX <- sapply(2:(n+1), X_n.w)[,n]
# Esperanca EX para cada um dos 6 omegas fixos e gerados da U[-1,1]
# (Aqui n "bem grande"!)
EX## [1] 0.9999918 0.9999913 0.9999974 0.9999988 0.9999997 0.9999764