No geral, \[ \begin{eqnarray*} E(X_{(1)}X_{(n)})&=&\int_0^{\theta}\int_0^y xyf_{X_{(1)},X_{(n)}}(x,y)dxdy=\int_0^{\theta}\int_0^y xyn(n-1)[F(y)-F(x)]^{n-2}f(x)f(y)dxdy\\ &=&\frac{n(n-1)}{\theta^n}\int_0^{\theta}\int_0^y xy(y-x)^{n-2}dxdy=\frac{\theta^2}{n+2}\,. \end{eqnarray*} \]
Temos que \(X_{(1)}\) é a menor estatística de ordem e \(X_{(n)}\) é a maior estatística de ordem. \[ X_{(1)}:=min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} \qquad \text{e} \qquad X_{(n)}:=max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} \]
Tomando \(X_{(1)}=Z\) e \(X_{(n)}:=W\), tem-se \[ \begin{eqnarray*} E[ZW]&=&\int_0^{\theta}\int_0^w zwf_{Z,W}(z,w)dzdw=\int_0^{\theta}\int_0^w zw\; n (n-1)[F(w)-F(z)]^{n-2}f(z)f(w)dzdw\\ &=&\frac{n(n-1)}{\theta^n}\int_0^{\theta}\int_0^w zw(w-z)^{n-2}dzdw=\frac{\theta^2}{n+2}. \end{eqnarray*} \]
onde \(F(\cdot)\) é a função de distribuição das v.a’s \(X\) e \(Y\) e \(f(\cdot)\) é a densidade das v.a’s \(X\) e \(Y\). Para \(n=2\) e \(\theta=1\) ( nosso caso ), segue que
\[ E[ZW]=2\int_0^{1}\int_0^w zw\;dz\;dw=\frac{1}{4}. \]
# geracao de valores da uniforme U(0,1)
N <- 1e7
X <- runif(N,0,1)
Y <- runif(N,0,1)
# minimo e o maximo entre X e Y
Z <- pmin(X,Y)
W <- pmax(X,Y)
# esperanca estimada
#(Lei dos Grandes Numeros => media amostral converge para media populacional)
EZ.est <- mean(Z) # media amostral de Z
EW.est <- mean(W) # media amostral de W
# momento cruzado
EZW.est <- mean(Z*W)
# variancias estimadas de Z e W
VarZ.est <- var(Z)
VarW.est <- var(W)
# Coeficiente de correlacao estimado
corrX_Y.est <- ( EZW.est - (EZ.est)*(EW.est) ) / (VarZ.est * VarW.est)^(1/2)
corrX_Y.est## [1] 0.5000523