Pregunta 1

El 60% de las empresas de Chile son pymes (pequeñas y medianas empresas), y el 20% de todas las empresas venden al extranjero, esto es, son exportadoras. Si el 30% de las empresas exportadoras son pymes, ¿qué porcentaje de las pymes son exportadoras?

Solución 1

El enfoque más simple es con teoría de conjuntos.

Sean:
M = {Empresas pyme}
E = {Empresas exportadoras}
U = {Empresas de Chile (conjunto universo)}

Según el enunciado, sabemos que: \[\frac{|M|}{|U|} = 0.6\] \[\frac{|E|}{|U|} = 0.2\] \[\frac{|M \cap E|}{|E|} = 0.3\] Queremos saber el porcentaje de las pymes que son exportadoras, esto es, \(\frac{|M \cap E|}{|M|}\).

Multiplicamos el porcentaje conocido, \(\frac{|M \cap E|}{|E|}\), por los términos que corresponden para llegar a lo que queremos saber: \[\frac{|M \cap E|}{|E|} \cdot \frac{|E|}{|U|} \cdot \frac{|U|}{|M|} = \frac{|M \cap E|}{|M|}\] Los tres términos de la izquierda son conocidos: \[\therefore 0.3 \cdot 0.2 \cdot \frac{1}{0.6} = \frac{|M \cap E|}{|M|}\] \[\therefore \frac{|M \cap E|}{|M|} = 0.1\]

Respuesta: El 10% de las pymes son exportadoras.

Solución 2

Un problema expresado como porcentaje: porcentaje de A que es B, es equivalente a la probabilidad condicional: B dado A.

Sean:
M = Evento que una empresas sea pyme
E = Evento que una empresa sea exportadora

Por el enunciado, sabemos que: \[P(M) = 0.6\] \[P(E) = 0.2\] \[P(M|E) = 0.3\] Queremos saber la probabilidad de que una empresa es exportadora dado que es pyme, esto es, \(P(E|M)\).

Queremos saber una probabilidad condicional, y sabemos la probabilidad condicional inversa: \(P(M|E)\). Entonces aplicamos el teorema de Bayes: \[P(E|M) = \frac{P(M|E) \cdot P(E)}{P(M)}\] \[\therefore P(E|M) = \frac{0.3 \cdot 0.2}{0.6}\] \[\therefore P(E|M) = 0.1\]

Respuesta: Si una empresa es pyme, tiene una probabilidad de 10% de ser exportadora. Equivalentemente, el 10% de las pymes son exportadoras.

Pregunta 2

Un dado no simétrico tiene la siguiente función de masa de probabilidad: \[p(1) = 0.3,\ p(2) = p(3) = 0.2,\ p(4) = p(5) = p(6) = 0.1\]

  1. Calcula la esperanza de esta variable aleatoria.
  2. Calcula la varianza.
  3. Te ofrecen jugar un juego en que se tira este dado 100 veces, y cada vez que el dado sale menor o igual a 3 tienes que pagar $1.000 y cuando sale mayor o igual a 4 recibes $2.000. ¿Jugarías?

Solución

  1. Esta es una variable aleatoria discreta (llamémosla X) y su esperanza es, por definición:

\[E(X) := \sum_{i=1}^6 p_X(x_i)x_i\] \[\therefore E(X) = 0.3 \cdot 1 + 0.2 \cdot 2 + 0.2 \cdot 3 + 0.1 \cdot 4 + 0.1 \cdot 5 + 0.1 \cdot 6\]

x = 1:6
p = c(3, 2, 2, 1, 1, 1)/10
ex = sum(p*x)
ex
## [1] 2.8

\[\therefore E(X) = 2.8\]

  1. Por definición, la varianza es: \[var(X) := E([X - E(X)]^2)\] \[\therefore var(X) = \sum_{i=1}^6 p_X(x_i)(x_i - 2.8)^2\] \[\therefore var(X) = 0.3(1-2.8)^2 + 0.2(2-2.8)^2 + 0.2(3-2.8)^2 + 0.1(4-2.8)^2 + 0.1(5-2.8)^2 + 0.1(6-2.8)^2\]
s2x = sum(p*(x-ex)^2)
s2x
## [1] 2.76

\[\therefore var(X) = 2.76\]

  1. Sea Y una nueva variable aleatoria cuyos valores son los montos de dinero que se recibe o paga: \[Y = \{-1000,\ 2000\}\] La probabilidad de \(Y = -1000\) es igual a la probabilidad de \(X \le 3\), y la probabilidad de \(Y = 2000\) es igual a la probabilidad de \(X \ge 4\). Entonces la función de masa de probabilidad de Y es: \[p_Y(-1000) = p_X(1) + p_X(2) + p_X(3) = 0.3 + 0.2 + 0.2 = 0.7\] \[p_Y(2000) = p_X(4) + p_X(5) + p_X(6) = 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.3\] Entonces la esperanza de Y es: \[E(Y) = 0.7(-1000) + 0.3 \cdot 2000\] \[\therefore E(Y) = -100\] Esto es, la esperanza de Y es negativo: -100. Esto implica que al jugar el juego un número grande de veces, en promedio se pierde $100 en cada tirada, en promedio. Por consiguiente, NO conviene jugar este juego.

Pregunta 3

Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de distribución acumulada: \[F(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}\]

  1. Haz un gráfico de la función de distribución acumulada, con Excel o R.
  2. Calcula la probabilidad de que la variable esté entre 0 y 2.
  3. Obtén la función de densidad de probabilidad de esta variable.
  4. En el mismo gráfico de la parte (i), agrega el gráfico de la función de densidad.
  5. ¿Los gráficos son como esperabas?

Solución

  1. El gráfico de la función dada es:
library(ggplot2)
x = seq(-10, 10, 0.1)
Fx = 1/(1 + exp(-x))
ggplot(mapping = aes(y=Fx, x=x)) + geom_line(color="blue") + 
  geom_hline(yintercept = 0) + geom_vline(xintercept = 0) +
  xlab("X") + ylab("F(x)") + annotate(geom="text", label="F(x)", x=5, y=0.95, color="blue")

  1. Como hemos visto en clases, la probabilidad de que la variable X esté entre 0 y 2 está dada por la resta de la función de distribución acumulada: \[P(0 \le X \le 2) = F(2) - F(0)\] \[\therefore P(0 \le X \le 2) = \frac{1}{1 + e^{-2}} - \frac{1}{1 + e^{0}}\]
1/(1+exp(-2)) - 1/(1+exp(0))
## [1] 0.3807971

\[\therefore P(0 \le X \le 2) = 0.3808\]

  1. La función de densidad de probabilidad es la derivada de la función de distribución acumulada:

\[f(x) = F'(x)\] Derivamos aplicando la regla de la cadena: \[f(x) = -\frac{1}{(1 + e^{-x})^2}(-e^{-x})\] \[\therefore f(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}\]

  1. El gráfico con las dos funciones es:
x = seq(-10, 10, 0.1)
Fx = 1/(1 + exp(-x))
fx = exp(-x)/(1 + exp(-x))^2
ggplot(mapping = aes(y=Fx, x=x)) + geom_line(color="blue") + geom_line(mapping = aes(y=fx), color="red") +
  geom_hline(yintercept = 0) + geom_vline(xintercept = 0) +
  xlab("X") + ylab("F(x), f(x)") +
  annotate(geom="text", label="F(x)", x=5, y=0.95, color="blue") +
  annotate(geom="text", label="f(x)", x=2, y=0.2, color="red")

  1. Los gráficos tienen la forma que hemos visto en clases, de modo que deberían estar dentro de lo esperado.

Pregunta 4

A partir de las definiciones, demuestra las reglas de la esperanza:

  1. \[E(c) = c\]
  2. \[E(cX) = cE(X)\]
  3. \[E(X+Y) = E(X) + E(Y)\]

donde X es una variable aleatoria y c es una constante.

Solución

  1. La constante c es una variable aleatoria de un solo valor (c) y por el segundo axioma de la teoría de la probabilidad, su función de masa de probabilidad es: \[p(c) = 1\] Entonces su esperanza es, por definición: \[E(c) = p(c) \cdot c = 1 \cdot c = c\] Q.E.D.

  2. Al multiplicar a la variable X por c, se genera una nueva variable: cX. Sea Y esta variable: \[Y = cX\]

  1. Caso discreto

Los valores de Y son: \[Y = \{cx_1, cx_2,...cx_n\}\] La función de masa de probabilidad de Y es: \[p_{Y}(cx) = P(Y=cx) = P(cX=cx) = P(X=x) = p_X(x)\] Por definición: \[E(Y) = \sum_{i=1}^n p_Y(cx_i)cx_i\] \[\therefore E(Y) = \sum_{i=1}^n p_X(x_i)cx_i\] \[\therefore E(Y) = c\sum_{i=1}^n p_X(x_i)x_i\] \[\therefore E(Y) = cE(X)\] Q.E.D.

  1. Caso continuo

La función de distribución acumulada (FDA) es: \[F_Y(y) = P(Y \le y) = P(cX \le y) = P\left(X \le \frac{y}{c}\right) = F_X\left(\frac{y}{c}\right)\] Y la función de densidad de probabilidad de Y es la derivada de \(F_Y\): \[f_Y(y) = F_Y'(y)\] \[\therefore f_Y(y) = \frac{dF_X\left(\frac{y}{c}\right)}{dy}\] \[\therefore f_Y(y) = \frac{1}{c} f_X(x)\] Y la esperanza de Y está dada por: \[E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_Y(y)y\ dy\] \[E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{c} f_X(x)y\ dy\] Integrar por sustitución. Sabemos que \(y = cx\): \[\therefore dy = cdx\] \[\therefore E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{c} f_X(x)cx\ cdx\] \[\therefore E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} cf_X(x)x\ dx\] \[\therefore E(Y) = c \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)x\ dx\] \[\therefore E(Y) = c E(X)\] Q.E.D.

  1. Caso discreto

La esperanza de X + Y es: \[E(X+Y) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n p_{XY}(x_i, y_j)(x_i + y_j)\] donde \(p_{XY}(x_i, y_j)\) es la función de masa de probabilidad conjunta de X y Y. \[\therefore E(X+Y) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n p_{XY}(x_i, y_j)x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n p_{XY}(x_i, y_j)y_j\] \[\therefore E(X+Y) = \sum_{i=1}^n x_i\sum_{j=1}^n p_{XY}(x_i, y_j) + \sum_{j=1}^n y_j\sum_{i=1}^n p_{XY}(x_i, y_j)\] Por las reglas de la probabilidad marginal: \(\sum_{j=1}^n p_{XY}(x_i, y_j) = p_X(x_i)\) y \(\sum_{i=1}^n p_{XY}(x_i, y_j) = p_Y(y_j)\): \[\therefore E(X+Y) = \sum_{i=1}^n x_ip_X(x_i) + \sum_{j=1}^n y_jp_Y(y_j)\] \[\therefore E(X+Y) = E(X) + E(Y)\] Q.E.D.

  1. Caso continuo

Para X e Y continuas, la esperanza de X + Y es: \[E(X+Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y)(x + y)\ dxdy\] donde \(f_{XY}(x,y)\) es la función de densidad conjunta de X e Y. \[\therefore E(X+Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y)x\ dxdy + \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y)y\ dxdy\] \[\therefore E(X+Y) = \int_{-\infty}^{\infty} x\int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y)\ dydx + \int_{-\infty}^{\infty} y\int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y)\ dxdy\] Por la regla de la probabilidad marginal: \[\therefore E(X+Y) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\ dx + \int_{-\infty}^{\infty} yf_Y(y)\ dy\] \[\therefore E(X+Y) = E(X) + E(Y)\] Q.E.D.

Pregunta 5

Demuestra lo siguiente: \[E(X^2) = var(X) + E(X)^2\]

Solución

Partimos de la definición de la varianza: \[var(X) := E([X-E(X)]^2)\] \[\therefore var(X) = E(X^2 - 2XE(X) + E(X)^2)\] \[\therefore var(X) = E(X^2) - E(2XE(X)) + E(E(X)^2)\] \[\therefore var(X) = E(X^2) - 2E(X)E(X) + E(X)^2\] \[\therefore var(X) = E(X^2) - E(X)^2\] \[\therefore E(X^2) = var(X) + E(X)^2\] Q.E.D.

Pregunta 6

Una línea aérea tiene la problemática de siempre llenar sus vuelos. Si en un vuelo hay asientos vacíos (sin vender) la línea aérea pierde dinero. Es por eso que a los pocos días antes de un vuelo las aerolíneas venden los últimos asientos disponibles a un descuento, para intentar venderlos todos y minimizar la pérdida.

Estás a cargo de la operación de marketing de una línea aérea. 4 días antes de un vuelo, te quedan 16 asientos desocupados. Sabes por la experiencia que solamente el 80% de los pasajeros que compran un pasaje llegan al aeropuerto para tomar el vuelo; el 20% restante no llega y después cambian su pasaje para otro día.

Si vendes 20 pasajes, ¿cuál es la probabilidad de que el vuelo quede sobrevendido, o que haya asientos vacíos?

Solución

Cada pasaje vendido puede ser modelado con una variable aleatoria Bernoulli, donde 1 significa que el pasajero llega (éxito) y 0 significa que el pasajero no llega (fracaso). Como sabemos por la experiencia que el 80% de los pasajeros llegan, entonces p=0.8. Por lo tanto, los 20 pasajes vendidos se pueden modelar con una distribución binomial, con n=20, p=0.8, y el número de éxitos, x, es el número de pasajeros que llegan al aeropuerto.

Sea \[X \sim Bin(n,p)\] \[con\ n=20\ y\ p=0.8\]

Si la cantidad de pasajeros que llega es distinto al número de asientos disponibles (x=16), el vuelo quedará o sobrevendido o habrá asientos vacíos. Entonces nos interesa la probabilidad: \[P = P(X \ne 16)\] \[\therefore P = 1 - P(X = 16)\] \(P(X = 16)\) está dada por la función de masa de probabilidad de la distribución binomial: \[\therefore P = 1 - p_X(16)\] \[\therefore P = 1 - {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}\] \[\therefore P = 1 - {20 \choose 16}0.8^{16}(1-0.8)^{20-16}\]

n=20
p=0.8
x=16
P = 1 - choose(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)
P
## [1] 0.7818006

\[\therefore P = 0.7818\]

Respuesta: La probabilidad que el vuelo quede sobrevendido o haya asientos vacíos es 0.7818.