Ejercicio 2 Considerelos siguientes datos observados por estratos sobre el número de horas de capacitación o entrenamiento de un grupo de personas y la aprobación (1) o no (0) del examen. Asuma que un EST-MAS es aplicado en cada uno de los estratos. N1 = 155, N2 = 62, N3 = 93. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline y_k & 35 & 28 & 26 & 41 & 43 & 29 & 32 & 37 & 36 & 25 & 29 & 31 & 39 & 38 & 40 & 45 & 28 & 27 & 35 & 34 \\ \hline \text { Aprobar examen } & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline y_k & 27 & 4 & 49 & 10 & 15 & 41 & 25 & 30 \\ \hline \text { Aprobar examen } & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline y_k & 8 & 15 & 21 & 7 & 14 & 30 & 20 & 11 & 12 & 32 & 34 & 24 \\ \hline \text { Aprobar examen } & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \]

  1. Estime el total global y el total por cada estrato del variable número de horas de capacitación o entrenamiento
#Tamaños poblacionales de los estratos
Ne<-c(155,62,93) ; N<-sum(Ne)
# Vectores de datos
y_k <- c(35, 28, 26, 41, 43, 29, 32, 37, 36, 25, 29, 31, 39, 38, 40, 45, 28, 27, 35, 34)
aprobar_examen <- c(1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1)

E1<- rbind(y_k, aprobar_examen)

# Vectores de datos
y_k <- c(27, 4, 49, 10, 15, 41, 25, 30)
aprobar_examen <- c(1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)


# Combinar vectores en una matriz
E2 <- rbind(y_k, aprobar_examen)
# Vectores de datos
y_k <- c(8, 15, 21, 7, 14, 30, 20, 11, 12, 32, 34, 24)
aprobar_examen <- c(1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)


# Combinar vectores en una matriz
E3 <- rbind(y_k, aprobar_examen)
#Tamaños de muestras de los estratos
ne<-c(length(E1[1,]),length(E2[1,]),length(E3[1,]))

Como se aplica un ESTMAS, tenemos que : \[ \hat{t}_\pi = \sum_{e=1}^{E} \hat{t}_{\pi_e} = \sum_{e=1}^{E} N_e \bar{y}_e \]

tpi_1<-Ne[1]*mean(E1[1,])
tpi_2<-Ne[2]*mean(E2[1,])
tpi_3<-Ne[3]*mean(E3[1,])
t_pi<- sum (tpi_1,tpi_2,tpi_3)

El \(\pi\) estimador globar es :

t_pi 
## [1] 8579.25

, mientras que los estimadores por estrato son

print(cbind(tpi_1,tpi_2,tpi_3)) 
##       tpi_1   tpi_2 tpi_3
## [1,] 5254.5 1557.75  1767

ii.Varianza estimada del estimador del total global y por estrato. \[ \hat{V}(\hat{t}_\pi) = \sum_{e=1}^{E} \hat{V} ( \hat{t}_{\pi_e} ) \\ \hat{V}(\hat{t}_\pi)=\frac{{N_e}^2}{n_e}\left(1-\frac{n_e}{N_e} \right )S^2_{ym_e} \]

v_pi_1<-Ne[1]^2/ne[1] *(1- ne[1]/Ne[1])*var(E1[1,])    
v_pi_2<-Ne[2]^2/ne[2] *(1- ne[2]/Ne[2])*var(E2[1,]) 
v_pi_3<-Ne[3]^2/ne[3] *(1- ne[3]/Ne[3])*var(E3[1,]) 
v_pi<- sum (v_pi_1,v_pi_2,v_pi_3)

La varianza estimada global del pi estimador es

v_pi
## [1] 189270.8

Mientras que las varianzas por estratos son:

c(v_pi_1,v_pi_2,v_pi_3)
## [1] 36993.20 97263.88 55013.73

iii.Calcule un Intervalo de confianza del 95% para el total global. \[ IC=\hat{t}_\pi \overset{-}{+} Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\hat{V}(\hat{t}_\pi)} \]

alpha=0.05
cbind(t_pi-qnorm(1-alpha/2) *sqrt(v_pi),t_pi+qnorm(1-alpha/2) *sqrt(v_pi)  )
##          [,1]     [,2]
## [1,] 7726.562 9431.938
  1. Estime la media poblacional a partir del estimador del total y resuelvai,ii y iii.

\[ \bar{y}_{M_e} = \frac{ \hat{t}_\pi}{N_e} \] Por estratos :

cbind(tpi_1/Ne[1],tpi_2/Ne[2],tpi_3/Ne[3])
##      [,1]   [,2] [,3]
## [1,] 33.9 25.125   19

Global:

yb<-t_pi/N;yb
## [1] 27.675

Varianza:\ Por estratos

vyb1<-1/Ne[1]^2 * v_pi_1
vyb2<-1/Ne[2]^2 * v_pi_2
vyb3<-1/Ne[3]^2 * v_pi_3
vyb<-1/N^2 * v_pi
cbind(vyb1,vyb2,vyb3)
##          vyb1     vyb2     vyb3
## [1,] 1.539779 25.30278 6.360704

global:

vyb
## [1] 1.969519

Intervalo de confianza del 95% para la media:

cbind(yb-qnorm(1-alpha/2) *sqrt(vyb),yb+qnorm(1-alpha/2) *sqrt(vyb)  )
##         [,1]    [,2]
## [1,] 24.9244 30.4256
  1. Estime la proporción de personas que aprobaron el examen \[ \hat{p} = \frac{\hat{t}_\pi}{N} = \frac{1}{N}\sum_{e=1}^{E} \hat{t}_{\pi_e} =\frac{1}{N} \sum_{e=1}^{E} N_e \bar{y}_e \]
p_1<-Ne[1] * mean(E1[2,])
p_2<-Ne[3]*mean(E2[2,])
p_3<-Ne[3]*mean(E3[2,])
c(p_1,p_2,p_3)
## [1] 124.00  23.25  46.50
p_hat<- sum(p_1,p_2,p_3)/N;p_hat
## [1] 0.625

##Varianza \[ V(\hat{p}) = \frac {1}{N^2} V(\hat{t}_{\pi}) \]

v_pi_1<-Ne[1]^2/ne[1]*(1-ne[1]/Ne[1])*var(E1[2,]) 
v_pi_2<-Ne[2]^2/ne[2]*(1-ne[2]/Ne[2])*var(E2[2,])
v_pi_3<-Ne[3]^2/ne[3]*(1-ne[3]/Ne[3])*var(E3[2,]) 
v_pi<-sum(v_pi_1,v_pi_2,v_pi_3)
v_p<-v_pi/N^2;v_p
## [1] 0.004548321
  1. Calcule el CV muestral del estimador de la proporci´on estimada de personas que aprobaron el examen. 2
sqrt(v_p)/p_hat *100
## [1] 10.7906

Ejercico 3 El objetivo de un estudio es estimar el ingreso total de los hogares en una ciudad que tiene 60 bloques de casas (de tamaño variable). Se seleccionan tres bloques usando un muestreo aleatorio simple y sin reemplazo, y se realizó un censo de los hogares al interior de los bloques seleccionados. Se sabe que 5000 hogares residen en el distrito. Los resultados de la encuesta se resumen en la siguiente tabla: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { Número del bloque } & \text { Número de hogares en el bloque } & \text { Total de ingreso en el bloque } \\ \hline 1 & 120 & 2100 \\ \hline 2 & 100 & 2000 \\ \hline 3 & 80 & 1500 \\ \hline \end{array} \]

numero_bloque <- c(1, 2, 3)
numero_hogares <- c(120, 100, 80)
total_ingreso <- c(2100, 2000, 1500)

datos <- matrix(c(numero_bloque, numero_hogares, total_ingreso), ncol = 3, byrow = F)

colnames(datos) <- c("Número del bloque", "Número de hogares en el bloque", "Total de ingreso en el bloque")
datos
##      Número del bloque Número de hogares en el bloque
## [1,]                 1                            120
## [2,]                 2                            100
## [3,]                 3                             80
##      Total de ingreso en el bloque
## [1,]                          2100
## [2,]                          2000
## [3,]                          1500
  1. Estime el total de los ingresos en los hogares. Bajo el MASC, tomando los bloques como conglomerados \[ \hat{t}_\pi= \frac{N_I}{n_I}\sum_{i\in M_I}t_i \]
NI<-60
nI<-nrow(datos)
t_pi<-NI/nI * sum(datos[,"Total de ingreso en el bloque"])
t_pi
## [1] 112000
  1. Obtenga la varianza estimada del estimador del total de los ingresos. \[ \begin{aligned} & \widehat{\operatorname{Var}}\left(\hat{t}_{\pi M A S C}\right)=\frac{N_I^2}{n_I}\left(1-\frac{n_I}{N_I}\right) S_{t_{M_I}}^2 \\ & \text { con } \\ & S_{t_{M_I}}^2=\frac{1}{n_I-1} \sum_{M_I}\left(t_i-\bar{t}_{M_I}\right)^2 \mathrm{y} \bar{t}_{M_I}=\frac{\sum_{M_I} t_i}{n_I} \end{aligned} \]
v_t_pi<-NI^2/nI * (1-nI/NI) *var(datos[,"Total de ingreso en el bloque"])
v_t_pi
## [1] 117800000
  1. Calcule el coeficiente de variacion muestral del estimador del total.
sqrt(v_t_pi)/t_pi * 100
## [1] 9.690688

El coeficiente de lvariación da al rededos de 9.6%, es decir el diseño parece ser apropiado.