\(Numerical\) \(Iteration\)

Iterasi numerik dalam bidang matematika komputasi melibatkan pengulangan algoritme atau operasi numerik untuk memperkirakan solusi dari masalah matematika yang diberikan. Teknik ini sering digunakan ketika mencari solusi numerik untuk persamaan, menyelesaikan masalah optimasi, atau mensimulasikan sistem dinamis.

Iterasi numerik sering kali membutuhkan pembaruan sistematis dari perkiraan awal hingga solusi yang memuaskan diperoleh atau kriteria konvergensi tertentu terpenuhi. Proses ini terus berlanjut hingga tingkat akurasi yang diinginkan tercapai atau batas iterasi yang telah ditentukan terlampaui.

Sekarang mari kita lihat contoh iterasi numerik sederhana yang menggunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar. Dalam hal ini, kita akan menentukan akar kuadrat dari suatu bilangan.

Gunakan fungsi R/mosaic Iterate(). Argumen pertama adalah sebuah ekspresi tilde yang mendefinisikan fungsi yang akan diiterasi. Yang kedua adalah tebakan awal. Yang ketiga adalah jumlah langkah iterasi. Sebagai contoh:

better <- function(guess, x=55) {
 (guess - x)^2
}

Iterate <- function(better, guess, x0=1, n=8) {
 guess <- guess # This line is added to define the 'guess' variable inside the 'Iterate' function
 for (i in 1:n) {
    guess <- better(guess, x=x0)
    print(paste(i, '\t', guess))
 }
}

# Run the Iterate function
Iterate(better, guess=1, x0=1, n=8)
## [1] "1 \t 0"
## [1] "2 \t 1"
## [1] "3 \t 0"
## [1] "4 \t 1"
## [1] "5 \t 0"
## [1] "6 \t 1"
## [1] "7 \t 0"
## [1] "8 \t 1"

Jika ditinjau lebih jauh lagi, Numerical iteration atau iterasi numerik adalah suatu metode dalam pemrograman menggunakan bahasa R untuk mencari solusi numerik dari suatu masalah matematika atau komputasi. Iterasi numerik melibatkan pengulangan suatu proses atau perhitungan dengan nilai awal yang diberikan untuk mendekati solusi yang diinginkan. Proses ini terus diulang hingga suatu kriteria tertentu terpenuhi atau hingga mencapai batas iterasi yang ditentukan.

Langkah langkah dalam Numerical Iteration :

# Definisi fungsi matematika
f <- function(x) {
  return(x^2 - 4)
}

# Turunan fungsi (diperlukan untuk metode Newton-Raphson)
deriv <- function(f, x, h = 1e-6) {
  return((f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h))
}

# Metode Newton-Raphson untuk iterasi numerik
newton_raphson <- function(f, x0, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  for (i in 1:max_iter) {
    x1 <- x0 - f(x0) / deriv(f, x0)
    if (abs(x1 - x0) < tol) {
      break
    }
    x0 <- x1
  }
  return(x0)
}

# Nilai awal
x0 <- 2

# Panggil fungsi Newton-Raphson
solution <- newton_raphson(f, x0)

# Tampilkan hasil
cat("Solusi numerik:", solution, "\n")
## Solusi numerik: 2

Diatas adalah contoh beserta langkah-langkah dalam menyusun Numerical Iteration. 31b8e172-b470-440e-83d8-e6b185028602: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:31b8e172-b470-440e-83d8-e6b185028602

Secara keseluruhan, metode iterasi numerik merupakan alat yang vital dalam menangani masalah matematika yang kompleks atau tidak memiliki solusi analitis. Dengan menggabungkan konsep matematika, komputasi, dan bahasa pemrograman seperti R, metode iterasi numerik memungkinkan pendekatan solusi yang memadai. Pemilihan metode iterasi, definisi fungsi dengan tepat, pemahaman konvergensi, toleransi kesalahan, dan kesadaran akan keterbatasan komputasi adalah kunci keberhasilan dalam mengimplementasikan iterasi numerik. Dengan pendekatan ini, solusi numerik dapat diandalkan dan valid, memberikan kemampuan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika dengan efektif dalam dunia komputasi modern.