Fungsi perakitan

Saat kita membutuhkan fungsi baru untuk tujuan tertentu, praktis kita selalu membangunnya dari fungsi yang sudah ada. Sebagai ilustrasi, fungsi seperti

\[ f(x) \equiv A \sin\left(\frac{2 \pi}{P}x\right) + B \]

dibangun dengan merakit penskalaan masukan garis lurus \((2\pi/P)\) , Buku polasin()fungsi, dan fungsi garis lurus lainnya. \(A f(x) + B\) untuk menskalakan output dari \(sin()\).

Dalam bab ini, kita akan meninjau empat kerangka umum untuk menggabungkan fungsi: kombinasi fungsi linier, komposisi fungsi, perkalian fungsi, dan pemisahan domain “sebagian”. Anda hampir pasti telah melihat keempat kerangka ini dalam studi matematika Anda sebelumnya, meskipun Anda mungkin tidak mengetahui bahwa keempat kerangka tersebut memiliki nama.

Kombinasi linier

Salah satu jenis kombinasi yang paling banyak digunakan disebut kombinasi linier . Matematika kombinasi linier merupakan inti dari penggunaan matematika dalam berbagai macam aplikasi dunia nyata, baik itu membuat mesin pencari seperti Google atau menganalisis data medis untuk melihat apakah suatu pengobatan mempunyai efek positif. memengaruhi.

Untuk mengilustrasikan bagaimana kombinasi linier digunakan untuk membuat fungsi baru, pertimbangkan polinomial, misalnya,

\[ f(x) \equiv 3 x^2 + 5 x - 2\ . \]

Ada tiga fungsi buku pola dalam polinomial ini. Dalam polinomial, semua fungsi yang digabungkan adalah fungsi hukum pangkat: \(g_0(x) \equiv 1\) , \(g_1(x) \equiv x\), dan \(g_2(x) \equiv x^2\). Dengan mendefinisikan fungsi-fungsi ini, kita dapat menulis polinomialnya \(f(x)\) sebagai

\[f(x) \equiv 3 g_2(x) + 5 g_1(x) - 2 g_0(x)\]

Masing-masing fungsi diskalakan dengan kuantitas: 3, 5, dan -2 dalam contoh ini. Kemudian fungsi yang diskalakan dijumlahkan. Itu adalah kombinasi linier; skala dan tambahkan.

Ada tempat lain di mana Anda pernah melihat kombinasi linier:

  • Sinusoid yang diparameterisasi

\[ A \sin\left(\frac{2 \pi}{P}t\right) + B \]

adalah kombinasi linier dari fungsi-fungsi tersebut \(h_1(t) \equiv \sin\left(\frac{2 \pi}{P} t\right)\) dan \(h_2(t) \equiv 1\) Kombinasi liniernya adalah \(A,h_1(t) + B, h_2(t)\).

  • Eksponensial yang diparameterisasi

\[ A e^{kt} + B \]

Fungsi yang digabungkan adalah \(e^{kt}\) dan \(1\). Skalarnya, sekali lagi, \(A\) dan \(C\).

  • Fungsi garis lurus, misalnya \(\mbox{output}(x) \equiv A x + B\) dan \(\mbox{input}(x) \equiv a x + b\). Fungsi yang digabungkan adalah \(x\) dan \(1\), skalarnya adalah \(a\) dan \(b\).

Ada beberapa alasan bagi kami untuk memperkenalkan kombinasi linier di sini.

  1. Anda akan melihat kombinasi linier di mana-mana setelah Anda tahu cara mencarinya.

  2. Ada teori matematika yang sangat halus tentang kombinasi linier yang memberi kita cara ampuh untuk memikirkannya serta perangkat lunak komputer yang dapat dengan cepat menemukan skalar terbaik untuk digunakan dalam mencocokkan data input-output.

  3. Konsep kombinasi linier menggeneralisasi gagasan sederhana yang kita sebut “penskalaan keluaran”. Mulai sekarang, kita akan menggunakan terminologi kombinasi linier dan menghindari gagasan yang lebih sempit yaitu “menskalakan keluaran”.

  4. Banyak sistem fisik dijelaskan dengan kombinasi linier. Misalnya, gerak molekul yang bergetar, helikopter yang sedang terbang, atau bangunan yang terguncang akibat gempa bumi dijelaskan dalam istilah “mode” sederhana yang digabungkan secara linier untuk membentuk keseluruhan gerak. Lebih sederhana lagi, timbre suatu alat musik diatur oleh skalar dalam kombinasi linear nada-nada murni.

  5. Banyak tugas pemodelan yang dapat dimasukkan ke dalam kerangka memilih serangkaian fungsi sederhana yang sesuai untuk digabungkan dan kemudian mencari skalar terbaik untuk digunakan dalam kombinasi tersebut. (Umumnya, komputer yang menghitungnya.)

Komposisi Fungsi

Untuk menyusun dua fungsi, \(f(x)\) dan \(g(x)\), berarti menerapkan salah satu fungsi ke keluaran fungsi lainnya. ” \(f()\) terdiri dengan \(g()\)” cara \(f(g(x))\). Hal ini umumnya sangat berbeda dari ” \(g()\)terdiri dengan \(f()\) ” yang berarti \(g(f(x))\).

Misalnya, Anda telah mencatat suhu luar ruangan selama sehari dan mengemasnya ke dalam sebuah fungsi \(\text{AirTemp}(t)\) : suhu sebagai fungsi waktu \(t\). Termometer digital anda menggunakan derajat Celcius, tetapi anda ingin satuan keluarannya adalah derajat Kelvin. Fungsi konversinya adalah

\[ \text{CtoK}(C) \equiv C + 273.15 \]

Perhatikan bahwa CtoK() memperhitungkan suhu \(^\circ C\) sebagai masukan. Dengan ini, kita dapat menulis “Kelvin sebagai fungsi waktu” sebagai

\[ \text{CtoK}\left(\text{AirTemp}(t)\right) \]

Penting untuk membedakan waktu di atas \(\rightarrow\) Fungsi Kelvin dari sesuatu yang terlihat hampir sama namun sangat berbeda: \(\text{AirTemp}\left(\text{CtoK}(C)\right)\). Yang pertama, masukannya adalah waktu. Yang kedua adalah suhu dalam celsius.

Fungsi perkalian

Perkalian adalah metode ketiga dalam daftar metode kami untuk membuat fungsi baru. Dengan dua fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\), produknya sederhana \(f(x)g(x)\).

Penting untuk membedakan antara perkalian fungsi dan komposisi fungsi:

\[ \underbrace{f(x) g(x)}_\text{multiplication}\ \ \ \ \underbrace{f(g(x)) \ \ \text{or}\ \ \ g(f(x))}_\text{composition} \]

Dalam komposisi fungsi, hanya satu fungsi— fungsi interior yang diterapkan pada masukan keseluruhan, \(x\) dalam contoh di atas. Fungsi eksterior mendapat masukan dari keluaran fungsi interior.

Dalam perkalian, masing-masing fungsi diterapkan pada masukan secara individual. Kemudian keluarannya dikalikan untuk menghasilkan keluaran keseluruhan.

Example

Getaran sementara

Senar gitar dipetik untuk menghasilkan nada. Bunyi tersebut tentu saja merupakan getaran udara yang ditimbulkan oleh getaran senar.

Setelah dipetik, nadanya menghilang. Model penting dari hal ini adalah sinusoida (periode yang tepat agar sesuai dengan frekuensi nada) dikalikan eksponensial.

Perkalian fungsi sangat sering digunakan dalam pemodelan sehingga Anda akan melihatnya dalam banyak situasi pemodelan. Berikut salah satu contoh yang penting dalam fisika dan komunikasi: paket gelombang . Secara keseluruhan, paket gelombang merupakan osilasi terlokalisasi seperti pada Gambar  9.2 . Paket dapat dimodelkan dengan hasil kali dua fungsi buku pola: gaussian dikali sinusoid.

Gambar 9.2: Paket gelombang dibuat dengan mengalikan fungsi sinusoidal dan gaussian.

Matematika di Dunia: Memodelkan naik turunnya

Peningkatan awal popularitas platform media sosial Yik Yak terjadi secara eksponensial. Kemudian popularitasnya mendatar, menjanjikan bisnis yang stabil, meski statis, di masa depan. Namun, dengan adanya internet, popularitasnya anjlok hingga mendekati nol dan perusahaan tersebut tutup.

Salah satu cara untuk memodelkan pola ini adalah dengan mengalikan sigmoid dengan eksponensial. (Lihat Gambar  9.3 .)

Fungsi yang dikonstruksikan sebagai hasil kali fungsi sederhana dapat terlihat seperti ini dalam notasi tradisi:

\[ h(t) \equiv \sin(t) e^{-t} \]

dan seperti ini dalam notasi komputer:

h <- makeFun(sin(t)*exp(-t) ~ t)

Memisahkan Domain

Pertimbangkan fungsi nilai absolut yang sudah dikenal:

\[ abs(x) \equiv \left|x\right| \]

Ditulis seperti ini, definisi \(abs()\) adalah tautologi: kecuali Anda sudah mengetahuinya \(\left|x\right|\) artinya, Anda tidak akan tahu apa yang sedang terjadi.

Bisakah kita berkumpul \(abs(x)\) kehabisan fungsi buku pola? apa yang membedakannya \(abs(x)\) adalah jam istirahat \(x=0\). Tidak ada transisi tajam serupa dalam fungsi buku pola mana pun.

Salah satu cara untuk membangun transisi yang tajam adalah dengan melihat \(abs(x)\) sebagai dua fungsi, fungsi yang satu mempunyai  domain separuh negatif garis bilangan dan fungsi lainnya mempunyai domain separuh non-negatif. Artinya, kami akan merusak domain \(abs()\) menjadi dua bagian . Untuk bagian kanan domain, \(abs()\) cukup proporsional \((x)\). Untuk bagian kiri domain, \(abs(x)\) adalah \(–\) sebanding \((x)\).

Suatu fungsi yang didefinisikan secara terpisah pada bagian domain yang berbeda disebut fungsi sepotong-sepotong . 

\[ abs(x) \equiv \left\{\begin{array}{rl} x & \text{for}\ 0 \leq x \\- x & \text{otherwise}\\\end{array}\right. \]

Fungsi sepotong-sepotong lainnya banyak digunakan dalam pekerjaan teknis, tetapi tidak begitu familiar \(abs()\) adalah fungsi Heaviside , yang memiliki kegunaan penting dalam fisika dan teknik.

\[ \text{Heaviside}(x) \equiv \left\{\begin{array}{cl} 1 & \text{for}\ 0 \leq x \\0 & \text{otherwise}\end{array}\right. \]

Fungsi Heaviside didefinisikan pada dua bagian garis bilangan yang sama dengan \(abs()\). Di sebelah kanan nol, Heaviside identik dengan konstanta(). Di sebelah kiri, itu identik dengan \(0\) kali konstan().

Celah vertikal antara dua bagian fungsi Heaviside disebut diskontinuitas . Secara intuitif, Anda tidak dapat menggambar fungsi diskontinyu tanpa mengangkat pensil dari kertas . Diskontinuitas Heaviside terjadi pada input \(x = 0\).

Notasi Komputasi

Notasi matematika yang biasa untuk fungsi sepotong-sepotong, tersebar di beberapa baris yang dihubungkan dengan kurung kurawal tinggi, jelas bukan kandidat untuk notasi komputer. Di R, penjahitan kedua bagian dapat dilakukan dengan fungsi ifelse(). Namanya sangat deskriptif. Fungsi ini ifelse()membutuhkan tiga argumen. Yang pertama adalah pertanyaan yang diajukan, yang kedua adalah nilai yang dikembalikan jika jawabannya "ya", dan yang ketiga adalah nilai yang dikembalikan untuk jawaban "tidak".

Untuk mendefinisikan \(abs()\) atau Heaviside() pertanyaan yang relevan adalah, “Apakah masukan di sisi kanan atau kiri angka nol pada garis bilangan?” Dalam bahasa komputasi yang banyak digunakan seperti R, format untuk mengajukan pertanyaan tidak melibatkan tanda tanya. Misalnya, untuk mengajukan pertanyaan, “apakah 3 kurang dari 2?” gunakan ekpresi:

3 < 2

Dalam notasi matematika, \(3<2\) adalah pernyataan deklaratif undefined