Enunciado

Uma carta é selecionada entre \(n\) cartas numeradas de \(1\) a \(n\). Se esta carta for \(k\), uma segunda carta é selecionada de \(1\) a \(k\). Seja \(X\) o número da primeira carta e \(Y\) o número da segunda carta. Calcule \(\mathbb{E}[X],\mathbb{E}[Y]\) e \(\mathbb{E}[V]\), \(V=X-Y\).

Solução

Para a primeira carta escolhida, tem-se \[ \begin{align} P(X=k)=\begin{cases} \dfrac{1}{n}, &\text{se}\;\;k=1,2,\cdots,n,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \end{align} \]

de modo que

\[ \begin{align} \mathbb{E}[X]&=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k P(X=k)\\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}k \frac{1}{n}=\frac{1}{n}\frac{(1+n)n}{2}\\ &=\frac{1+n}{2}. \end{align} \]

Para a segunda carta, observe que

\[ \begin{align} P(Y=i\;|\;X=k)=\begin{cases} \dfrac{1}{k}, &\text{se}\;\;i=1,2,\cdots,k,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \end{align} \]

Logo,

\[ \begin{align} P(Y=i)&=\sum\limits_{k=1}^{\infty}P(Y=i,X=k)\\ &=\sum\limits_{k=1}^{\infty}P(Y=i\;|\;X=k)P(X=k)\\ &=\begin{cases} \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n\;k},& \text{se}\;\;i=1,2,\cdots,k\\\\ 0,& \text{caso contrário}. \end{cases} \end{align} \]

Portanto,

\[ \begin{align} \mathbb{E}[Y]&=\sum\limits_{i=1}^{\infty} iP(Y=i)\\ &=\sum\limits_{i=1}^{k}\left(i\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n\;k}\right)\\ &=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n\;k}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{k}i\right)\\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n\;k}\frac{(1+k)k}{2}\\ &=\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^{n}(1+k)\\ &=\frac{1}{2n}\left[n + \frac{(1+n)n}{2}\right]\\ &=\frac{1}{2}\left[1 + \frac{(1+n)}{2}\right]\\ &=\frac{n+3}{4}. \end{align} \]

Finalmente, pela linearidade, segue que

\[ \mathbb{E}[V]=\mathbb{E}[X]-\mathbb{E}[Y]=\frac{1+n}{2}-\frac{n+3}{4}=\frac{n-1}{4} \]

Implementação Computacional

##############################################
n <- 10   # numero de elementos do vetor
v <- 1:n  # vetor de 1 a n
N <- 1e5  # tamanho amostral

X <- NULL

for (j in 1:N){
  X <- c(X,sample(v,1,replace = TRUE))
}

Esp_X.est <- mean(X) ; Esp_X.teo <- (1+n)/2

###############################################

Y <- NULL

for (j in 1:N){
   X <- sample(v,1,replace = TRUE)
   v.novo <- 1:X
   Y <- c(Y,sample(v.novo,1,replace = TRUE))
}

Esp_Y.est <- mean(Y) ; Esp_Y.teo <- (n+3)/4

###############################################

Esp_V.est <- Esp_X.est - Esp_Y.est  ;  Esp_V.teo <- (n-1)/4
## Apresentacao dos valores Estimados e Teoricos
bd <- data.frame(Estimada=c(Esp_X.est,Esp_Y.est,Esp_V.est),
                  Teorica=c(Esp_X.teo,Esp_Y.teo,Esp_V.teo))

rownames(bd) <- c("E[X]","E[Y]", "E[V]")

bd
##      Estimada Teorica
## E[X]  5.50217    5.50
## E[Y]  3.24758    3.25
## E[V]  2.25459    2.25