Plazo: Jueves 16/11/2023

Pregunta 1

El 60% de las empresas de Chile son pymes (pequeñas y medianas empresas), y el 20% de todas las empresas venden al extranjero, esto es, son exportadoras. Si el 30% de las empresas exportadoras son pymes, ¿qué porcentaje de las pymes son exportadoras?

Pregunta 2

Un dado no simétrico tiene la siguiente función de masa de probabilidad: \[p(1) = 0.3,\ p(2) = p(3) = 0.2,\ p(4) = p(5) = p(6) = 0.1\]

  1. Calcula la esperanza de esta variable aleatoria.
  2. Calcula la varianza.
  3. Te ofrecen jugar un juego en que se tira este dado 100 veces, y cada vez que el dado sale mayor o igual a 4 recibes $2.000 y cada vez que sale menor o igual a 3 tienes que pagar $1.000. ¿Jugarías?

Pregunta 3

Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de distribución acumulada: \[F(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}\]

  1. Haz un gráfico de la función de distribución acumulada, con Excel o R.
  2. Calcula la probabilidad de que la variable esté entre 0 y 2.
  3. Obtén la función de densidad de probabilidad de esta variable.
  4. En el mismo gráfico de la parte (i), agrega el gráfico de la función de densidad.
  5. ¿Los gráficos son como esperabas?

Pregunta 4

A partir de las definiciones, demuestra las reglas de la esperanza: \[E(X+Y) = E(X) + E(Y)\] \[E(cX) = cE(X)\] \[E(c) = c\] donde X es una variable aleatoria y c es una constante.

Pregunta 5

Demuestra lo siguiente: \[E(X^2) = var(X) + E(X)^2\]

Pregunta 6

Una línea aérea tiene la problemática de siempre llenar sus vuelos. Si en un vuelo hay asientos vacíos (sin vender) la línea aérea pierde dinero. Es por eso que a los pocos días antes de un vuelo las aerolíneas venden los últimos asientos disponibles a un descuento, para intentar venderlos todos y minimizar la pérdida.

Estás a cargo de la operación de marketing de una línea aérea. 4 días antes de un vuelo, te quedan 16 asientos desocupados. Sabes por la experiencia que solamente el 80% de los pasajeros que compran un pasaje llegan al aeropuerto para tomar el vuelo; el 20% restante no llega y después cambian su pasaje para otro día.

Si vendes 20 pasajes, ¿cuál es la probabilidad de que el vuelo quede sobrevendido, o que haya asientos vacíos?