Dois componentes eletrônicos serão testados simultaneamente. Suponha que a “vida” em horas de cada componente é exponencialmente distribuída com parâmetro \(\lambda >0\), e que as vidas dos componentes são independentes. Sejam \(U\) o tempo até a primeira falha de um dos componentes e \(V\) o tempo até ambos os componentes falharem. Calcule a esperança de: \(U\), \(V\), \(U + V\) e \(U − V\).
Sejam \(T_i\) o tempo de falha do \(i\)-ésimo componente, com \(i=1,2\). Logo, \(U=\min\{T_1,T_2\}\), \(V=\max\{T_1,T_2\}\), com \(T_1,T_2 \overset{i.i.d}{\sim} Exp(\lambda)\), \(\lambda>0\). Dessa maneira, temos que
\[ \begin{align} F_{T_i}(t)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda t},& \text{se} & t\geq 0,\\\\ 0, & \text{se} & t<0. \end{cases} \qquad i=1,2. \hspace{4cm} (I) \end{align} \]
Temos que
$$ \[\begin{align} F_U(u)= P(U\leq u)= P(\min\{T_1,T_2\}\leq u)&= 1-P(\min\{T_1,T_2\}>u)\\\\ (T_1\geq U\;\;e\;\;T_2\geq U\;\; q.c ) \;\; &= 1-P(T_1>u,T_2>u)\\\\ (independência) \;\; &=1-P(T_1>u)P(T_2>u)\\\\ (indenticamente \;\;distribuida) \;\; & = 1- [P(T_1>u)]^2\\\\ &=1-[1-F_{T_1}(u)]^2\\\\ &\overset{(I)}{=}\begin{cases} 1-e^{-2\lambda u} , & \text{se} & u\geq 0,\\\\ 0, & \text{se} & u<0. \end{cases} \end{align}\] $$
Ou seja,
$$ \[\begin{align} 1-F_U(u)=\begin{cases} e^{-2\lambda u} , & \text{se} & u\geq 0,\\\\ 0, & \text{se} & u<0. \end{cases} \end{align}\] $$
Portanto,
\[ \begin{align} \mathbb{E}[U]&=\int_{0}^{\infty}(1-F_U(u))du- \int_{-\infty}^{0}F_U(u)du\\ &=\int_{0}^{\infty}(1-F_U(u))du\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-2\lambda u} du\\ &=\frac{1}{2\lambda}\int_{0}^{\infty}\underbrace{2\lambda e^{-2\lambda u}}_{fdp \;da \; Exp(2\lambda)} du\\ &=\frac{1}{2\lambda}. \end{align} \]
Para o máximo, é facil obter sua distribuição (Faça):
\[ \begin{align} F_V(v)=\begin{cases} (1-e^{-\lambda v})^2, & \text{se} & v\geq 0,\\\\ 0, & \text{se} & v<0, \end{cases} \end{align} \]
ou seja,
\[ \begin{align} 1-F_V(v)=\begin{cases} 1-(1-e^{-\lambda v})^2, & \text{se} & v\geq 0,\\\\ 0, & \text{se} & v<0, \end{cases} \end{align} \]
Logo,
\[ \begin{align} \mathbb{E}[V]&=\int_{0}^{\infty}[1-F_V(v)]dv - \int_{-\infty}^{0}F_V(v)dv\\ &=\int_{0}^{\infty}[1-F_V(v)]dv\\ &=\int_{0}^{\infty}[\;1-(1-e^{-\lambda v})^2\;]dv\\ (diferença \;\;de\;\; quadrados) &=\int_{0}^{\infty}(2-e^{-\lambda v})e^{-\lambda v}dv\\ (linearidade \;\;do\;\; integral) &=\int_{0}^{\infty} 2e^{-\lambda v} dv - \int_{0}^{\infty} e^{-2\lambda v} dv\\ (manipulação \; algebrica) &=\frac{2}{\lambda}\int_{0}^{\infty} \underbrace{\lambda e^{-\lambda v}}_{Exp(\lambda)} dv - \frac{1}{2\lambda}\int_{0}^{\infty} \underbrace{e^{-2\lambda v}}_{Exp(2\lambda)} dv\\ (integrar\;densidade \;em \;seu\; suporte ) &=\frac{2}{\lambda}-\frac{1}{2\lambda}\\ &=\frac{3}{2\lambda}. \end{align} \]
Para a soma \(U+V\) e diferença \(U-V\), segue que
\[ \begin{align} \mathbb{E}[U+V]&=\mathbb{E}[U] + \mathbb{E}[V]\\ &=\frac{1}{2\lambda} + \frac{3}{2\lambda}\\ &=\frac{2}{\lambda}.\\\\ \mathbb{E}[U-V]&=\mathbb{E}[U] - \mathbb{E}[V]\\ &=\frac{1}{2\lambda} - \frac{3}{2\lambda}\\ &=-\frac{1}{\lambda}. \end{align} \]
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n <- 1e7 # tamanho da amostra
lambda <- 2 # taxa da exponencial
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## Geracao de amostra de duas exponenciais iid.
T1 <- rexp(n,2)
T2 <- rexp(n,2)
## Minimo e Maximo
U <- pmin(T1,T2)
V <- pmax(T1,T2)
## Soma e Diferenca
S <- U+V
D <- U-V
## Esperancas Estimadas (Simulacao)
Esp.U.est <- mean(U)
Esp.V.est <- mean(V)
Esp.S.est <- mean(S)
Esp.D.est <- mean(D)
## Esperancas Teoricas (Exercicio)
Esp.U.teo <- 1/(2*lambda)
Esp.V.teo <- 3/(2*lambda)
Esp.S.teo <- 2/lambda
Esp.D.teo <- -1/lambda
## Apresentacao dos valores Estimados e Teoricos
bd <- data.frame(Estimada=c(Esp.U.est,Esp.V.est,Esp.S.est,Esp.D.est),
Teorica=c(Esp.U.teo,Esp.V.teo,Esp.S.teo,Esp.D.teo))
rownames(bd) <- c("Esp. Minino","Esp. Maximo", "Esp. Soma", "Esp. Diferenca")
bd## Estimada Teorica
## Esp. Minino 0.2499800 0.25
## Esp. Maximo 0.7500523 0.75
## Esp. Soma 1.0000323 1.00
## Esp. Diferenca -0.5000724 -0.50