library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
library(mosaic)
library(r2symbols)
## 
## Attaching package: 'r2symbols'
## The following object is masked from 'package:dplyr':
## 
##     sym
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     sym

OPTIMASI SATU VARIABEL

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb.: y = f (χ) Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi). Dalam hal ini, x yang diperoleh merupakan nilai χ optimum fungsi.

Beberapa metodenya meliputi:

• Metode golden section

• Metode Newton

• Metode interpolasi kuadrat

Berikut akan dijelaskan mengenai metode golden section

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara atau metode optimasi numerik yang dapat diterapkan untuk fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat diselesaikan dengan cara ini. Golden-section (search) method merupakan metode optimasi satu variabel yang sederhana, dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan metode bisection dalam penentuan akar persamaan tak linier.

Ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baru, secara iteratif. Sebagai akibatnya, rentang/ interval awal variabel yang dipilih semakin lama akan semakin menyempit, karena ada sebagian sub-interval variabel yang dieliminasi, hingga diperoleh tingkat konvergensi yang diinginkan.

Ringkasan Tahapan Penyelesaian Menggunakan Golden Section

  1. Tentukan batas a dan b

    a⋜χ⋜b

  2. Hitung nilai fungsi f(a) dan f(b)

  3. Tentukan titik tengah χ1 dan χ2 menggunakan golden rasio

    R = 0,618

    d = R(b-a)

    χ1 = b-d

    χ2 = a+d

  4. Hitung nilai fungsi dari kedua titik tengah tersebut

    f(χ1) dan f(χ2)

  5. Update batas dengan mengevaluasi nilai fungsi

    Jika f(χ1) > f(χ2), maka

    • b = χ2 ; Nilai a tetap

    • χ1 menjadi χ2 baru

    • χ1 baru = b - R(b-a)

    Jika f(χ1) < f(χ2), maka

    • a = χ1 ; Nilai b tetap

    • χ2 menjadi χ1 baru

    • χ2 baru = a + R(b-a)

  6. Ulangi hingga konvergen

Contoh Soal

Cari nilai χ untuk f(χ) maksimal dengan interval 0<χ<4!

f(χ) = 2sinχ - χ²/10

Penyelesaian:

[a,b] = [0,4]

» Iterasi 1

Menghitung nilai 

f(0) = 0

f(4) = -3,1136

Mencari dua nilai tengah yaitu χ1 dan χ2.

d = R(b-a) = 0,618 (4-0) = 2,472

χ1 = b - d = 4 - 2,472 = 1,5279 ; **f(χ1) = 1,7647**

χ2 = a + d = 0 + 2,472 = 2,472 ; **f(χ2) = 0,63**

Kita bisa melihat bahwa f(χ1) > f(χ2), maka

• b = χ2 ; Nilai a tetap

• χ1 menjadi χ2 baru

• χ1 baru = b - R(b-a)

» Iterasi 2

a = 0

b = 2,472

d = 0,618 (2,472 - 0) = 1,5279

χ1 = b - d = 0,9443 ; **f(χ1) = 1,5310**

χ2 = a + d = 1,5279 ; **f(χ2) = 1,7647**

Kita bisa melihat bahwa f(χ2) > f(χ1), maka

• a = χ1 ; Nilai b tetap

• χ2 menjadi χ1 baru

• χ2 baru = a + R(b-a)
library(EBImage)
Image <- readImage("C://Users/WINDOWS 11/Pictures/Tabel.png")
print(Image)
## Image 
##   colorMode    : Color 
##   storage.mode : double 
##   dim          : 1225 682 4 
##   frames.total : 4 
##   frames.render: 1 
## 
## imageData(object)[1:5,1:6,1]
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]    1    1    1    1    1    1
## [2,]    1    1    1    1    1    1
## [3,]    1    1    1    1    1    1
## [4,]    1    1    1    1    1    1
## [5,]    1    1    1    1    1    1
Image1 <- Image + 0

par(mfrow= c(1,1))
plot(Image1)

Nilai d semakin lama akan semakin kecil, artinya jarak atau selisih antar titik semakin lama semakin sempit dan ke tengah. Sehingga nantinya kita akan mendapatkan titik optimal, yaitu nilai puncak untuk kasus maksimasi. Iterasi akan berhenti ketika telah memenuhi syarat maksimal iterasi yang dikehendaki atau konvergensi solusi nol.

Konvergensi solusi ditunjukan dengan nilainya sama dengan nol, artinya jarak antartitiknya sudah tidak ada. Sehingga akan tercapailah titik χ optimal.