Solução

Item a)

Trata-se de uma distribuição Hypergeometrica cuja função de probabilidade é dada por

\[ \begin{align} \mathbb{P}(X=k)&=\begin{cases} \dfrac{\binom{N}{k}\binom{M}{n-k}}{\binom{N+M}{n}}, &\text{se} &k\in A=\left[\max\{0,n-M\}\;,\;\min\{n,N\}\right],\\\\ 0, &\text{se} &k\not\in A=\left[\max\{0,n-M\}\;,\;\min\{n,N\}\right]. \end{cases} \quad (I) \end{align} \]

Item b)

Para o cálculo da esperança, faremos uso da seguinte identidade:

\[ \begin{align} k\binom{N}{k}&=\frac{N!}{(k-1)!(N-k)!}= \frac{N(N-1)!}{(k-1)!([N-1]-[k-1])!}=N\binom{N-1}{k-1}. \quad(II) \end{align} \]

Com isso, temos que

$$ \[\begin{align} \mathbb{E}(X)=\sum\limits_{k} k \;\mathbb{P}(X=k)&\overset{(I)}{=} \sum\limits_{k\in A} k \dfrac{\binom{N}{k}\binom{M}{n-k}}{\binom{N+M}{n}}\\\\ &\overset{(II)}{=}\sum_{k\in A} \dfrac{N\binom{N-1}{k-1}\binom{M}{n-k}}{\binom{N+M}{n}}\\\\ &=\sum_{k\in A} \dfrac{N\binom{N-1}{k-1}\binom{M}{(n-1)-(k-1)}}{\frac{N+M}{n}\binom{N+M-1}{n-1}}\\\\ &=\frac{nN}{N+M}\sum_{k\in A} \underbrace{ \dfrac{\binom{N-1}{k-1}\binom{M}{(n-1)-(k-1)}}{\binom{N+M-1}{n-1}}}_{Hypergeom(N-1,M,n-1)}\\\\ &=\frac{nN}{N+M}. \hspace{4cm} (1) \end{align}\] $$

Já para o cálculo da variância, note que aplicando (II), de modo recorrente, resulta que

\[ \begin{align} k(k-1)\binom{N}{k}&=N(k-1)\binom{N-1}{k-1}=N(N-1)\binom{N-2}{k-2}.\quad (III) \end{align} \]

Portanto,

\[ \begin{align} \mathbb{E}[X(X-1)]&=\sum\limits_{k}k(k-1)\mathbb{P}(X=k)\\\\ &\overset{(I)}{=}\sum\limits_{k\in A}k(k-1)\dfrac{\binom{N}{k}\binom{M}{n-k}}{\binom{N+M}{n}}\\\\ &\overset{(III)}{=}\sum\limits_{k\in A}\dfrac{N(N-1)\binom{N-2}{k-2}\binom{M}{n-k}}{\binom{N+M}{n}}\\\\ &=\sum\limits_{k\in A}\dfrac{N(N-1)\binom{N-2}{k-2}\binom{M}{(n-2)-(k-2)}}{\big(\frac{N+M}{n}\big)\big(\frac{N+M-1}{n-1}\big)\binom{N+M-2}{n-2}}\\\\ &=\dfrac{N(N-1)n(n-1)}{(N+M)(N+M-1)}\sum\limits_{k\in A}\underbrace{\dfrac{\binom{N-2}{k-2}\binom{M}{(n-2)-(k-2)}}{\binom{N+M-2}{n-2}}}_{Hypergeom(N-2,M,n-2)}\\\\ &=\dfrac{N(N-1)n(n-1)}{(N+M)(N+M-1)}. \hspace{4cm} (2) \end{align} \]

Logo, decorre de\((1)\) e \((2)\), que

\[ \begin{align} Var(X)&=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2\\\\ &= \mathbb{E}[X(X-1)]+\mathbb{E}[X](1-\mathbb{E}[X])\\\\ &\overset{(1),(2)}{=}\dfrac{N(N-1)n(n-1)}{(N+M)(N+M-1)}+ \frac{nN}{N+M}\bigg(1-\frac{nN}{N+M}\bigg)\\\\ &= \frac{nNM}{(N+M)^2}\bigg(1- \frac{n-1}{N+M-1}\bigg) \\\\ &=\frac{nNM(N+M-n)}{(N+M)^2(N+M-1)}. \end{align} \]

Observação

Em função dos coeficientes Binomiais, vale que \[ \mathbb{E}\left[\binom{X}{j}\right]=\dfrac{\binom{N}{j} \binom{n}{j}}{\binom{N+M}{j}}. \]

Implementação Computacional

# N: nº de sucessos na populacao (qtd objeto Tipo 1 na pop.)
# M: nº de falhas(insucessos) na populacao (qtd objeto Tipo 2 na pop.)
# n: tamanho da amostra (n < N+M)
# k: nº de sucessos na amostra (qtd objeto Tipo 1 na amostra)

## Geracao de numeros pseudoaleatorios na Hypergeometrica

nn <- 1e7 # qtd de numeros aleatorios gerados
N <- 50
M <- 20
n <- 30

y_hyper <- rhyper(nn,N,M,n)

## Esperanca e Variancia Estimadas via simulacao

Esp.est <- mean(y_hyper)

Var.est <- var(y_hyper)

## Esperanca e Variancia Reais (Teorica)

Esp.teo <- n*(N/(N+M))

Var.teo <- ( n*N*M*(N+M-n) ) / ( ((N+M)^2)*(N+M-1) )

list(c(Esperanca_Teorica = Esp.teo, Esperanca_Estimada = Esp.est))
## [[1]]
##  Esperanca_Teorica Esperanca_Estimada 
##           21.42857           21.42854
list(c(Variancia_Teorica = Var.teo, Variancia_Estimada = Var.est))
## [[1]]
##  Variancia_Teorica Variancia_Estimada 
##           3.549246           3.547978