Integrantes
Goñe Romero Renzo Harol
Romero Huaringa Benjamin
Atachao Vela Jorge Alonso
Coaquira Coaquira Jose Luis
Salvador Ataucusi Nilson
Samaniego Granados Caleb Eliseo
1 Introduccion
Las medidas de variabilidad son aquellas que miden la dispersión de
los datos, es decir indican que tan “parecidos” o que tan “diferentes”
son entre si los valores observados. Estas medidas son indispensables,
dado que una medida de tendencia central por si sola podria ser engañosa
cuando los datos son variables
Las medidas más utilizadas son
*Rango
*Rango intercuartil
*Varianza
*Desviación estándar
*Coeficiente de variación
2 Rango
El rango o recorrido del conjunto de datos x1,x2,…,xn, denotado con
R, se calcula como la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo
del conjunto de datos. Es decir:
R= Xmax - Xmin
donde Xmin y Xmax son respectivamente el valor mínimo y máximo de
las n observaciones
Ejemplo
Los datos que se presentan a continuación corresponden a los tiempos
(en minutos) de ejecución de una tarea determinada de una muestra de
empleados de dos empresas.
Empresa 1: 34.5, 30.7, 32.9, 36.0, 34.1, 34.0, 32.3
Empresa 2: 34.0, 27.5, 31.6, 39.7, 35.3, 34.7, 31.7
Calcular e interpretar el rango en cada caso.
El rango de la empresa 1 es: (36.0)-(30.7)= 5.3
El rango de la empresa 2 es: (39.7)-(27.5)= 12.2
#Datos empresa 1
e1<-c(34.5,30.7,32.9,36.0,34.1,34.0,32.3)
#Datos empresa 2
e2<-c(34.0,27.5,31.6,39.7,35.3,34.7,31.7)
#Rango 1
max(e1)-min(e1)
## [1] 5.3
#Rango 2
max(e2)-min(e2)
## [1] 12.2
alumnos<-c("Ricardo","Angel","Benjamin","Renzo","Lucero","Angelina","Elena","Pedro","Adrian","Angela")
notas<-c(11,15,14,12,7,9,16,18,6,19)
aprobado<-c(TRUE,TRUE,TRUE,TRUE,FALSE,FALSE,TRUE,TRUE,FALSE,TRUE)
registro<-data.frame(alumnos,notas,aprobado)
registro
## alumnos notas aprobado
## 1 Ricardo 11 TRUE
## 2 Angel 15 TRUE
## 3 Benjamin 14 TRUE
## 4 Renzo 12 TRUE
## 5 Lucero 7 FALSE
## 6 Angelina 9 FALSE
## 7 Elena 16 TRUE
## 8 Pedro 18 TRUE
## 9 Adrian 6 FALSE
## 10 Angela 19 TRUE
rango<-max(notas)-min(notas)
cat("El rango es",rango)
## El rango es 13
Caracteristicas
*El rango es una medida de dispersión asociada con la amplitud del
conjunto de datos.
*Está dado en las mismas unidades de la variable de estudio.
*Es sensible a valores extremos.
*No da razón de la dispersión de los datos respecto a un valor
particular o a una medida de tendencia central.
3 Rango Intercuartil
El rango intercuartil es una medida de variabilidad que consiste en
la diferencia del tercer cuartil Q(3) y el primer cuartil Q(1)
Ejemplo
Sea Y la VA que representa el número de inasistencias de los alumnos
a clase
Y: 0,0,0,0,1,1,1,1,2,3,3,3,3,4,11
Halle el rango intercuartil
Solución
El rango intercuartil se calcula como Q(3)-Q(1), pero el Q(3)=P(75)
y el Q(1)=P(25)
X(P(25))=(25/100)*15=3.75 se redondea a 4
X(P(75))=(75/100)*15=11.25 se redondea a 12
Ahora debemos ordenar los datos de menor a mayor, pero como vemos ya
estan ordenados
P(25)=Q(1)=0 P(75)=Q(3)=3
RIQ=3-0=3
# Creamos un vector con los datos
Y <- c(0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 11)
# Calcular el rango intercuartil (IQR)
rango_intercuartil <- IQR(Y)
# Imprimir el resultado
print(rango_intercuartil)
## [1] 2.5
alumnos<-c("Ricardo","Angel","Benjamin","Renzo","Lucero","Angelina","Elena","Pedro","Adrian","Angela")
notas<-c(11,15,14,12,7,9,16,18,6,19)
aprobado<-c(TRUE,TRUE,TRUE,TRUE,FALSE,FALSE,TRUE,TRUE,FALSE,TRUE)
registro<-data.frame(alumnos,notas,aprobado)
registro
## alumnos notas aprobado
## 1 Ricardo 11 TRUE
## 2 Angel 15 TRUE
## 3 Benjamin 14 TRUE
## 4 Renzo 12 TRUE
## 5 Lucero 7 FALSE
## 6 Angelina 9 FALSE
## 7 Elena 16 TRUE
## 8 Pedro 18 TRUE
## 9 Adrian 6 FALSE
## 10 Angela 19 TRUE
iqr<-IQR(registro$notas)
cat("El rango intercuartil es ",iqr)
## El rango intercuartil es 6.25
Caracteristicas
*En el rango intercuartílico se concentran el 50% central de las
observaciones.
*Está dado en las mismas unidades de la variable de estudio.
*Es una medida robusta (poco influenciable) a valores extremos.
*No da razón de la dispersión de los datos respecto a un valor
particular o a una medida de tendencia central.
4 Varianza
La varianza es la medida de dispersión más utilizada, junto con la
desviación estándar. Es una medida fiable a la hora de analizar los
datos de una distribución. Al compararlo con la media, se puede
reconocer la presencia de valores atípicos o datos distantes.
La varianza muestral del conjunto de datos \(x_{1}\),\(x_{2}\),\(x_{3}\),…,\(x_{n}\) denotada por
La varianza poblacional del conjunto de datos \(x_{1}\),\(x_{2}\),\(x_{3}\),…,\(x_{n}\) denotada por
# Datos de ejemplo
datos <- c(15, 20, 25, 30, 35)
# Función para calcular la varianza poblacional
varianza_poblacional <- function(x) {
n <- length(x) # Número de observaciones
media <- mean(x) # Media de los datos
suma_cuadrados <- sum((x - media)^2) # Suma de los cuadrados de las diferencias
varianza <- suma_cuadrados / n # Varianza poblacional
return(varianza)
}
# Calcular la varianza poblacional de los datos de ejemplo
resultado <- varianza_poblacional(datos)
# Mostrar el resultado
cat("La varianza poblacional es:", resultado, "\n")
## La varianza poblacional es: 50
alumnos<-c("Ricardo","Angel","Benjamin","Renzo","Lucero","Angelina","Elena","Pedro","Adrian","Angela")
notas<-c(11,15,14,12,7,9,16,18,6,19)
aprobado<-c(TRUE,TRUE,TRUE,TRUE,FALSE,FALSE,TRUE,TRUE,FALSE,TRUE)
registro<-data.frame(alumnos,notas,aprobado)
registro
## alumnos notas aprobado
## 1 Ricardo 11 TRUE
## 2 Angel 15 TRUE
## 3 Benjamin 14 TRUE
## 4 Renzo 12 TRUE
## 5 Lucero 7 FALSE
## 6 Angelina 9 FALSE
## 7 Elena 16 TRUE
## 8 Pedro 18 TRUE
## 9 Adrian 6 FALSE
## 10 Angela 19 TRUE
# Calcular la varianza poblacional de las notas
varianza_poblacional <- var(registro$notas)
cat("La varianza poblacional de las notas es:", varianza_poblacional)
## La varianza poblacional de las notas es: 20.01111
5 Desviacion Estandar
La desviación estándar es una medida de extensión o variabilidad en
la estadística descriptiva. Se utiliza para calcular la variación o
dispersión en la que los puntos de datos individuales difieren de la
media. , se calcula como la raiz cuadrada de la varianza
# Datos de ejemplo
datos <- c(15, 20, 25, 30, 35)
# Calcular la desviación estándar poblacional
desviacion_estandar_poblacional <- sd(datos, na.rm = FALSE)
# Imprimir el resultado
cat("La desviación estándar poblacional de los datos es:", desviacion_estandar_poblacional)
## La desviación estándar poblacional de los datos es: 7.905694
alumnos<-c("Ricardo","Angel","Benjamin","Renzo","Lucero","Angelina","Elena","Pedro","Adrian","Angela")
notas<-c(11,15,14,12,7,9,16,18,6,19)
aprobado<-c(TRUE,TRUE,TRUE,TRUE,FALSE,FALSE,TRUE,TRUE,FALSE,TRUE)
registro<-data.frame(alumnos,notas,aprobado)
registro
## alumnos notas aprobado
## 1 Ricardo 11 TRUE
## 2 Angel 15 TRUE
## 3 Benjamin 14 TRUE
## 4 Renzo 12 TRUE
## 5 Lucero 7 FALSE
## 6 Angelina 9 FALSE
## 7 Elena 16 TRUE
## 8 Pedro 18 TRUE
## 9 Adrian 6 FALSE
## 10 Angela 19 TRUE
# Calcular la desviacion estandar poblacional de las notas
desviacion_estandar_poblacional <- sd(registro$notas,na.rm=FALSE)
cat("La desviacion estandar poblacional es:", desviacion_estandar_poblacional)
## La desviacion estandar poblacional es: 4.473378
6 Coeficiente de variacion
El coeficiente de variación (CV) es una medida estadística que se
utiliza para evaluar la variabilidad relativa de un conjunto de datos en
comparación con su media. Se expresa como un porcentaje y se calcula
como la desviación estándar dividida por la media, multiplicada por 100.
La fórmula del coeficiente de variación es la siguiente:
ingresos <- c(30000, 40000, 35000, 50000, 45000)
# Calcular la media de los ingresos
media <- mean(ingresos)
# Calcular la desviación estándar de los ingresos
desviacion_estandar <- sd(ingresos)
# Calcular el coeficiente de variación (CV)
cv <- (desviacion_estandar / media) * 100
# Imprimir el resultado
cat("El coeficiente de variación es:", cv, "%\n")
## El coeficiente de variación es: 19.76424 %
alumnos<-c("Ricardo","Angel","Benjamin","Renzo","Lucero","Angelina","Elena","Pedro","Adrian","Angela")
notas<-c(11,15,14,12,7,9,16,18,6,19)
aprobado<-c(TRUE,TRUE,TRUE,TRUE,FALSE,FALSE,TRUE,TRUE,FALSE,TRUE)
registro<-data.frame(alumnos,notas,aprobado)
registro
## alumnos notas aprobado
## 1 Ricardo 11 TRUE
## 2 Angel 15 TRUE
## 3 Benjamin 14 TRUE
## 4 Renzo 12 TRUE
## 5 Lucero 7 FALSE
## 6 Angelina 9 FALSE
## 7 Elena 16 TRUE
## 8 Pedro 18 TRUE
## 9 Adrian 6 FALSE
## 10 Angela 19 TRUE
# Filtra las notas de los estudiantes
notas <- registro$notas
# Calcular la media de las notas
media <- mean(notas)
# Calcular la desviación estándar de las notas
desviacion_estandar <- sd(notas)
# Calcular el coeficiente de variación (CV)
cv <- (desviacion_estandar / media) * 100
# Imprimir el resultado
cat("El coeficiente de variación de las notas es:", cv, "%\n")
## El coeficiente de variación de las notas es: 35.22345 %